管理数量方法与分析第二章概率分布一

1、管理数量方法与分析管理数量方法与分析第二章 概率及其概率分布第二章 概率及其概率分布2.2 2.2 随机变量及其分布随机变量及其分布2.3 2.3 随机变量的数字特征与独立性随机变量的数字特征与独立性2.4 2.4 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理2.1 随机事件与概率 2.1.1 2.1.1 随机事件随机事件2.1.2 2.1.2 随机事件的概率随机事件的概率2.1.3 2.1.3 古典概型古典概型2.1.4 2.1.4 条件概率与事件独立性条件概率与事件独立性1. 1. 一些概念一些概念自然现象分为自然现象分为确定性现象确定性现象 自由落体，热胀冷缩自由落体，热胀冷缩. .不确

2、定性现象不确定性现象 抛掷硬币出现正面还是反面抛掷硬币出现正面还是反面. .研究随机现象，即不确定性现象研究随机现象，即不确定性现象 , ,是揭示是揭示随机现象数量统计规律随机现象数量统计规律随机现象随机现象 是指在个别试验中是指在个别试验中, ,其试验结果其试验结果呈现不确定性呈现不确定性, ,但在大量重复的试验中又具有但在大量重复的试验中又具有统计规律的现象统计规律的现象. .以上试验具有以下的特点以上试验具有以下的特点(1)(1)可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行(2)(2)每次试验的可能结果可能不止一个每次试验的可能结果可能不止一个, ,但试验的所但试验的所有可能结果

3、在试验之前是确切知道的有可能结果在试验之前是确切知道的(3)(3)在试验结束之前在试验结束之前, ,不能确定该次试验的确切结果不能确定该次试验的确切结果称这样的试验为称这样的试验为随机试验随机试验，用，用E E表示。表示。 随机事件随机事件 称可能发生也可能不发生的结果称可能发生也可能不发生的结果, ,即样本空间即样本空间 的某个子集称为试验的某个子集称为试验E E的一个的一个随机事件，简称事件，用随机事件，简称事件，用A,B,C,A,B,C,表示表示. . 样本点样本点 随机试验随机试验E E中每一个可能出现的结中每一个可能出现的结果称为基本事件或称样本点果称为基本事件或称样本点, ,用用e

4、 e或或w w表示表示样本空间样本空间 随机试验随机试验E E中所有可能出现的结中所有可能出现的结果构成的集合为样本空间果构成的集合为样本空间, ,即全体基本事件即全体基本事件( (样本点样本点) )称为样本空间称为样本空间, ,用用表示表示. . 如何理解事件的发生如何理解事件的发生，即在每次试验，即在每次试验中，事件均发生是指此事件所对应的集合中，事件均发生是指此事件所对应的集合必有一个样本点出现必有一个样本点出现. . SABBA 如果如果A A发生必导致发生必导致B B发生发生, ,则称则称事件事件A A包含在事件包含在事件B B中中. .,ABBABA 且且(2) (2) 相等关系相

5、等关系 2. 2. 事件间的关系与运算事件间的关系与运算(3) 和和(并并)事件事件SAB事件事件AB发生当且仅当发生当且仅当 A, B 至少发生一个至少发生一个 . 设有事件设有事件A,BA,B, ,由事件由事件A,BA,B构成新的构成新的事件事件 x: x x: x A A或或x x B B 称此事件称此事件为事件为事件A A与与B B的和事件的和事件. .记为：记为： A AB BABBA S SAB事件事件A A B B 发生当且仅当发生当且仅当A , BA , B 同时发生同时发生. .设有事件设有事件A,BA,B, ,由事件由事件A,BA,B构成新的构成新的事件事件 x:xx:x

6、A A且且x Bx B , , 称此事称此事件为事件件为事件A A与与B B的积事件的积事件. .记为：记为： A A B B ABBA事件事件 A-BA-B发生当且仅当发生当且仅当 A A 发生发生 B B 不发生不发生. .ABA AB设有事件设有事件A,BA,B, ,由事件由事件A,BA,B构成新的事件构成新的事件 x:x x:x A A但但x Bx B 称此事件为事件称此事件为事件A A与与B B的差事件的差事件. .记记为：为：A-BA-B 事件事件 A-B与与B-A是同一事件吗是同一事件吗?AAB BA(7) 对立事件对立事件 (逆事件逆事件) SBABA BAA1A2An. (8

7、) 设设 为试验为试验 E 的样本空间，的样本空间，A1,A2,An为为 E 的的一组事件一组事件.若满足若满足则称则称A1,A2,An为样本空间为样本空间的一个有限划分的一个有限划分 ,也之为也之为 样本空间的一个完备事件组样本空间的一个完备事件组.;, 2 , 1,=) 1 (njijiAAji .) 2 (21 nAAA例例1.1 1.1 在随机试验在随机试验E E4 4中，在中，在4 4 = = t t | |t t 0 0 事件事件 A A=t|t=t|t 1000 1000 表示表示 “ “产品是次品产品是次品” ” 事件事件 B B=t|t =t|t 1000 1000 表示表示

8、 “ “产品是合格品产品是合格品” 事件事件 C C=t|t=t|t 1500 1500 表示表示“产品是一级品产品是一级品”则则A A与与B B是互为对立事件是互为对立事件B-CB-C表示表示 “ “产品是合格品但不是一级品产品是合格品但不是一级品”; ; BCBC表示表示 “ “产品是一级品产品是一级品” ; ;B BC C表示表示 “ “产品是合格品产品是合格品”. .A A与与C C是互不相容事件是互不相容事件频率频率 在相同的条件下在相同的条件下, ,进行了进行了n n 次试验次试验, ,在这在这 n n 次试验中次试验中, ,事件事件 A A 发生的次数发生的次数 n nA A 称

9、称为事件为事件 A A 发生的频数发生的频数. .称比值称比值 n n A A / n / n 称为称为事件事件A A 发生的频率发生的频率, ,并记成并记成 f fn n( (A A) ) 。既有既有 nnAfnA )( n nH fn(H) 实实 验验 者者 德德摩根摩根 蒲蒲 丰丰 K K 皮尔逊皮尔逊 K K 皮尔逊皮尔逊 2048 40401200024000 1061 2048 6019120120.51810.50960.50160.5005 事件的概率事件的概率 在相同的条件下在相同的条件下,若重复进行若重复进行若干次若干次(无穷次无穷次)试验试验,事件事件 A 发生的频率发生

10、的频率fn(A)稳定地在某一个确定值稳定地在某一个确定值P附近摆动附近摆动,称此确定的称此确定的值为事件值为事件 A 的概率的概率,记为：记为：P(A) 事件的概率事件的概率 事件事件 A 发生可能性大小的度发生可能性大小的度量量(数值数值), 称为事件称为事件 A 的概率的概率,记为：记为：P(A);0)( P性质性质1性质性质2性质性质3 0P(A)1P()=1若事件若事件A与与B是两个互斥事件是两个互斥事件,则则P(AB)=P(A)+P(B)性质性质4 若事件若事件A与与B是对立事件是对立事件,则则P(B)=1-P(A)性质性质5 若事件若事件A与与B是任意两事件是任意两事件,则则P(A

11、B)=P(A)+P(B)-P(AB) 生活中有这样一类试验，它们的共同特点是：生活中有这样一类试验，它们的共同特点是： 样本空间的元素只有有限个；样本空间的元素只有有限个； 每个基本事件发生的可能性相同每个基本事件发生的可能性相同. . 我们把这类试验称为我们把这类试验称为古典概型试验古典概型试验，又称，又称等可等可能概型试验能概型试验，所对应的数学模型称为，所对应的数学模型称为古典概型古典概型. . 如抛掷质量均匀的硬币如抛掷质量均匀的硬币, ,从一批产品中抽取从一批产品中抽取部分产品等部分产品等. .设设 =e1, e2, en , 事件事件 A 包含包含 k 个基本事件，即个基本事件，即

12、 A =e1, e2, ek , 则有则有.)(中中基基本本事事件件总总数数包包含含的的基基本本事事件件数数SAnkAP 例例 2.1.22.1.2 抛掷两颗质量分布均匀的骰子抛掷两颗质量分布均匀的骰子, ,求求出现两个点数之和等于出现两个点数之和等于5 5的概率的概率. . 解解 设设A A表示表示“抛掷两颗质量分布均匀的骰子抛掷两颗质量分布均匀的骰子, ,点数点数之和等于之和等于5”5”的事件。的事件。9/1364 p样本空间样本空间=(1,1)(1,2)(6,5)(6,6),=(1,1)(1,2)(6,5)(6,6),共有共有3636个个基本事件数基本事件数; ; A A=(1,4)(2

13、,3)(3,2)(4,1) =(1,4)(2,3)(3,2)(4,1) 此试验属于古典概型试验。此试验属于古典概型试验。骰子质量分布均匀，点数出现的可能性相同，骰子质量分布均匀，点数出现的可能性相同， 【例例2.12.1】一个袋子里有一个袋子里有3 3只白球，只白球，2 2只黑球，只黑球，现从袋中任取现从袋中任取2 2只球，求取得只球，求取得2 2只球都是白球的只球都是白球的概率。概率。解：解：设设A=A=取得取得2 2只球都是白球只球都是白球 则从则从5 5只球中任取只球中任取2 2只，共有只，共有 种取法，即种取法，即样本空间中的全部样本点数为样本空间中的全部样本点数为 n= =10n=

14、=10A A包含的样本点数为包含的样本点数为m= =3m= =3故故P(A)= = =P(A)= = = 例例 2.1.4 设有设有10件产品件产品,7件正品件正品,3件次品件次品. 求求 (1)不放回式不放回式,每次从中取一个每次从中取一个,共取共取3次次,3件均为次件均为次品的概率品的概率. (2)有放回式有放回式,每次从中取一个每次从中取一个,共取共取3次次,3件均为次件均为次品的概率品的概率. 解解设设A表示表示“取取3次，次，3件均为次品件均为次品”的事件的事件.此问题属于古典概型问题此问题属于古典概型问题 . 由于产品的型号相同，则每个产品被取到的可能性由于产品的型号相同，则每个产

15、品被取到的可能性相同相同，有放回与无放回抽取的样本空间中的样本点数有放回与无放回抽取的样本空间中的样本点数均是有限的均是有限的. （1 1）不放回式抽取）不放回式抽取 此时样本空间此时样本空间中的基本事件数为中的基本事件数为10109 98 8。事件事件A A所含基本事件数为所含基本事件数为3 3 2 21 1 120172068910123)( AP （2 2）有放回式抽取）有放回式抽取 此 时 样 本 空 间此 时 样 本 空 间中 的 基 本 事 件 数 为中 的 基 本 事 件 数 为101010101010。事件。事件A A所含基本事件数为所含基本事件数为3 3 3 33 31000

16、9101010333)( AP解解 故此属于古典概型问题故此属于古典概型问题 设设A Ai i表示表示“所取所取3 3只灯泡有只灯泡有i i只是坏的只是坏的”的的事件事件( (i=i=1,2,3),1,2,3),设设B B表示表示“所取所取3 3只灯泡中至只灯泡中至少有少有1 1只是坏的只是坏的”的事件的事件. .每个灯泡被取到的可能性相同，每个灯泡被取到的可能性相同，321AAAB A1 ,A2,A3两两互不相容两两互不相容 )()()()()(321321APAPAPAAAPBP 所所以以 3 , 2 , 1)(3403373 iCCCAPiii而而214. 0988211)(313403

17、373 iiiCCCBP或解或解 故此属于古典概型问题故此属于古典概型问题 每个灯泡被取到的可能性相同，每个灯泡被取到的可能性相同，B表示表示“所取的所取的3 3只灯泡中都是好的只灯泡中都是好的”的事件的事件 BB 既有既有 )(1)(BPBP 214. 01340337 CC设设A A、B B是某随机试验中的两个事件是某随机试验中的两个事件, ,且且P(A)0P(A)0则称事件则称事件B B在在“事件事件A A已发生已发生”这一附加条件下的这一附加条件下的概率为在事件概率为在事件A A已发生的条件下事件已发生的条件下事件B B的条件概率的条件概率, ,简称为简称为B B在在A A之下的条件概

18、率之下的条件概率, ,记为记为 P(B|A).P(B|A).条件概率条件概率 设设A A、B B是随机试验是随机试验E E的两个事件的两个事件, ,且且P(A)0P(A)0为在事件为在事件A A发生的条件下事件发生的条件下事件B B发生的条件概率发生的条件概率, ,简称为简称为B B在在A A之下的条件概率之下的条件概率. . APABPABP 则称则称 类似地类似地, ,可以定义在事件可以定义在事件B B发生的条件下事件发生的条件下事件A A发生的条件概率，既有发生的条件概率，既有: : BPABPBAP |1. 1. 条件概率条件概率1. 1. 使用公式法使用公式法2. 2. 缩减样本空间

19、法缩减样本空间法 即即 计算计算P(B|A)P(B|A)时时, ,将样本空间将样本空间缩减至缩减至A A上上, ,在在A A的基础上计算事件的基础上计算事件B B的概率的概率. .2. 乘法公式乘法公式由条件概率的定义由条件概率的定义 APABPABP 我们得我们得 ABPAPABP 这就是两个事件的乘法公式这就是两个事件的乘法公式(1) 两个事件的乘法公式两个事件的乘法公式 同理得同理得 BAPBPABP 则有则有设设 A,B, C为为 3 个随机事件，且个随机事件，且P(ABC)0 )|()|()(ABCPABPAPABCP 例例 2.1.62.1.6 设设P(A)=0.8,P(B)=0.

20、4,P(B|A)=0.25,P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,求求P(A|B)P(A|B)例例 2.1.72.1.7 书书P49 P49 例题例题2.4 2.4 ；例题；例题2.52.5 【例例2.42.4】一盒中有一盒中有1010只晶体管，其中只晶体管，其中6 6只正品，只正品，4 4只次品，从盒中每次取只次品，从盒中每次取1 1只，不放回地取两次，只，不放回地取两次，发现第发现第1 1只是正品，求第只是正品，求第2 2只也是正品的概率。只也是正品的概率。解：解：设设A=A=第第1 1只是正品只是正品 ；B=B=第第2 2只是正品只是正品 当事件当事件A A发生（即

21、已知取出的第发生（即已知取出的第1 1只晶体管只晶体管是正品）后，盒中还有是正品）后，盒中还有9 9只晶体管，其中只晶体管，其中5 5只是只是正品，在此条件下再取正品，在此条件下再取1 1只正品的概率只正品的概率为为 ，即，即P(B|A)=P(B|A)=【例例2.52.5】某公司的产品合格率为某公司的产品合格率为0.980.98，而在合，而在合格品中，一等品率为格品中，一等品率为0.90.9，求该厂生产的产品为，求该厂生产的产品为一等品的概率。一等品的概率。解：解：设设A=A=该公司生产的产品是合格品该公司生产的产品是合格品 B=B=该公司生产的产品是一等品该公司生产的产品是一等品 因为一等品

22、必须同时是合格品，所有因为一等品必须同时是合格品，所有P(AB)P(AB)就是该公司生产的产品为一等品的概就是该公司生产的产品为一等品的概率。由题意知：率。由题意知：P P（A A）=0.98 P(B|A)=0.9=0.98 P(B|A)=0.9故故 P(AB)=P(A)P(B|A)P(AB)=P(A)P(B|A)=0.98=0.980.9=0.8820.9=0.8823.全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式(1) 全概率公式全概率公式;, 2 , 1,=) 1 (njijiBBji .) 2 (21 nBBB 定理定理 设设 B1,B2,Bn 为为试验试验 E 的样本空间的样本空间的

23、一个的一个完备事件组，且完备事件组，且P(Bi)0.既有既有则对于任意事件则对于任意事件A，均有，均有 .1 nkkkBAPBPAP此公式称为全概率公式此公式称为全概率公式看做该过程的若干原因，看做该过程的若干原因，根据历史资料，每一原因根据历史资料，每一原因的影响程度已知的影响程度已知, , 即即 P(A|P(A|B Bk k) ) 已知已知. .则我们可用全概率公式计算结果发生的概率则我们可用全概率公式计算结果发生的概率P(A)P(A)发生的概率已知发生的概率已知, ,即即 P(P(B Bk k)0)0已知已知, ,且每个原因对结果且每个原因对结果(2) (2) 贝叶斯公式贝叶斯公式( (

24、逆概率公式）逆概率公式）;, 2 , 1,=) 1 (njijiBBji .) 2 (21 nBBB定理定理 设设B B1 1, ,B B2 2,B Bn n 为为试验试验E E 的样本空间的样本空间的一个的一个完备事件组，且完备事件组，且P P( (B Bi i)0.)0.既有既有则对于任意事件则对于任意事件A A，均有，均有此公式称为逆概率公式此公式称为逆概率公式 )|(AkBP)()(APkABPnknjjBAPjBPkBAPkBP, 2 , 1,1)|()()|()( 看做该过程的若干原因看做该过程的若干原因,根据历史资料根据历史资料,每一原因每一原因果的影响程度已知果的影响程度已知,

25、 即即 P(A|Bk) 已知已知;如果已知事件如果已知事件A已经发生已经发生,要求此时是由第要求此时是由第 i 个原因引起的概率个原因引起的概率,则用则用Bayes公式公式.发生的概率已知发生的概率已知,即即 P(Bk)0已知已知,且每个原因对结且每个原因对结 ABPi即求即求说明说明 逆概率公式是公式组逆概率公式是公式组,有几个原因就有几有几个原因就有几个公式个公式. 【例例2.62.6】有两箱产品，已知甲箱中有有两箱产品，已知甲箱中有1010件正品，件正品，2 2件次品，乙箱中有件次品，乙箱中有8 8件正品、件正品、2 2件次品，今从甲件次品，今从甲箱中任意取出箱中任意取出2 2件产品混入

26、乙箱，再从乙箱中任件产品混入乙箱，再从乙箱中任意取出一件产品，求从乙箱中取得的产品是次意取出一件产品，求从乙箱中取得的产品是次品的概率，若已知从乙箱中取出的产品是次品，品的概率，若已知从乙箱中取出的产品是次品，求从甲箱中取出求从甲箱中取出2 2件产品恰有一件次品的概率。件产品恰有一件次品的概率。解：设事件解：设事件B Bi i表示表示“从甲箱中任意取出且混入从甲箱中任意取出且混入乙箱的乙箱的2 2件产品恰有件产品恰有i i件次品件次品”（i=0,1,2i=0,1,2），）， 则则 , ,且且 ; ;又又设事件设事件A A表示表示“从混合后的乙箱中任意取出的从混合后的乙箱中任意取出的一件产品是次

27、品一件产品是次品”，则由题意知：，则由题意知： A= A= ，由概率的加法公式和，由概率的加法公式和乘法公式得：乘法公式得：P(A)=P( A)+P( A)=P( A)=P( )P(A| )+P( )P(A| )+P( )P(A| )= =由题中已知条件知：由题中已知条件知：P( )= = P(A| )=P( )= = P(A| )=P( )= = P(A| )= P( )= = P(A| )= P( )= = P(A| )=P( )= = P(A| )=于是有：于是有：P(A)=P(A)= = = 0.194 = 0.194根据题意要求，由条件概率和乘法公式，得：根据题意要求，由条件概率和乘

28、法公式，得：P( |A)=P( |A)= = = =解解 设设B Bi i表示表示“甲、乙、丙机床生产产品甲、乙、丙机床生产产品”的事件的事件( (i i=1,2,3),=1,2,3),A A表示表示“取到次品取到次品”的事件。的事件。 事件事件B发生当且仅当下列情况之一出现发生当且仅当下列情况之一出现: (1)甲机甲机车生产的产品且为次品车生产的产品且为次品, (2)乙机车生产的产品且为次乙机车生产的产品且为次品，品，(3)丙机车生产的产品且为次品丙机车生产的产品且为次品.321ABABABA 互互不不相相容容，且且321,ABABAB)()(321ABABABPAP )()()(321AB

29、PABPABP )()|()()|()()|(332211BPBAPBPBAPBPBAP %45. 3%40%2%35%4%25%5 解解 406. 0%45. 3%35%4)()|()()|()()()|(312222 iiiBPBAPBPBAPAPABPABP232. 0%45. 3%40%2)()|()()|()()()|(313333 iiiBPBAPBPBAPAPABPABP3623. 0%45. 3%25%5)()|()()()()()|(311111 iiiBPBAPBPABPAPABPABP例例1. 12 某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产某车间用甲、乙、丙三台机床进行生产,各

30、机床生产各机床生产的次品率分别为的次品率分别为5%，4%，2%，它们各自的产品分别占总，它们各自的产品分别占总产量的产量的25%，35%，40%，将他们的产品混在一起，求任，将他们的产品混在一起，求任取一个是次品的概率。取一个是次品的概率。由上面的计算得由上面的计算得, ,乙机床生产的可能性很大乙机床生产的可能性很大, ,其次是甲机床其次是甲机床. . 4. 4. 事件独立性事件独立性 定义定义 设设A A、B B是两个随机事件，如果是两个随机事件，如果则称则称A A 与与B B是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件 BPAPABP 事件独立性的性质事件独立性的性质 1 1 如果事件如果事件

31、A A 与与B B 相互独立，而且相互独立，而且 BPABP 则则2 2 必然事件必然事件S S与任意随机事件与任意随机事件A A相互独立；相互独立； 不可能事件不可能事件与任意随机事件与任意随机事件A A相互独立相互独立 )()(APABPABPBP则称则称A、B、C是相互独立的随机事件是相互独立的随机事件 CPAPACPCPBPBCPBPAPABP事件两两独立事件两两独立这三个这三个CBA,注意：注意：在三个事件独立性的定义中在三个事件独立性的定义中, ,四个等式是缺一不可四个等式是缺一不可的即的即 前三个等式的成立推不出最后一个等式前三个等式的成立推不出最后一个等式; ;反之反之, ,最

32、后最后一个等式的成立也推不出前三个等式的成立一个等式的成立也推不出前三个等式的成立 CPBPAPABCP 等式成立：个随机事件，如果下列为设nAAAn,21 nnmiiiiiikjikjijijiAPAPAPAAAPniiiAPAPAPAAAPnkjiAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPnm2121211)(112121个个随随机机事事件件相相互互独独立立这这则则称称nAAAn,21解解 由加法公式可得由加法公式可得, ABC求求P(A).,169)(,5 . 0)()()( CBAPCPBPAP)()()(CPBPAP 0)(,)()()()(2 ABCPAPACPBCPABP,43)(

33、41)( APAP或或41)( APA、B、C两两独立两两独立于是有于是有: : 解之得解之得: : 根据题意根据题意, , 得得169)()()()()()()()(ABCPACPBCPABPCPBPAPCBAP 3)(16)(162 APAP【例例2.82.8】一批产品共一批产品共100100件，假定其中有件，假定其中有5 5件次件次品，现采用放回抽样（每次抽查的产品仍放回这品，现采用放回抽样（每次抽查的产品仍放回这批产品中）进行检查，每次从这批产品中随机抽批产品中）进行检查，每次从这批产品中随机抽取一件，若发现次品，则拒绝接受这批产品，若取一件，若发现次品，则拒绝接受这批产品，若未发现次

34、品，则再检查一次，如此继续进行，若未发现次品，则再检查一次，如此继续进行，若检查检查5 5件产品都不是次品，则停止检查并接受这件产品都不是次品，则停止检查并接受这批产品，求这批产品被接受的概率。批产品，求这批产品被接受的概率。解：设解：设A=A=这批产品被接受这批产品被接受 ；(i=1,2,5)(i=1,2,5)表示第一、二、表示第一、二、五次抽样未发现次品。、五次抽样未发现次品。由于抽样是放回的，因此每次抽样都互不由于抽样是放回的，因此每次抽样都互不影响，也就是说，影响，也就是说， 之间是相互之间是相互独立的，于是有：独立的，于是有：P(A)=P( )P(A)=P( )=P( )P( )P(

35、 )P( )P( )=P( )P( )P( )P( )P( )= 0.774= 0.7742.2.2 2.2.2 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布2.2.3 2.2.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布例如例如 1.抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币,可能出现正面可能出现正面,反面两种反面两种结果结果,于是于是=正正,反反, 规定：规定：2.某工厂产品分为一等某工厂产品分为一等,二等二等,三等三等,等外等外.于是于是S=一等一等,二等二等,三等三等,等外等外,若规定：若规定： SeeeeX 为反面为反面为正面为正面01 SeeeeeeX 为为一一等等为为二二等等为为三三等

36、等为为等等外外32103 .在上午在上午 8:009:00 时间段内某路口观察通时间段内某路口观察通过的汽车数过的汽车数,可能是可能是0，1，2，3，于是，于是S=0,1,2,3,，规定：规定： SiiiiX , 3 , 2 , 1 , 04 .灯泡的寿命（单位灯泡的寿命（单位:秒秒),可能的寿命可能的寿命t是大于等于是大于等于0,于是于是S=t:t0.规定：规定： 0: tttttX以上四例的共同点以上四例的共同点 对于样本空间对于样本空间中的每一个样本中的每一个样本点点e均标以一个实数均标以一个实数,即确定了一个定义在样本空间上即确定了一个定义在样本空间上的变量的变量随机变量随机变量.1.

37、1.随机变量定义在样本空间上随机变量定义在样本空间上, ,函数定义在函数定义在实数上实数上. .2.2.随机变量取值具有随机性随机变量取值具有随机性, ,因试验的结果因试验的结果不同而取值不同不同而取值不同, ,其每个可能的取值均对应其每个可能的取值均对应一定的概率一定的概率, ,但取值范围是确定的但取值范围是确定的. .定义定义 根据随机变量取值情况，可将随机变量根据随机变量取值情况，可将随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量分为离散型随机变量与连续型随机变量. .根据随机变量的个数分为一维随机变量与多维根据随机变量的个数分为一维随机变量与多维随机变量随机变量. .1.1.离散型随机变量

38、的定义离散型随机变量的定义 如果随机变量如果随机变量X X的取值是有限个或可列无穷个的取值是有限个或可列无穷个, ,则称则称X X为离散型随机变量为离散型随机变量设离散型随机变量设离散型随机变量X X的所有可能取值为的所有可能取值为，nxxx21其相应的概率为其相应的概率为 ： , 2, 1 kpxXPkk2.2.2 离散型随机变量的概率分布设离散型随机变量设离散型随机变量 X X 的所有可能取值为的所有可能取值为，nxxx21其相应的概率为其相应的概率为 ： , 2, 1 kpxXPkk称称 为离散型随机变为离散型随机变量量X X的概率函数或概率分布的概率函数或概率分布公式可以用表格形式给出

39、公式可以用表格形式给出离散型随机变量离散型随机变量 X X 的分布律的分布律 , 2, 1 kpxXPkk由定义得由定义得: :. 1 nnp说明说明 1.1.判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。判断一个变量是否为随机变量只需验证这两条。 2.2.一个离散型随机变量的统计规律须知道一个离散型随机变量的统计规律须知道X X的所的所有可能取值及每一个可能取值的概率。有可能取值及每一个可能取值的概率。(1) (1) 对于任意自然数对于任意自然数n n，均有，均有 p pn n0.0.【例例2.92.9】随机变量随机变量X X表示掷一颗骰子出现的点数，表示掷一颗骰子出现的点数，求求X X的分布律

40、。的分布律。解：解：X X所有可能的取值为：所有可能的取值为：1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6，且相应，且相应的概率为：的概率为：PX=k= (k=1,2,3,4,5,6)PX=k= (k=1,2,3,4,5,6)其分布律的表格如下：其分布律的表格如下：X 1 2 3 4 5 6X 1 2 3 4 5 6 kXP X 的分布律：的分布律：解解 X 表示表示“取取10件产品的次品数件产品的次品数”,故故X的所有的所有可能取值为可能取值为0,1,2, 3,4,5. 510， k10100CkkCC51095 =设随机变量设随机变量X X的取值只是的取值只是0 0，1 1，其概率函数为，

41、其概率函数为 )1 , 0()1(1 kppkXPkk则称随机变量则称随机变量X X服从参数为服从参数为p p的的的的 BernoulliBernoulli分布分布其分布律为其分布律为 为参数为参数其中其中10 p pBX，记记作作1( (a a) ) n n重独立随机试验重独立随机试验( (b b) )n n重重BernoulliBernoulli试验试验 设有随机试验设有随机试验E E , ,将试验将试验E E重复独立进行重复独立进行n n次次, ,即对试验即对试验E E重复进行重复进行n n次次, ,每次试验的结每次试验的结果出现的概率均不依赖于其他各次试验结果果出现的概率均不依赖于其他

42、各次试验结果. .称这一系列试验为称这一系列试验为n n重独立试验重独立试验. . 设有设有n n重独立随机试验重独立随机试验, , 如果每次试验如果每次试验E E的结果仅有可能的结果的结果仅有可能的结果: A: A与与 , ,则称这则称这一系列试验为一系列试验为n n重重BernoulliBernoulli试验试验. .A定理定理 设在设在 n n 重重BernoulliBernoulli 试验中，试验中， .1qpAPpAP ， nkPpCkPknkknn,2, 1 ,0)1( 事件事件A A恰好出现恰好出现k k次的概率为：次的概率为：定义定义 如果随机变量如果随机变量 X X 的分布律

43、为的分布律为 nkppCkXPknkkn，101 为为参参数数为为自自然然数数，其其中中10 pn则称随机变量则称随机变量 X X 服从参数为服从参数为n,pn,p的二项分布的二项分布. . 记为记为XBXB( (n,pn,p) )例例2.2.32.2.3 一大批产品的次品率为一大批产品的次品率为0.1,0.1,现从中取出现从中取出1515件试求下列事件的概率：件试求下列事件的概率： B B= = 取出的取出的1515件产品中恰有件产品中恰有2 2件次品件次品 C C= = 取出的取出的1515件产品中至少有件产品中至少有2 2件次品件次品 由于从一大批产品中取由于从一大批产品中取1515件产

44、品，故可近似件产品，故可近似看作是看作是1515重重BernoulliBernoulli试验用试验用X X表示表示1515件产品中的次件产品中的次品数，品数，X=1,2,15X=1,2,15解解 所以，所以， 1322159 . 01 . 0 CBP CPCP 1141151500159 . 01 . 09 . 01 . 01 CC A=A=取一件产品为次品取一件产品为次品 ，则，则P(A)=0.1.XB(15,0.1)P(A)=0.1.XB(15,0.1)16.16.某会计事务所依据以往经验预计某公司某会计事务所依据以往经验预计某公司的应收账款余额有的应收账款余额有1%1%是错误的，今抽取是

45、错误的，今抽取100100笔账款进行核查，试问：（笔账款进行核查，试问：（1 1）抽查的账款）抽查的账款中，没有错误的概率是多少？（中，没有错误的概率是多少？（2 2）抽查的）抽查的账款中，恰有账款中，恰有2 2笔错误的概率是多少？（笔错误的概率是多少？（3 3）抽查的账款中，至少有抽查的账款中，至少有3 3笔错误的概率是多笔错误的概率是多少？少？ ), 2 , 1 , 0(! kekkXPk 其中其中0为常数为常数, 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为的的Poisson 分布记为分布记为XP().(1) 由于由于0,可知对任意的自然数可知对任意的自然数 k,有有0! ekk(

46、2) 又由于又由于1!0 kkek 是是分分布布律律。所所以以), 2 , 1 , 0(! kekkXPk nDkCCCkXPnNknDNkD，min10 其中其中N,D,n均为自然数，则称随机变量均为自然数，则称随机变量X服从参数服从参数N,D,n超几何分布超几何分布.超几何分布的概率背景超几何分布的概率背景 一批产品有一批产品有N 件件,其中有其中有D 件次品件次品,其余其余N-M 件件为正品为正品.现从中取出现从中取出n 件件,令令 X：取出：取出n 件产品中的件产品中的次品数次品数,则则X 的分布律为的分布律为 nDkCCCkXPnNknDNkD，min10 此时随机变量此时随机变量X

47、服从参数服从参数N,D,n超几何分布超几何分布.定义定义 如果对于随机变量如果对于随机变量X 的分布函数的分布函数F(x),存在存在非负函数非负函数 f (x),使得对于任意实数使得对于任意实数 x,有有则称则称 X 为连续型随机变量为连续型随机变量,其中函数其中函数 f (x) 称为称为X 的的概率密度函数概率密度函数,简称概率密度简称概率密度. xdttfxF,)()(记为记为 ：X f(x) ，其图象称为密度曲线。，其图象称为密度曲线。说明说明 连续型随机变量的分布函数为连续函数连续型随机变量的分布函数为连续函数.2.2.3 2.2.3 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布.

48、 0)(. 1 xf. 1)(. 2 dxxff (x)0 x1)()(. 3aFbFbXaP f (x)x0ab)( .)(badxxfba X落在落在 (a,b上概率是概上概率是概率密度在率密度在(a,b上的定积分上的定积分值。值。，均均有有连连续续的的点点对对于于一一切切使使xxf)(. 4).()(xfxF 注意注意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是变量分布律的性质非常相似，但是密度函数不是概密度函数不是概率！率！5.连续型随机变量在一点处的概率等于连续型随机变量在一点处的概率等于0，即，即PX=a=0.于是

49、有于是有bxaPbxaPbxaPbxaP (1) 均均 匀匀 分分 布布定义定义 若随机变量若随机变量X的密度函数为的密度函数为 其其它它01bxaabxf记作记作 X U a , b则称随机变量则称随机变量X服从区间服从区间a,b上的均匀分布上的均匀分布.XXabllx0 lccdxxflcXcP)(既有：既有：.1abldxablcc 如果随机变量如果随机变量X X服从区间服从区间 a,ba,b 上的均匀分布上的均匀分布, ,则随机变量则随机变量X X在区间在区间 a,ba,b 上任意一个子区间上上任意一个子区间上取值的概率与该区间的长度成正比取值的概率与该区间的长度成正比, ,与该区间的

50、与该区间的位置无关位置无关. .此时可认为随机变量此时可认为随机变量X在区间在区间a,b上取值是等可能的上取值是等可能的.解解 其它其它0300301xxf令：令：B=候车时间不超过候车时间不超过5分钟分钟 ,则则 BP 30251510301301dxdx31 乘客到达此站的时间是乘客到达此站的时间是 7:00 到到7:30之间的均匀随机变量之间的均匀随机变量 设该乘客于设该乘客于7时时X 分到达此站分到达此站, X 服从区间服从区间0,30上的上的均匀分布则其概率密度函数为均匀分布则其概率密度函数为 30251510 XPXP 000 xxexfx 说明说明 指数分布常用于近似表示指数分布

51、常用于近似表示 “寿命寿命”分布分布,如：服如：服务时间务时间,某消耗品的寿命某消耗品的寿命,放射性元素的衰变期等放射性元素的衰变期等,指数指数分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。分布在排队论与可靠性理论中有广泛的应用。其中其中0为常数为常数, 则称随机变量则称随机变量 X 服从参数为服从参数为的指数的指数分布记为分布记为 XE(). 00010110 xxexfx 2010 XPBP令：令：B= 等待时间为等待时间为1020分钟分钟 ,则则 201010101dxex201010 xe 21 ee2325. 0 例例2.2.6 设打一次电话所用的时间设打一次电话所用的时间X(分钟分钟)是

52、是服从参数为服从参数为=1/10的指数分布的指数分布.如果某人刚好在如果某人刚好在你前面走进公用电话间你前面走进公用电话间,求你需要等待求你需要等待1020分分钟的概率钟的概率.解解 X的密度函数为的密度函数为X(分钟分钟)是服从参数为是服从参数为=1/10的指数分布的指数分布19.19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X X（以分计）服从指数分布，其概率密度为：（以分计）服从指数分布，其概率密度为：某顾客在窗口等待服务，若超过某顾客在窗口等待服务，若超过1010分钟，分钟，他就离开，他一个月要到银行他就离开，他一个月要到银行5 5次，以次，以Y Y表表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，写出数，写出Y Y的分布律，并求的分布律，并求Px 1.Px 1.0 xf (x)( (a a) ) 概率密度函数概率密度函数如果连续型随机变量如果连续型随机变量X X的概率密度函数为的概率密度函数为 xexfx22221 ( (其中其中(-(-+, 0),0),则称随机变量则称随机变量X X服从服从参数为参数为, ,2 2的正态分布的正态分布, ,由称高斯分布由称高斯分布. .记记为为: :XNXN( (, ,2 2) ) xexx2221 0 xf (x)其图形如右其图形如右布布.记为记为:N(0,