傅里叶级数和傅里叶变换ppt课件

1、傅里叶级数和傅里叶变换内容傅里叶级数周期函数的傅里叶展开奇函数及偶函数的傅里叶展开复数形式的傅里叶级数傅里叶积分实数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分傅里叶变换式的物理意义频谱傅里叶变换傅里叶变换的定义多维傅氏变换广义傅里叶变换(不要求)积分变换(不要求)一个有趣的数学现象otu11 1,0( )1,0tu tt 矩形波当当 sin( ),sin(2 ),sin(3 )ttt 正弦波，矩形波可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加矩形波可看成如下各不同频率正弦波的逐个叠加44 14 14 1sin ,sin3 ,sin5 ,sin7 ,357tttt4sint41(sinsin3 )3tt411

2、(sinsin3sin5 )35ttt4111(sinsin3sin5sin7 )357tttt41111(sinsin3sin5sin7sin9 )3579ttttt4111( )(sinsin3sin5sin7)357 (,0)u ttttttt 物理意义：把一个比较复杂的周期运动物理意义：把一个比较复杂的周期运动看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。看成是许多不同频率的简谐振动的叠加。一点历史 1807年法国数学家傅里叶(J. Fourier, 1768-1830)在向法国科学院呈交一篇关于热传导问题的论文中宣布了任一函数都能够展成三角函数的无穷级数，但遭到拉格朗日(Lagrange)的强

3、烈反对,论文从未公开露面过。 1822年，他在研究热传导理论时发表了热的分析理论，提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理，奠定了傅里叶级数的理论基础。傅里叶、傅利叶、傅立叶Fourier傅里叶变换 在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为在自然科学和工程技术中为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如较简单的运算，人们常采用变换的方法来达到目的例如在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较在初等数学中，数量的乘积和商可以通过对数变换化为较简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分简单的加法和减法运算在工程数学里积分变换能够将分析运算如微分、

4、积分转化为代数运算，正是积分变换析运算如微分、积分转化为代数运算，正是积分变换的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成的这一特性，使得它在微分方程、偏微分方程的求解中成为重要的方法之一积分变换的理论方法不仅在数学的诸为重要的方法之一积分变换的理论方法不仅在数学的诸多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，多分支中得到广泛的应用，而且在许多科学技术领域中，例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理例如物理学、力学、现代光学、无线电技术以及信号处理等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用等方面，作为一种研究工具发挥着十分重要的作用 7.1 傅里叶级数( )f x2l7

5、.1.1周期函数的傅里叶展开周期函数的傅里叶展开定义定义7.1.1 傅里叶级数傅里叶级数 傅里叶级数展开式傅里叶级数展开式 傅里叶系数傅里叶系数 若函数若函数 以以为周期，即为周期，即为为(2 )( )f xlf x的光滑或分段光滑函数，且定义域为的光滑或分段光滑函数，且定义域为 ，则可取三角，则可取三角函数族函数族(7.1.2) 作为基本函数族，将作为基本函数族，将 展开为傅里叶级数即下式右端展开为傅里叶级数即下式右端级数）级数） (7.1.3) , l l21, cos, cos,., cos,.2 sin, sin,., sin,.xxk xlllxxk xlll( )f x01( )(

6、cossin)kkkk xk xf xaabll式式7.1.3称为周期函数称为周期函数 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数简（简称傅氏级数展开），其中的展开系数称为傅里叶系数简称傅氏系数）称傅氏系数） 函数族 (7.1.2)是正交的即为：其中任意两个函数的乘积在一个周期上的积分等于零，即( )f x利用三角函数族的正交性，可以求得利用三角函数族的正交性，可以求得(7.1.3)的展开系数为的展开系数为1 cosd0 (0) 1 sind0 coscosd0 () sinsind0 ()cossind0 llllllllllk xxklk xxl

7、k xn xxknllk xn xxknllk xn xxll 积化和差公式积分积化和差公式积分 （7.1.4）关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理：关于傅里叶级数的收敛性问题，有如下定理： 狄利克雷狄利克雷Dirichlet定理定理 7.1.1 若函数若函数 满足条件：满足条件： 01( )d21( )cos()d1( )sin()d lllkllklaf xxlk xaf xxllk xbf xxll( )f x(1) 处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点； (2) 在每个周期内只有有限个极值点，则级数在每个周期内只有有限个极值点

8、，则级数7.1.3收敛，收敛，那么那么在收敛点有：在收敛点有： 在间断点有：在间断点有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll011 (0)(0)(cossin)2kkkk xk xf xf xaabll7.1.2 奇函数及偶函数的傅里叶展开奇函数及偶函数的傅里叶展开定义定义 7.1.2 傅里叶正弦级数傅里叶正弦级数 傅里叶余弦级数傅里叶余弦级数若周期函数若周期函数 是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式是奇函数，则由傅里叶系数的计算公式(7.1.4)可见，所有可见，所有 均等于零，展开式均等于零，展开式(7.1.3)成为成为 (7.1.5)这叫作傅里叶正弦级数容易检验这叫

9、作傅里叶正弦级数容易检验7.1.5中的正弦级数在中的正弦级数在 处为零处为零 ( )f x0,ka a1( )sinkkk xf xbl0,xxl由于对称性，其展开系数为由于对称性，其展开系数为若周期函数若周期函数 是偶函数，则由傅里叶系数计算公是偶函数，则由傅里叶系数计算公式可见，所有式可见，所有 均等于零，展开式均等于零，展开式(7.1.3)成为成为 (7.1.6)这叫作傅里叶余弦级数这叫作傅里叶余弦级数 02( )sin()d lkk xbf xxll( )f xkb01( )coskkk xf xaal同样由于对称性，其展开系数为同样由于对称性，其展开系数为(7.1.7)由于余弦级数的

10、导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在由于余弦级数的导数是正弦级数，所以余弦级数的导数在 处为零处为零 而对于定义在有限区间上的非周期函数而对于定义在有限区间上的非周期函数 的傅里叶级的傅里叶级数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周数展开，需要采用类似于高等数学中的延拓法，使其延拓为周期函数期函数02( )cos()d lkk xaf xxll0,xxl( )g x7.1.3复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数定义定义7.1.3 复数形式的傅里叶级数复数形式的傅里叶级数 取一系列复指数函数取一系列复指数函数(7.1.8)作为基本函数族，可以将周期函数作为基本函数族，可以将周期

11、函数 展开为复数形式的展开为复数形式的傅里叶级数傅里叶级数 (7.1.9)22iiiiii,1,k xxxxxk xlllllleeeeee( )f xi()kxlkkfxC e 利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数利用复指数函数族的正交性，可以求出复数形式的傅里叶系数 (7.1.10)式中式中“*”代表复数的共轭代表复数的共轭 上式上式(7.1.9)的物理意义为一个周期为的物理意义为一个周期为2l 的函数的函数 可以分解可以分解为频率为为频率为，复振幅为，复振幅为 的复简谐波的叠加的复简谐波的叠加 称为谱点，称为谱点，所有谱点的集合称为谱对于周期函数所有谱点的集合称为谱对于

12、周期函数 ( )f x而言，谱是离散的而言，谱是离散的( )f xii*11( ) d( )d22k xk xllllkllCf x exf x exllnlncnl( )f x虽然虽然 是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，是实函数，但其傅里叶系数却可能是复数，且满足：且满足： 或或 (7.1.11)7.2 实数与复数形式的傅里叶积实数与复数形式的傅里叶积分分 上一节我们讨论了周期函数的傅里叶级数展开，下面讨论非周期函数的级数展开 7.2.1 实数形式的傅里叶积分实数形式的傅里叶积分( )f x*kkCCkkCC定义定义 7.2.1 实数形式的傅里叶变换式实数形式的傅里叶变换式 傅里叶积分傅

13、里叶积分 傅里叶积分表示式傅里叶积分表示式设非周期函数设非周期函数 为一个周期函数为一个周期函数 当周期当周期 2l 时的极限情形这样，时的极限情形这样， 的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式(7.2.1)在在 时的极限形式就是所要寻找的非周期函数时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 ( )f x的傅里叶展开下面我们研究这一极限过程：的傅里叶展开下面我们研究这一极限过程：( )f x( )g x( )g x01( )(cossin)kkkk xk xg xaablll 设不连续的参量设不连续的参量 故故7.2.1为为 （7.2.2） 傅里叶系数为傅里叶系数为(7.2.3) 1 (0,1,2,)

14、, kkkkkkll01( )(cossin)kkkkkg xaaxbx01( )d21( )cosd1( )sind lllkkllkklaf xxlaf xxxlbf xxxl代入到代入到 (7.2.2)，然后取，然后取 的极限的极限 对于系数对于系数 ，假设，假设 有限，那么有限，那么 而余弦部分为而余弦部分为当当 ，不连续参变量，不连续参变量 变为变为 连续参量，以符号连续参量，以符号 替代对替代对 的求和变为对连续参量的求和变为对连续参量 l 0alim( )dlllf xx,0kll kk01limlim( )d02llllaf xxl的积分，上式变为的积分，上式变为同理可得正弦部

15、分同理可得正弦部分若令若令（7.2.4）01( )cosd cosdf xxxx01( )cosd cosdf xxxx01( )sind sindf xxxx1( )( )cosd1( )( )sindAf xxxBf xxx式式7.2.4称为称为 的实数形式傅里叶变换式的实数形式傅里叶变换式 故故7.2.2在在 时的极限形式变为注意到时的极限形式变为注意到 ） (7.2.5)上式上式(7.2.5)右边的积分称为实数形式傅里叶积分右边的积分称为实数形式傅里叶积分 (7.2.5)式称为非周期函数式称为非周期函数 的实数形式傅里的实数形式傅里 叶积分表示式叶积分表示式 ( )f xl ( )(

16、)g xf x00( )( )cosd( )sindf xAxBx( )f x事实上，上式事实上，上式7.2.5还可以进一步改写为还可以进一步改写为（7.2.6） 上式上式(7.2.6)的物理意义为：的物理意义为： 称为称为 的振幅谱，的振幅谱， ( ) 称为称为 的相位谱可以对应于物理现象中波动或振动）的相位谱可以对应于物理现象中波动或振动）120022( ) ( )cos( )sind( )( )cos( )d( )( )( ) , ( )arctan ( )/ ( )f xAxBxf xCxxCABBA ( )C( )f x( )f x我们把上述推导归纳为下述严格定理：我们把上述推导归纳

17、为下述严格定理： 1傅里叶积分定理傅里叶积分定理定理定理7.2.1 傅里叶积分定理傅里叶积分定理 若函数若函数 在区间在区间 上满足条件上满足条件（1）( )f x在任一有限区间上满足狄利克雷条件；在任一有限区间上满足狄利克雷条件；（2） 在在 上绝对可积，那么上绝对可积，那么 里叶积分形式里叶积分形式7.2.5)， 可表为傅可表为傅且在且在 的连续点处傅里叶积分值的连续点处傅里叶积分值 ( )f x(,) ( )f x( )f x(,) ( )f x( )f x；在间断点处傅里叶积分值；在间断点处傅里叶积分值 2奇函数的傅里叶积分奇函数的傅里叶积分定义定义 7.2.2 实数形式的傅里叶正弦积

18、分实数形式的傅里叶正弦积分 傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换 假设假设 ( )f x为奇函数，我们可推得奇函数为奇函数，我们可推得奇函数 ( )f x分为傅里叶正弦积分：分为傅里叶正弦积分： 的傅里叶积的傅里叶积(7.2.7)式式7.2.7满足条件满足条件 (0)0f其中其中 ( )B是是 ( )f x的的傅傅 里叶正弦变换：里叶正弦变换： 0( )()sindf xBx( )f x( )f x(0)0f( )B( )f x (0)(0)2f xf x( )f x（7.2.8） 3. 偶函数的傅里叶积分偶函数的傅里叶积分定义定义 7.2.3 实数形式的傅里叶余弦积分实数形式的傅里叶余弦积分 傅里叶

19、余弦变换傅里叶余弦变换假设假设 ( )f x为偶函数，为偶函数， ( )f x的傅里叶积分为傅里叶余弦积分：的傅里叶积分为傅里叶余弦积分：(7.2.9) 02( )( )sindBf xx x( )f x02( )() cosdfxAx( )f x式式7.2.9满足条件满足条件 其中其中 是是 ( )f x的傅里叶余弦变换：的傅里叶余弦变换： （7.2.10） 上述公式可以写成另一种对称的形式上述公式可以写成另一种对称的形式（7.2.11）(0)0f ( )B02( )( )cosdAf xx x2020( )( )sind( )( )sindf xBxBf xxx(7.2.12)7.2.2

20、复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分定义定义7.2.4 复数形式的傅里叶积分复数形式的傅里叶积分 复数形式的傅里叶变换式复数形式的傅里叶变换式 对于上述实数形式的傅里叶变换，我们觉得还不够紧凑下面我们讨论复数形式的傅氏积分与变换，而且很多情形下，复数2020( )( )cosd( )( )cosdf xAxAf xx x形式也称为指数形式的傅氏积分变换使用起来更加方便形式也称为指数形式的傅氏积分变换使用起来更加方便 利用欧拉公式则有利用欧拉公式则有 代入式代入式7.2.5得到得到iiii11cos(), sin()22ixxxxxeexeeii0011( ) ( ) i ( )d ( )

21、i ( )d22xxf xABeABe将右端的第二个积分中的将右端的第二个积分中的 换为换为，那么，那么 上述积分能合并为上述积分能合并为 (7.2.13)其中其中0ii011( ) ( ) i ( )d (|) i (|)d22xxf xABeABei( )( )dxf xFe ( )i ( )/ 2, (0)( ) (|)i (|)/ 2, (0)ABFAB将将7.2.4代入上式可以证明无论对于代入上式可以证明无论对于 ，还是，还是 均可以合并为均可以合并为 （7.2.14）证明：（证明：（1） 时时 （2） 时时00i*1()( ) d2xFf xex00i*11( )( )cos()i

22、sin()d( ) d22xFf xxxxf x ex 证毕证毕 （7.2.13是是 的复数形式的傅里叶积分表示式的复数形式的傅里叶积分表示式,（7.2.14则是则是的复数形式的傅里叶变换式的复数形式的傅里叶变换式上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换对形式上述变换可以写成另一种对称的傅氏变换对形式i| |ii*11( )( )cos|isin | )d( )d2211( )d( ) d22xxxFf xxxxf x exf x exf x ex( )f x( )f x（7.2.15）7.2.3 傅里叶变换式的物理意义傅里叶变换式的物理意义频谱频谱 傅氏变换和频谱概念有着非常密切的联系频谱这个术

23、语来自于光学.通过对频谱的分析，可以了解周期函数和非周期函数的一些基本性质. i12i12( )( )d( )( )dxxf xFeFf x ex若已知若已知 是以是以 为周期的周期函数，且满足狄利为周期的周期函数，且满足狄利克雷条件，则可展成傅里叶级数克雷条件，则可展成傅里叶级数 (7.2.16) 其中其中 2 nnnT,我们将我们将 称为称为 的第的第次谐波，次谐波，称为第称为第次谐波的频率次谐波的频率( )f xT01( )(cossin)nnnnnf xaaxbx2 nnnTcossinnnnnaxbx( )f xnnn由于由于其中其中 称为初相，称为初相， 22nnba 称为第称为第

24、 次谐波的振幅，记为次谐波的振幅，记为 ，即，即 00Aa（7.2.17） 22cossincos()nnnnnnnnaxbxabxarctannnnbannA22 (1,2,)nnnAabn若将傅里叶级数表示为复数形式，即若将傅里叶级数表示为复数形式，即 (7.2.18)其中其中 恰好是恰好是 次谐次谐波的振幅的一半波的振幅的一半.我们称我们称 为复振幅为复振幅.显然显然 n次谐波的振幅次谐波的振幅与复振幅有下列关系：与复振幅有下列关系：i( )nxnnf xC e221| |22nnnnnACCabnnCn （7.2.19）当取当取 这些数值时，相应有不同的频率这些数值时，相应有不同的频率

25、 和不同的振幅，所以式和不同的振幅，所以式(7.2.19)描述了各次谐波的振幅随频率变化描述了各次谐波的振幅随频率变化的分布情况频谱图通常是指频率和振幅的关系图的分布情况频谱图通常是指频率和振幅的关系图. nA称为函数称为函数 的振幅频谱简称频谱）的振幅频谱简称频谱）. 若用横坐标表示频率若用横坐标表示频率 ，纵坐标表示振幅，纵坐标表示振幅 ，把点，把点 2| (0,1,2,)nnACn0,1,2,n ( )f xnnAnA用图形表示出来，这样的图用图形表示出来，这样的图形就是频谱图形就是频谱图. 由于由于 ,所以频谱所以频谱 不连续的，称之为离散频谱不连续的，称之为离散频谱的图形是的图形是7

26、.3 傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义7.3.1 傅里叶变换的定义傅里叶变换的定义(,), (0,1,2,)nnAn0,1,2,n nA化学中的频谱 光谱 1991年 诺贝尔化学奖 Richard R. Ernst 主要贡献之一：傅里叶变换核磁共振谱 傅里叶变换红外光谱(Fourier Transform Infrared, FT-IR) 由上一节对实数和复数形式的傅里叶积分的讨论，最后我们以简洁的复数形式即指数形式作为傅里叶变换的定义定义定义7.3.1 傅里叶变换傅里叶变换 假设假设 满足傅氏积分定理条件，满足傅氏积分定理条件，称表达式称表达式 （7.3.1） 为为 ( )f x的傅里叶变换

27、式的傅里叶变换式,记作记作 我们我们称函数称函数 为为 的傅里叶变换，简称傅氏变换的傅里叶变换，简称傅氏变换( )f x i( )dxFf x ex( )f x( ) ( )Ff xF( )F( )f x（或称为像函数）（或称为像函数）定义定义7.3.2 傅里叶逆变换傅里叶逆变换 假如假如 (7.3.2)则上式为则上式为 的傅里叶逆变换式，记为的傅里叶逆变换式，记为 我们称我们称 为为 （或称为像原函数或原函数）（或称为像原函数或原函数）的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换 i1( )d2xf xFe( )f x1( ) ( )f xFF( )f x( )F 由7.3.

28、1和7.3.2知傅里叶变换和傅里叶逆变换是互逆变换，即有 (7.3.3)或者简写为或者简写为 7.3.2 多维傅氏变换多维傅氏变换在多维（在多维（ 维情况下，完全可以类似地定义函数维情况下，完全可以类似地定义函数 111( )( )( )( )Ff xf xf xFFFF F1( )( )f xf xF Fn的傅氏变换如下：的傅氏变换如下： 它的逆变换公式为：它的逆变换公式为：7.3.3 傅里叶变换的三种定义式傅里叶变换的三种定义式12( ,)nf x xx1 12 21212()1212(,) ( ,)( ,)n nnnixxxnnFF f x xxf x xx edxdxdx 1 12 2

29、12i()12121( ,)(2)(,)dddn nnnxxxnnf x xxFe 在实际应用中，傅里叶变换常常采用如下三种形式，由于它们采用不同的定义式，往往给出不同的结果，为了便于相互转换，特给出如下关系式：第一种定义式第一种定义式2.第二种定义式第二种定义式ii1111( )( )d , ( )( )d22xxFf x exf xFeii221( )( )d , ( )( )d2xxFf x exf xFe3.第三种定义式第三种定义式三者之间的关系为三者之间的关系为 三种定义可统一用下述变换对形式描述三种定义可统一用下述变换对形式描述i2i233( )( )d , ( )( )dxxFf

30、 t exf xFe12311( )( )()222FFF1( ) ( ) ( ) ( )Ff xf xFFF 特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，特别说明：不同书籍可能采用了不同的傅氏变换对定义，所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如所以在傅氏变换的运算和推导中可能会相差一个常数倍数比如 11,22 ，读者应能理解本书采用的傅氏变换(对)是大量书籍中常采用的统一定义, 若未特殊申明，均使用的是第二种定义式 ii( )d 1( )d2xxFf x exf xFe1( ) ( ) ( ) ( )Ff xf xFFF11,22傅立叶的两个最主要的贡献傅立叶的两个最主要

31、的贡献 “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点7.3.4 广义傅里叶变换广义傅里叶变换(不要求不要求) 前面我们定义的傅氏变换要求满足狄利克雷条件，那么对一些很简单、很常用的函数，例如单位阶跃函数，正、余弦函数等都无法确定其傅氏变换这无疑限制了傅氏变换的应用所以我们引入广义傅氏变换概念系指 函数及其相关函数函数及其相关函数的傅氏变换的傅氏变换 在后面我们将看到，在后面我们将看到， 函数的傅氏变换在求解数理方程中有函数的傅氏变换在求解数理方程中有着特殊的作用着特殊的作用 这里先介绍其有关基本定义和性

32、质这里先介绍其有关基本定义和性质1. 函数定义函数定义 定义定义7.3.3 函数函数 如果一个函数满足下列条件，则称之为如果一个函数满足下列条件，则称之为 函数，并记为函数，并记为 ( )x (7.3.4) 且且 (7.3.5)0, 0( ), 0 xxx()d1xx我们不加证明地指出与定义我们不加证明地指出与定义7.3.3等价的等价的 函数的另一定义函数的另一定义 定义定义7.3.4 函数函数 如果对于任意一个在区间如果对于任意一个在区间 上连续的函数上连续的函数 ( )f t恒有恒有 则称满足上式中的函数则称满足上式中的函数 为为函数，函数， 对于任意的连续可微函数对于任意的连续可微函数

33、,定义定义 函数的导数为函数的导数为 (,) 00() ( )d()xxf xxf x0()xx( )f t( )x( )f t （7.3.6）根据上式显然有根据上式显然有（7.3.7）由由函数定义函数定义7.3.4有有 (7.3.8)( ) ( )d( )( )dx f xxx fxx ( )( )( ) ( )d( 1)( )( )d , 1,2,3,nnnx f xxx fxxn ( )( )( )000() ( )d( 1)()( )d( 1)()nnnnnxxf xxxxfxxfx 2. 函数性质函数性质性质性质1 对于对于 的实常数，有的实常数，有 (7.3.9)性质性质2 设设

34、，那么，那么 当当 时，即对应为时，即对应为 ，故为偶函，故为偶函数数0a 1()( )|axxa0,1,2,n ( )( )()( 1)( )nnnxx 0n ()( )xx( )f t所谓积分变换，就是把某函数类所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数中的任意一个函数，经过某种可逆的积分方法即为通过含参变量，经过某种可逆的积分方法即为通过含参变量的积分）的积分）变为另一函数类变为另一函数类 B中的函数中的函数 这里这里 是一个确是一个确定的二元函数，通常称为该积分变换的核定的二元函数，通常称为该积分变换的核 称为称为 的像函数或简称为像，的像函数或简称为像， 称为称为 的原函数的原函

35、数()( )( ,) dbaFft Ktt( ),F( , )K t( )F( )f t( )f t( )F( )f t 在这样的积分变换下，微分运算可变为乘法运算，原来的偏微分方程可以减少自变量的个数，变成像函数的常微分方程；原来的常微分方程可以变为像函数的代数方程，从而容易在像函数类B中找到解的像；再经过逆变换，便可以得到原来要在A中所求的解，而且是显式解 另外需要说明的是，当选取不同的积分区域和核函数时，就得到不同名称的积分变换: （1特别当核函数特别当核函数 （注意已将积分参（注意已将积分参变量变量改写为变量改写为变量），当），当，那么，那么称函数称函数 为函数为函数 的傅里叶的傅里叶Fourier变换，变换，简称简称为函数为函数的傅氏变换同时我们称的傅氏变换同时我们称 ( )f t为为的傅里叶逆变换的傅里叶逆变换it( ,)K te,ab i( )(