弹性力学重点复习题及其答案答辩

1、弹性力学重点复习题及其答案一、填空题1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正,缩短时为负,与正应力的正负号规定相适应。3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正,变大时为负,与切应力的正负号规定相适应。4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量,也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是l-1mt-2q5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。7、已知一

2、点处的应力分量仃x=100MPa,仃y=50MPa,%=10/瓦MPa,则主应力=150MPa.<r2=0MPa,以=35二16'。8、已知一点处的应力分量，仃x=200MPa,%=0MPa,1=-400MPa、则主应力仃1=512MPa,仃2=-312MPa,m=-37°57'。9、已知一点处的应力分量，仃x=-2000MPa,仃y=1000MPa,hy=-400MPa,则主应力“1052MPa,02=-2052MPa,1=-8232'。10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件、分别建立三11、表示应力分量与体力分量之间关系的

3、方程为平衡微分方程。12、边界条件表示边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系式。分为辿移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构一然后再用结构力学位移法讲行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的、另一部分是由干其他单元发生了形变而连带引起的。16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的,是各点相同的，即所谓常量应变。17、为了能

4、从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变,还应当尽可能反映相邻单元的位移连续也一18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为了使得相邻单元的位移保持连续，就不仅要使它们在公共结点处具有相同的位移时.也能在整个公共边界上具有相同的位移。119、在有限单元法中，单元的形函数Ni在i结点Ni=；在其他结点Ni=0及!2Ni=。20、为了提高有限单元法分析的精度，一般可以采用"种方法：一是将单工的尺寸旋小,以便较好地反映位移和应力变化情况；二是采用包含更高次项的位移模式，使位移和应力的精度提高。二、判断题（请在正确命题后的括号内

5、打，在错误命题后的括号内打“X”）1、连续性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。2、均匀性假定是指整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙。（X）3、连续性假定是指整个物体是由同一材料组成的。（x）4、平面应力问题与平面应变问题的物理方程是完全相同的。（X）5、如果某一问题中，,=%=1=0,只存在平面应力分量3,工xy,且它们不沿Z方向变化，仅为x,y的函数，此问题是平面应力问题。（，）6、如果某一问题中，&=¥zx=¥zyR,只存在平面应变分量%,Zy,且它们不沿Z方向变化，仅为x,y的函数，此问题是平面应变问题

6、。（，）7、表示应力分量与面力分量之间关系的方程为平衡微分方程。（X）8、表示位移分量与应力分量之间关系的方程为物理方程。（X）9、当物体的形变分量完全确定时，位移分量却不能完全确定。（，）10、当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（，）11、按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（x）12、按应力求解平面问题，最后可以归纳为求解一个应力函数。（X）13、在有限单元法中，结点力是指单元对结点的作用力。（X）14、在有限单元法中，结点力是指结点对单元的作用力。（，）15、在平面三结点三角形单元的公共边界上应变和应力均有突变。（，）三、简答题1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研

7、究方法方面的异同点。在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答2、简述弹性力学的研究方法。2答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学

8、三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。止匕外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？答：弹性力学中正应力用。表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用工表示，并加上两个下标字母，

9、前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有仃x,*,%y。而平面应变问题是指很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u和V5、简述圣维南原理。如果把物体的一小部分边

10、界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力(主矢量相同，对于同一点的主矩也相同)，那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。6、简述接应力求解平面问题时的逆解法。答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。7、以三节点三角形单元为例，简述有限单元法求解离散化结构的具体步骤。(1)取三角形单元的结点位移为基本未知量。(2)应用插值公式，由单元的结点位移求出单元的位移函数。(3)应用几何方

11、程，由单元的位移函数求出单元的应变。(4)应用物理方程，由单元的应变求出单元的应力。(5)应用虚功方程，由单元的应力出单元的结点力。(6)应用虚功方程，将单元中的各种外力荷载向结点移置，求出单元的结点荷载。(7)列出各结点的平衡方程，组成整个结构的平衡方程组。8、为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足哪些条件？3答：为了保证有限单元法解答的收敛性，位移模式应满足下列条件：(1)位移模式必须能反映单元的刚体位移；(2)位移模式必须能反映单元的常量应变；(3)位移模式应尽可能反映位移的连续性。9、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的刚体位移？每个单元的位移一般总是包含着两部分

12、：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是本单元的形变无关的，即刚体位移，它是由于其他单元发生了形变而连带引起的。甚至在弹性体的某些部位，例如在靠近悬臂梁的自由端处，单元的形变很小，单元的位移主要是由于其他单元发生形变而引起的刚体位移。因此，为了正确反映单元的位移形态，位移模式必须能反映该单元的刚体位移。10、在有限单元法中，为什么要求位移模式必须能反映单元的常量应变？答：每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。而且，当单元的尺寸较小时，单元中各点的应变趋于相等，也就是

13、单元的应变趋于均匀，因而常量应变就成为应变的主要部分。因此，为了正确反映单元的形变状态，位移模式必须能反映该单元的常量应变。11、在平面三结点三角形单元中，能否选取如下的位移模式并说明理由：22(1) u(x,yHW2/My,v(x,y)»+a5xW6y2222(2) u(x,y)Rx+«2*丫坨3y，v(x,y)4x+ct5xy+ct6y答：(1)不能采用。因为位移模式没有反映全部的刚体位移和常量应变项；对坐标x,y不对等；在单元边界上的连续性条件也未能完全满足。(2)不能采用。因为，位移模式没有反映刚体位移和常量应变项；在单元边界上的连续性条件也不满足。四、分析计算题1

14、、试写出无体力情况下平面问题的应力分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应力分量是否可能在弹性体中存在。(1) %=Ax+By,<iy=Cx+Dy,%=Ex+Fy；(2) Ox=A(x2+y2),3=B(x2+y2),%y=Cxy；其中，A,B,C,D,E,F为常数:x：:y.:y：:x解：应力分量存在的必要条件是必须满足下列条件：(1)在区域内的平衡微分方程二2二2(2)在区域内的相容方程后*+%0；(3)在边界上的应力22ylcxm.vx=fxs，、边界条件|yxs_x;(4)对于多连体的位移单值条件。m二ylxys=fys(1)此组应力分量满足相容方程。为了满足平衡微分方程，必须

15、A=-F,D=-E。此外还应满足应力边界条件。(2)为了满足相容方程，其系数必须满足A+B=0;为了满足平衡微分方程，其系数必须满足A=B=-C/20上两式是矛盾的，因此，此组应力分量不可能存在。2、已知应力分量Ox=-Qxy2+Cx3,cry=-1C2xy2,hy=-C2y3-C3x2y,体力不计，Q为常数。试利用平衡微分方程求系数Ci,C2,C3。解：将所给应力分量代入平衡微分方程x:yx_0:x；yI：.'y二xy-0I:y；xr_222_2_-Qy+3C1x-3C2y-C3x=0-3C2xy-2C3xy=0_2_23Ci-C3x-Q3c2y=03c22C3xy=0由x,y的任意

16、性，得3cl-C3=0Q3c2=03c22C3=0由此解得，Ci=Q,C2Q,C36323、已知应力分量x=-q,Oy=-q,判断该应力分量是否满足平衡微分方程和相容方程。解：将已知应力分量ox=-q,仃y=-q,4=0,代入平衡微分方程x"y"xX=0Y=05可知，已知应力分量q=-q,Oy=-q,%y田一般不满足平衡微分方程，只有体力忽略不计时才满足。接应力求解平面应力问题的相容方程:二2-xy:x:y二2.2(-x-:y)(二y-二x)-2(1、)-y：x可知满足相容方程。将已知应力分量crx=-q，c»y=-q,Txy=0代入上式,接应力求解平面应变问题的

17、相容方程:-2C,-2(,-x-.yCT1T-2y)(y-jx：CT1yx)=22fxy将已知应力分量Ox=-q,Oy=-q,Exy=0代入上式，可知满足相容方程。4、试写出平面问题的应变分量存在的必要条件，并考虑下列平面问题的应变分量是否可能存在。(1)名x=Axy,8y=By,；5=Ay2,&y=Bx2y,1=Cxy；(3)%=°,&y=0,，xy=Cxy其中,A,B,C,D为常数。解：应变分量存在的必要条件是满足形变协调条件，即一；x-"y，2xy_2-2-y二x二xy将以上应变分量代入上面的形变协调方程，可知：（1）相容。（2）2A+2By=C（1分

18、）；这组应力分量若存在，则须满足：B=0,2A=C。0=C;这组应力分量若存在，则须满足：C=0,则%=0,%=0,、y=0（1分）。5、证明应力函数中巾y2能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，b#0）。6解：将应力函数中4y2代入相容方程可知，所给应力函数中4y2能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为_/2，/：n仃x-2"-2b,°y-2_0，Txy-0N*：x：y对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：h上边，y=二，O,m=-1,fx=Gxy）h=。，fy=-9y）h

19、=0；y，=h下边，y=，1旬，m=1,fx=(%y)h=0,fy=(仃y)h=0；2ff左边,lx=-二，1,m=0,fx-_(°x)l-2b,fy=-(Txy)l=0；2xx-_222wl右边，二x二y二y=二,l=1,m=0,fxx）l=2b,fy=（%）l=0。2至光可见，上下两边没有面力，而左右两边分别受有向左和向右的均布面力2b。因此,应力函数中力y2能解决矩形板在x方向受均布拉力（b>0）和均布压力（b<0）的问题。6、证明应力函数=axy能满足相容方程，并考察在如图所示的矩形板和坐标系中能解决什么问题（体力不计，a，0）。h/2h/2l/2l/2解：将应力

20、函数中=axy代入相容方程二4：.：4；：,4;：2二04匚-2-2-4可知，所给应力函数中=axy能满足相容方程。由于不计体力，对应的应力分量为；-x=-2=0，-一二y-2-0,xy-:x=-a.:x；y上边,hv=-2,l=°，m=-1,fx=Txy)hy二一2fy=9y)h=0；y二一2下边,hy=二，1=。，m=1,fx=(,xy)h-a，2fy=3)h=0；y=2左边,1x=-,1=一1,m=0,fx=-(ax)1=0,fy=-(Txy)1=a;2xx-_222右边,lx=一2l11,m=0,fxx)1=0,fy=xy)1-a0x=2可见,在左右两边分别受有向下和向上的均

21、布面力a,而在上下两边分别受有向右和向左的均布面力a。因此，应力函数*=axy能解决矩形板受均布剪力的问题。7、如图所示的矩形截面的长坚柱，密度为P,在一边侧面上受均布剪力，试求应力分解：根据结构的特点和受力情况，可以假定纵向纤维互不挤压,即设。x=。由此可知?2:二x二0y将上式对y积分两次，可得如下应力函数表达式rx,y>fi（x）yf2（x）将上式代入应力函数所应满足的相容方程则可得4-4-d"x）df2（x）y4-4=0dxdx这是y的线性方程，但相容方程要求它有无数多的解（全柱内的y值都应该满足它），可见它的系数和自由项都应该等于零，即4.df1(x)=0,dx4&#

22、39;4-，、df2(x)0dx4对于图示的矩形板和坐标系，当板内发生上述应力时，根据边界条件，上下左右四个边上的面力分别为：这两个方程要求3f1(x)=Ax+Bx2x+I,_3_2f2(x)=DxExJxK代入应力函数表达式，并略去对应力分量无影响的一次项和常数项后，使得32_32=y(AxBxCx)DxEx对应应力分量为二y=r=y(6Ax2B)6Dx2E-：gy：:x.xy=-=-3Ax-2Bx-C；=xjy以上常数可以根据边界条件确定。左边，x=0,l=-1,m=0,沿y方向无面力，所以有-(刈晨££=0右边，x=b,l=1,m=0,沿y方向的面力为q,所以有(xy

23、)x+=-3Ab2-2Bb=q上边，y=0,l=0,m=-1,没有水平面力，这就要求Exy在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即b0(xy)y=0dx=0将的表达式代入，并考虑到C=0,则有j(-3Ax2-2Bx)dx=-Ax3-Bx2b=-Ab3-Bb2=0.b.而0«xy)y曰0dx=0自然满足。又由于在这部分边界上没有垂直面力，这就要求仃y在这部分边界上合成的主矢量和主矩均为零，即bb(Oy)y3dx=0,1(%)y田xdx0将。y的表达式代入，则有，(6Dx+2E)dx=3Dx2+2Ex：=3Db2+2Eb=0由此可得(6Dx9E)xdx=2Dx3+Ex20=2Db3+E

24、b2=0A=-3，B=q,CR,D=0,E=0b2b应力分量为_y_xl_xT_x3=0,仃y=2q丁141LPgy,ixy=q-.3-2ib<bJbibJ虽然上述结果并不严格满足上端面处（y=0）的边界条件，但按照圣维南原理，在稍远离y=0处这一结果应是适用的。8、证明：如果体力分量虽然不是常量，但却是有势的力，即体力分量可以表示为fx=-,fy=-处，其中V是势函数，则应力分量亦可用应力函数表示为，二x二y:222DxJn,"二一，试导出相应的相容方程。222二y二x：x：y证明：在体力为有势力的情况下，按应力求解应力边界问题时，应力分量,仃y,Txy应当满足平衡微分方程N

25、j/EyxV-=0笈cy改“八、（1分）二二y二xyV0J:yfxZ还应满足相容方程红x+0yj玉+'（对于平面应力问题）I改yjcxy；灯x+"y)=二fxfy1-N18cy（对于平面应变问题）并在边界上满足应力边界条件（1分）。对于多连体，有时还必须考虑位移单值条件。首先考察平衡微分方程。将其改写为COfyx一0M广二=0xcyjy"j。yI；yx这是一个齐次微分方程组。为了求得通解，将其中第一个方程改写为-x-V=-yx.xcy根据微分方程理论，一定存在某一函数A（x,y）,使得二x7二:A-y同样，将第二个方程改写为10y-V一工yx)(1分)二y.x可见也

26、一定存在某一函数B(x,y),使得cDcDB_BOyj=,Tyx=jxty由此得£A£Bjx；:y因而又一定存在某一函数中(x,y),使得R，:B，x代入以上各式，得应力分量":产Ox-Qy-w,二y:x二x:y为了使上述应力分量能同量满足相容方程，应力函数邛(x,y)必须满足一定的方程,将上述应力分量代入平面应力问题的相容方程，得，d口21ICcl.-2!+V%1+NL.NL.£-I«xcyj简写为(1/2v将上述应力分量代入平面应变问题的相容方程，得2d2c2丫c2(p32中，i广展62、77!7+V4v=7V1c2h-l2Ih-l2r-L

27、2(Illc2f-l2cky人cyexJ1-Bexy)2d2d2Yc2(P白绯12d2方211(d2d2、谈十歹J谈十彩)一_2(束十/y+1：ii(十歹p简写为、4=-1=22V1-j9、如图所示三角形悬臂梁只受重力作用，而梁的密度为P,试用纯三次的应力函数求11a解：纯三次的应力函数为二ax3bx2ycxy2dy3相应的应力分量表达式为二2；：.;2；.；.;2；，-xfx=2cx6dy,二y=-yfy=6ax2by-"gy,刈=-=-2bx-2cyy:xFxfy这些应力分量是满足平衡微分方程和相容方程的。现在来考察，如果适当选择各个系数,是否能满足应力边界条件。上边，y/，|=

28、0,m=-1,没有水平面力，所以有-（,xy）yH=2bx=0对上端面的任意x值都应成立，可见b=0同时，该边界上没有竖直面力，所以有-（；，y）y=0=6ax=0对上端面的任意x值都应成立，可见a=0因此，应力分量可以简化为3=2cx*6dy,<S=-Pgy,%y=-2cy斜面,m=cos>c0sx,没有面力，所以有l二cos口但他Lsina,：2JJ'l二xmvx0xyxyEtan.-；m。ylxy）：=0yxyyntan：工由第一个方程，得一：；2cx6dxtan二sin-2cxtan：cos-4cxsin-6dxtan：sin-0对斜面的任意x值都应成立，这就要求4

29、c6dtan：-0由第二个方程，得2cxtan二sin”-一-gxtan二cos：=2cxtan二sin二-gxsin:=012对斜面的任意x值都应成立，这就要求2ctan：tPg=0（1分）由此解得1_cPgcotot（1分）,2从而应力分量为2二x二：gxcot：-2：gycot:二y二pgy,xy=-：?gycot：设三角形悬臂梁的长为1,高为h,则tanot。根据力的平衡，固定端对梁的约束1反力沿x方向的分量为0,沿y方向的分量为Pg1h。因此，所求仃x在这部分边界上2合成的主矢应为零,1Txy应当合成为反力一giho2h22211_一：ghcot：=-；glh22.dy-plcot：-21gycot.：dy-glhcot-；ghcot-00xyx1tdy=0-;?gycot：dy=可见，所求应力分量满足梁固定端的边界条件。10、设有楔形体如图所示，左面铅直，右面与铅直面成角a,下端作为无限长，承受重力及液体压力，楔形体的密度为巴，液体的密度为P2,试求应力分量。解：采用半逆解法。首先应用量纲分析方法来假设应力分量的函数形式。取坐标轴如图所示。在楔形体的任意一点，每一个应力分量都