待定系数法求二次函数解析式课件

1、精品教学课件设计|Excellentteachingplan待定系数法求二次函数解析式(讲义)、【基础知识精讲】(一)、中考导航图顶点对称轴1 .二次函数的意义;2.二次函数的图象3二次函数的性质开口方向增减性顶点式：y=a(x-h)2+k(aw0)4 .二次函数待定系数法确定函数解析式一般式：y=ax2+bx+c(aW0)两根式：y=a(x-x1)(x-x2)(aw。)5 .二次函数与一元二次方程的关系。6 .抛物线y=ax2+bx+c的图象与a、b、c之间的关系。(二)、中考知识梳理1 .二次函数的图象2在画二次函数y=ax2+bx+c(aw0)的图象时通常先通过配方配成y=a(x+)2+

2、的形式，先2a4a2确定顶点(,),然后对称找点列表并画图，或直接代用顶点公式来求得顶点坐标2a4a2 .理解二次函数的性质抛物线的开口方向由a的符号来确定，当a>0时，在对称轴左侧y随x的增大而减小；在对称轴的右4acb2侧,y随x的增大而增大；简记左减右增，这时当x=-时,y最值=比-;反之当a<?0时，简记左增右2a4a减，当x=-bi4ac-b时y最大值=3 .待定系数法是确定二次函数解析式的常用方法一般地，在所给的三个条彳是任意三点(或任意三对x,y?的值)?可设解析式为y=ax2+bx+c,然后组成三元一次方程组来求解；在所给条件中已知顶点坐标或对称轴或最大值时，可设解

3、析式为y=a(x-h)2+k;在所给条件中已知抛物线与x?轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标和对称轴，则可设解析式为y=a(x-xi)(x-x2)来求解.4 .二次函数与一元二次方程的关系抛物线y=ax2+bx+c当y=0时抛物线便转化为一元二次方程ax2+bx+c=0,即抛物线与x轴有两个交点时，方程ax2+bx+c=0有两个不相等实根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有一个交点，方程ax2+bx+c=0有两个相等实根；当抛物线y=ax2+bx+c与x轴无交点,?方程ax2+bx+c=0无实根.5 .抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c符号的确定a的符号由抛物线开口方向决定，当a&

4、gt;0时，抛物线开口向上；当a<0时,？抛物线开口向下；c的符号由抛物线与y轴交点的纵坐标决定.当c>0时，抛物线交y轴于正半轴；当c<0时，抛物线交y轴于负半轴;b的符号由对称轴来决定.当对称轴在y?轴左侧时，b的符号与a的符号相同；当对称轴在y轴右侧时,b的符号与a的符号相反；？简记左同右异.6 .会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题，？应用数形结合思想来解决有关的综合精品教学课件设计|Excellentteachingplan、【典型例题精析】一般式：例1已知二次函数的图象经过A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6);求它的解析式。分析：此题主要考查用待

5、定系数法来确定二次函数解析式.可根据已知条件中的不同条件分别设出函数解析式，列出方程或方程组来求解.解：设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3abc,3abc,64a2bc.，解析式为y=x2+2.变式：已知一个二次函数，当解析式。a1,解得b0,c2.x=-1时，y=3;当x=1时，y=3;当x=2时，y=6。求这个二次函数的B(1,3)、C(2,6)各点代入上式得3abc,a3abc,解得b64a2bc.c，解析式为y=x2+2.顶点式：例2已知一个二次函数的图象过点(0,1),1,0,2.它的顶点坐标是(8,9),求这个二次函数的关系

6、式。解：设解析式为y=ax2+bx+c,把A(-1,3)、分析：二次函数y=ax2+bx+c通过配方可得y=a(x+h)2+k的形式称为顶点式，(h,k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8,9),因此，可以设函数关系式为：y=a(x8)2+9由于二次函数的图象过点(0,1),将(0,1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。请同学们完成本例的解答。变式1:已知二次函数的图象经过A(-1,0)、B(3,0),函数有最小值-8,求它的解析式。解法1:由A(-1,0)、B(3,0)得抛物线对称轴为x=1，所以顶点为(1,-8).?设解析式为y=a(x-h)2+k,即y=a(x-1

7、)2-8.把x=-1,y=0代入上式得0=a(-2)2-8,a=2.即解析式为y=2(x-1)2-8,即y=2x2-4x-6.解法2:设解析式为y=a(x+1)(x-3),确定顶点为(1,-8)同上，把x=1,y=-8?代入上式得-8=a(1+1)(1-3).解得a=2,解析式为y=2x2-4x-6.解法3:.图象过A(-1,0),B(3,0)两点，可设解析式为:y=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a.,函数有最小值-8._2.4a(3a)(2a)-8.4a又aw0,a=2.解析式为y=2(x+1)(x-3)=2x2-4x-6.变式2:已知抛物线对称轴是直线x=2,且经过(3,1)和

8、(0,5)两点，求二次函数的关系式。精品教学课件设计|Excellentteachingplan解法1:设所求二次函数的解析式是y=ax2+bx+c,因为二次函数的图象过点(0,5),可求得c=-5,又由于二次函数的图象过点(3,1),且对称轴是直线x=2,可以得解这个方程组，得:9a+3b=6a=一2b=8所以所求的二次函数的关系式为y=-2x2+8x-5o解法二：设所求二次函数的关系式为y=a(x-2)2+k,由于二次函数的图象经过a(3-2)2+k=1a(0-2)2+k=-5(3,1)和(0,5)两点，可以得到解这个方程组，得:a=2k=3所以，所求二次函数的关系式为y=-2(x-2)2

9、+3,即y=2x2+8x5。变式3:已知抛物线的顶点是(2,4),它与y轴的一个交点的纵坐标为4,求函数的关系式。解法1:设所求的函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意，得y=a(x2)24因为抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4,所以抛物线过点(0,4),于是a(0-2)2-4=4,解得a=2。所以，所求二次函数的关系式为y=2(x2)24,即y=2x28x+4。解法2：设所求二次函数的关系式为y=ax2+bx+c?依题意，得b_-=22aa=224ac-b解这个万程组，得：b=8=44ac=4c=4所以，所求二次函数关系式为y=2x2-8x+4o13.3变式4：一条抛物线y1x2mxn经

10、过点(0,3)与(4,口。求这条抛物线的解析式。422分析：解析式中的a值已经知道，只需求出mn的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次3.3函数的一般式入手列方程组解答。还可以从所给两点(0,),(4,)的特征入手：这两点关于抛物22线的对称轴对称，因此可知对称轴是直线x2,这样又可以从抛物线的顶点式入手。一12,一、一解：抛物线yxmxn经过点(4这条抛物线的对称轴是直线x2。1112设所求抛物线的解析式为y-(x2)241解得h一。21123一，即yxx°242.31c3将点(0J)代入，得(02)2h3,242,12这条抛物线的解析式为y(x2)4点评：当点Mx1,y1)

11、和nx2,y2)都是抛物线上的点时，若力丫2,则对称轴方程为xXix2这一点很重要也很有用。两根式:精品教学课件设计|Excellentteachingplan例3已知二次函数的图象顶点坐标是(-1,9),与x轴两交点间的距离是6.求它的解析式。解：由顶点坐标(-1,9)可知抛物线对称轴方程是x=-1,又;图象与x轴两交点的距离为6,即AB=6.由抛物线的对称性可得AB两点坐标分别为A(-4,0),B(2,0),设出两根式y=a(x-x1)-(x-x2),将A(-4,0),B(2,0)代入上式求得函数解析式为y=-x2-2x+8.变式：已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别是xi=-3,x2

12、=1,且与y轴交点为(0,3),求这个二次函数解析式。想一想：还有其它方法吗？点评：一般地，已知三个条件是抛物线上任意三点(或任意3对x,y的值)可设表达式为y=ax2+bx+c,组成三元一次方程组来求解;?如果三个已知条件中有顶点坐标或对称轴或最值，可选用y=a(x-h)2+k来求解；若三个条件中已知抛物线与x轴两交点坐标，则一般设解析式为y=a(x-x1)(x-x2).根据图像求解析式：例1.如图所示，求二次函数的关系式。分析：观察图象可知，A点坐标是(8,0),C点坐标为(0,4)。从图中可知对称轴是直线x=3,由于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x轴上的另一交点B的坐标是

13、(一2,0),问题转化为已知三点求函数关系式。解：观察图象可知，AC两点的坐标分别是(8,0)、(0,4),对称轴是直线x=3o因为对称轴是直线x=3,所以B点坐标为(一2,0)。设所求二次函数为y=ax2+bx+c,由已知，这个图象经过点(0,4),可以得到c=4,又由于其图象过(8,0)、(一2,0)两点，可以得到64a+8b=-44a-2b=-4解这个方程组,1432所以，所求二次函数的关系式是y=-4x2+3+4练习：一条抛物线y=ax2+bx+c经过点(0,0)与(12,0),最高点的纵坐标是3,求这条抛物线的解析式。其它应用类型：例1已知函数y=x2+bx+1的图象经过点(3,2)

14、.(1)求这个函数的表达式；(2)画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；(3)当x>0时，求使y>2的x的取值范围.精品教学课件设计|Excellentteachingplan【例2】一次函数y=2x+3,与二次函数y=ax2+bx+c的图象交于A(m5)和B(3,n)两点,且当x=3时，抛物线取得最值为9.(1)求二次函数的表达式；(2)在同一坐标系中画出两个函数的图象；(3)从图象上观察，x为何值时，一次函数与二次函数的值都随x的增大而增大.(4)当x为何值时，一次函数值大于二次函数值？【例3】行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑动一段距离才停止，这段距离称为“刹

15、车距离”.为了测定某种型号汽车的刹车性能(车速不超过130km/h),对这种汽车进行测试,测得数据如下表：刹车时车速(km/h)010203040506070刹车距离(m01.12.43.95.67.59.611.9(1)以车速为x轴，刹车距离为y轴，在下面的方格图中建立坐标系，描出这些数据所表示的点，并用平滑曲线连接这些点，得到函数的大致图象；(2)观察图象，估计该函数的类型，并确定一个满足这些数据的函数表达式；(3)该型号汽车在国道上发生了一次交通事故，现测得刹车距离为26.4项问在事故发生时，汽车是超速行驶还是正常行驶，请说明理由.【例4】某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月

16、一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图中的一条折线表示，西红柿的种植成本与上市时间关系用图中的抛物线表示.(1)写出图中表示的市场售价与时间的函数表达式P=f(t),写出图中表示的种植成本与时间函数表达式Q=g(t)；(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg,时间单位：天)三、【同步练习】1.已知二次函数当x=3时，有最大值一1,且当x=0时，y=-3,求二次函数的关系式。精品教学课件设计|Excellentteachingplan解法1：设所求二次函数关系式为y=ax2+bx+c,因为图象过点(0,3

17、),所以c=3,又由于二次函数当x=3时，有最大值一1,可以得到:b2a=-312ab2,=-1解这个方程组，得:4a8b=3所以，所求二次函数的关系式为y=9x2+8x+3。解法2：所求二次函数关系式为y=a(x+h)2+k,依题意，得y=a(x+3)214因为二次函数图象过点(0,3),所以有3=a(0+3)21解得2=万9所以，所求二次函数的关系为y=44/9(x+3)21,即y=x2+gx+3.93小结：让学生讨论、交流、归纳得到：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数顶点坐标,应用顶点式求解方便，用一般式求解计算量较大。2,已知二次函数y=x2+px+q的图象的顶点坐标是(5,

18、2),求二次函数关系式。2=5简解：依题意，得4_2解得：p=10,q=234=2所以，所求二次函数的关系式是y=x2-10x+23o3 .已知抛物线的顶点坐标为(1,3),与y轴交点为(0,-5),求二次函数的关系式。4 .函数y=x2+px+q的最小值是4,且当x=2时，y=5,求p和q。5 .若抛物线y=x2+bx+c的最高点为(1,3),求b和c。6 .已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0,1),B(-1,0),C(1,0),那么此函数的关系式是。如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是。7 .已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,5),B(5,0)两点，

19、它的对称轴为直线x=2,求这个二次函数的关系式。四、【创新探究】美好而难忘的初中生活即将结束了，在一次难忘同窗情的班会上，有人出了这样一道题，如果在散会后全班每两个同学之间都握一次手，那么全班同学之间共握了多少次？为解决该问题，我们可把该班人数n与握手次数s间的关系用下面的模型来表示.(1)若把n作为点的木It坐标，s作为点的纵坐标，根据上述模型的数据，在给出的平面直角坐标系中，找出相应5个点，并用平滑的曲线连接起来.(3)根据(2)中的表达式，求该班56名同学间共握了多少次手?(2)根据图象中各点的排列规律，猜一猜上述各点会不会在某一函数的图象上，如果在，写出该函数的表达式.星海学校家庭作业精品教学课件设计|Excellentteachingplan姓名：规定时间：实际时间：第一部分：根据下列条件求二次函数解析式(1)已知一个二次函数的图象经过了点A(0,1),B(1,0),C(1,2);(2)已知抛物线顶点P(-1,8),且过点A(0,6);(3)二次函数图象经过点A(1,0),B(3,0),C(4,10);(4)已知二次函数的图象