11[1][1]3角平分线的性质(2)

1、教师：吴相河1 1、会用尺规作角的平分线、会用尺规作角的平分线. .角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等2 2、角的平分线的性质、角的平分线的性质: :OCB1A2PDEPDOA，PEOB OC是是AOB的平分线的平分线 PD=PE用数学语言表述：注意注意：不必再证不必再证全等全等 反过来，到一个角的两边的距离相等的反过来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在这个角的平分线上呢？点是否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上证明证明: QDOA，QEOB（已知），（已知）， QDOQE

2、O90（垂直的定义）（垂直的定义）在在RtQDO和和RtQEO中中 QOQO（公共边）（公共边） QD=QE RtQDO RtQEO（HL） QODQOE 点Q在AOB的平分线上已知：如图,QDOA，QEOB，点D、E为垂足，QDQE求证：点Q在AOB的平分线上判定：到角的两边的距离相判定：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。等的点在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：性质：角的平分线上的点到角的两边的距离性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为：用数学语言表示为：

3、 1、 如图，开发区一个工厂，在公路西侧，如图，开发区一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河到公路的距离与到河岸的距离相等，并且与河上公路桥较近桥头的距离为上公路桥较近桥头的距离为500米。在图上标出米。在图上标出工厂的位置，并说明理由。工厂的位置，并说明理由。北北比例尺比例尺1：20000用一用用一用OABCP500m例题如图, ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,ABCPMNDEFPD=PEPD=PE( (角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分

4、线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即点即点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于FABCPEDFMN类型转换：如图，类型转换：如图，ABCABC的角平分线的角平分线BMBM、CNCN相交于点相交于点P P。求证：点。求证：点P P也在也在A A的平分线上。的平分线上。证明：过点证明：过点P P作作PDABPDAB于于DD，PEBCPEBC于于E E， PFACPFAC于于F F如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBD

5、CBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上， FGAE， FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上， FHAD， FMBCFMFHFGFH点F在DAE的平分线上如图，在ABC中，D是BC的中点，DEAB，DFAC，垂足分别是E，F，且BECF。求证：AD是ABC的角平分线。ABCEFD如图，在如图，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， ADAD平分平分BACBAC ，DEDEABAB于于E E， DFDFACAC于于F F，下

6、面给出三个结论，下面给出三个结论(1)DA(1)DA平分平分EDF;(2)AE=AF;(3)ADEDF;(2)AE=AF;(3)AD上的点到上的点到B B、C C两点的距离相等，其中正确的结论有两点的距离相等，其中正确的结论有( )( )ABCEFD课堂练习课堂练习已知：如图，已知：如图，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F，BEBE、CFCF相交于相交于DD， BD=CD BD=CD 。求证：求证： ADAD平分平分BAC BAC 。ABCFED课堂练习课堂练习利用结论，解决问题练一练 1、如图，为了促进当地旅游发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个度假村.要使这

7、个度假村到三条公路的距离相等,应在何处修建?想一想 在确定度假村的位置时,一定要画出三个角的平分线吗?你是怎样思考的?你是如何证明的?拓展与延伸1、直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:( ) A.一处 B. 两处 C.三处 D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。拓展与延伸2、已知:BDAM于点D,CEAN于点E,BD,CE交点F,CF=BF,求证:点F在A的平分线上.A A A A A A ADNE BFMCA拓展与延伸3.能用尺规作出一个450的角吗?4.已知：OD平分AOB，在OA，OB边上取OA=OB，P

8、MBD，PNAD，求证：PM=PNMD12340BNAP到角的两边的距离相等的点到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。 QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. QDOA,QEOB,点Q在AOB的平分线上 QDQE用数学语言表示为： 1.角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等 2、三角形角平分线的交点性质：、三角形角平分线的交点性质：三角形的三条角平分线交于一点。三角形的三条角平分线交于一点。 3.角平分线的判定角平分线的判定定理定理: 到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。分