《理论力学》第八章刚体平面运动

1、理论力学第八章刚体平面运动 平面运动：平面运动：刚体在运动过程中，其上各点都始终保刚体在运动过程中，其上各点都始终保持在与某一固定平面相平行的平面内。持在与某一固定平面相平行的平面内。一、运动特征一、运动特征8-1 8-1 刚体平面运动的运动方程刚体平面运动的运动方程曲柄连杆机构曲柄连杆机构 行星机构行星机构 刚体的平面运动可看成是平移和转动的合成刚体的平面运动可看成是平移和转动的合成平面图形平面图形：刚体上任一个与固定平面平行的截面。：刚体上任一个与固定平面平行的截面。显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整个刚体显然，只需确定平面图形的位置，即可确定整个刚体的运动状态的运动状态注意：平面图

2、形的形状和尺寸并不重要，需要的话，注意：平面图形的形状和尺寸并不重要，需要的话，可以扩展为整个平面。可以扩展为整个平面。一、运动特征一、运动特征O1xySxyxyO1O1xyS讨论：讨论：1. 1. 为常数为常数二、运动方程二、运动方程刚体刚体随基点平移随基点平移2 2. (xO,yO)为常数为常数刚体刚体绕基点转动绕基点转动O点位置和点位置和 均变化均变化刚体刚体平面运动平面运动由此看出，由此看出，平面运动可以分解为平面运动可以分解为“平移平移”和和“转动转动”OPx0y0 刚体平刚体平面运动面运动方程方程称称O为基点为基点x y ( (随同动系平移随同动系平移) )( (相对动系转动相对动

3、系转动) )平动方程平动方程转动方程转动方程平面运动平面运动 = =随基点的平移随基点的平移绕基点的转动绕基点的转动+平面图形平面图形随随基点平移基点平移的的速度速度和和加速度加速度与与基点基点的选择的选择有关。有关。 平面运动刚体绕基点转动的角速度和角平面运动刚体绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关！加速度与基点的选择无关！O1xySOPx0y0 x y 绝对运动绝对运动 = = 牵连运动牵连运动 +相对运动相对运动以红点为基点以红点为基点以蓝点为基点以蓝点为基点平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕基平移的速度与加速度与基点选择有关不同，而绕基点转动的角速度与角加速度与基点的选

4、择无关点转动的角速度与角加速度与基点的选择无关例例1: 1: 已知曲柄滑块机构中已知曲柄滑块机构中OA=r , , AB=l; ;曲柄曲柄OA以匀以匀角速度角速度 绕绕O轴转动轴转动。求连杆求连杆AB的运动方程。的运动方程。 解：解：xy建立图示参考坐标系建立图示参考坐标系，由几何关系，得：由几何关系，得： AB杆做平面运动，独立的方程杆做平面运动，独立的方程运动有三个，可取杆上运动有三个，可取杆上A点为基点为基点点，建立运动方程。，建立运动方程。则连杆的运动方程：则连杆的运动方程：rl8-2 平面图形内各点的速度平面图形内各点的速度 速度瞬心速度瞬心一、一、速度基点法速度基点法 根据前面的分

5、析，下面应用点的根据前面的分析，下面应用点的合成运动方法来导出平面运动刚体上合成运动方法来导出平面运动刚体上任意一点的运动公式任意一点的运动公式OxyAAvBx y BvBAvAv1. A点为基点，可以任意选择，一般我们选择速点为基点，可以任意选择，一般我们选择速度已知的点。度已知的点。2.2.B点为刚体上任意一点，此公式给出了刚体上任意点为刚体上任意一点，此公式给出了刚体上任意两点间的速度关系。以后直接应用，不必再应用合成两点间的速度关系。以后直接应用，不必再应用合成运动方法。运动方法。二、速度投影定理二、速度投影定理 如将上式投影到如将上式投影到A、B两点的连线两点的连线上上，并注意到，并

6、注意到vBA垂直于垂直于AB连线，在连连线，在连线上的投影为零，可得线上的投影为零，可得 平面图形上任意两点的速度（绝对速度）在这两平面图形上任意两点的速度（绝对速度）在这两点连线上的投影相等，这称为点连线上的投影相等，这称为速度投影定理。速度投影定理。 OxyAAvBx y BvBAvAvBAABvvv 绝对绝对相对相对 例例2 2：vAvAvBvBA解：解：因为因为A点速度点速度 vA已知，故选已知，故选A为基点为基点其中其中vA的大小的大小 vA=R 一、基点法一、基点法由速度合成矢量图可得由速度合成矢量图可得BAABvvv ABvAvBvBAl应用速度投影定理，有应用速度投影定理，有同

7、样可得同样可得 cos)sin(RvB 例例2 2： 解：解：二、速度投影法二、速度投影法vAvB900-注意：注意：vA与与vB都是绝对速度都是绝对速度AIAv d三、速度瞬心法三、速度瞬心法 一般情形下，刚体作平面运一般情形下，刚体作平面运动时速度瞬心确实是存在且唯一。动时速度瞬心确实是存在且唯一。 以以I为基点，则有为基点，则有BAABvvv AIAIvBBIvCIvCIAvAv 我们称我们称某瞬时速度某瞬时速度为为零零的点为的点为平面图形在此瞬时的速度中心，平面图形在此瞬时的速度中心，简称简称“速度瞬心速度瞬心”，一般用一般用 I 表示之。表示之。此时刚体的运动相当于以此时刚体的运动相

8、当于以I I为轴的定轴转动为轴的定轴转动三、速度瞬心法三、速度瞬心法 注意：注意：I I 点仅仅此时刻速度为零，一般情点仅仅此时刻速度为零，一般情况下，况下，速度瞬心的加速度不等于零，速度瞬心的加速度不等于零，下一瞬时下一瞬时I I的速度也就不再为零了。因此，的速度也就不再为零了。因此，速度瞬心速度瞬心在图在图形本身上和在固定平面上形本身上和在固定平面上的位置的位置都是都是随时间而随时间而变变的，在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。的，在不同的瞬时，图形具有不同的速度瞬心。 四、瞬心的确定（四种情况）四、瞬心的确定（四种情况）( () ) 已知图形上任意两点速度方已知图形上任意两点速度方位位

9、( () ) 已知图形上已知图形上、两点两点的速度平行，且垂直于两点的速度平行，且垂直于两点连线连线AAvBvBIAAvBvBIAAvBvBI( () ) 已知图形上两点的速度平行，但已知图形上两点的速度平行，但两点连线与速度方位不垂直两点连线与速度方位不垂直( () ) 平面图形沿某一固定面作平面图形沿某一固定面作纯纯滚动滚动（只滚动不滑动），如图所示。（只滚动不滑动），如图所示。则每一瞬时图形与固定面相接触的一则每一瞬时图形与固定面相接触的一点点的速度为零，这接触点就是的速度为零，这接触点就是该瞬时的速度瞬心。该瞬时的速度瞬心。 瞬时平移瞬时平移I已知图形上两点的速度平行，但两点已知图形上

10、两点的速度平行，但两点连线与速度方位不垂直连线与速度方位不垂直瞬时瞬时“平动平动”可以认为速度可以认为速度瞬心在无穷远瞬心在无穷远平动图形上各点的平动图形上各点的速度和加速度是相速度和加速度是相同的，但瞬时平动同的，但瞬时平动其上各点的速度相其上各点的速度相同而各点的加速度同而各点的加速度一般不同一般不同平动平动平面平面运动运动作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适用作平面运动的刚体上求各点速度的方法的适用范围范围2 2、投影法、投影法：已知一点绝对速度（包括大小和方向）和已知一点绝对速度（包括大小和方向）和另一点绝对速度的方向，可求该点速度的大小。但不能求另一点绝对速度的方向，可求该点速度的

11、大小。但不能求图形的角速度图形的角速度1 1、基点法、基点法：已知基点速度和作平面运动刚体的角已知基点速度和作平面运动刚体的角速度。是基本方法，可求平面图形的速度和角加速速度。是基本方法，可求平面图形的速度和角加速度，图形上一点的速度。度，图形上一点的速度。3 3、速度瞬心法、速度瞬心法：速度瞬心已知或容易确定。可求速度瞬心已知或容易确定。可求平面图形的速度和角速度，图形上一点的速度。平面图形的速度和角速度，图形上一点的速度。 画出图示机构中作平面运动的构件在图示瞬时的速度瞬画出图示机构中作平面运动的构件在图示瞬时的速度瞬心（轮心（轮A纯滚动）。纯滚动）。 IABvBvCIBCvDCD杆瞬时平

12、移杆瞬时平移例例2： 解：三、速度瞬心法三、速度瞬心法vAvB900- ABI2A、B两点的速度大小分别为：两点的速度大小分别为： 例例3：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心，中心O的速度为的速度为vO，设，设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上A,B,C,D点的速度。点的速度。 解：解：一、先确定轮的角速度一、先确定轮的角速度二、求二、求各各点速度点速度Ov例例4：曲柄曲柄OA长为长为r，以匀角速度，以匀角速度转动。转动。AB长长2r，轮，轮B半径为半径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端点的速度。在地面作纯滚动

13、。求图示两种状态下，轮缘最右端点的速度。AvBvI解：（1）AB杆的瞬心在杆的瞬心在B点，点，说明此时说明此时B点速度为零点速度为零。即。即vB=0=0所以此刻所以此刻M点点的速度为零。的速度为零。vM = 0I对于轮对于轮B，它的速度瞬心为，它的速度瞬心为IIAvBv（2）AB为为瞬时平移瞬时平移vA = vB = r BNv例例4：曲柄曲柄OA长为长为r，以匀角速度，以匀角速度转动。转动。AB长长2r，轮，轮B半径为半径为R，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最，在地面作纯滚动。求图示两种状态下，轮缘最右端点的速度。右端点的速度。解：解：轮子轮子B作平面运动作平面运动,瞬心在瞬心在I点

14、点轮子的角速度轮子的角速度例例5 5：桥由三部分组成，当：桥由三部分组成，当C支座有一水平微小位移。试确定支座有一水平微小位移。试确定D，E点的位移的方向及它们的大小与点的位移的方向及它们的大小与 SC比值。比值。 CBADESCISDSEaaaa 当当C有微小水平位移时，系统各部分的位置都将有有微小水平位移时，系统各部分的位置都将有微小改变。根据所受的约束，可知微小改变。根据所受的约束，可知ACD、BE均发生均发生微小转动。微小转动。解：解：DE作平面运动，其速度瞬心在作平面运动，其速度瞬心在I，ABAax y 8-3 8-3 平面运动刚体上各点加速度平面运动刚体上各点加速度指向基点方向由

15、B 2ABanBA 连线方向垂直于 AB ABaBA Ba BAanBAaAa 平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与该平面图形内任一点的加速度，等于基点的加速度与该点随图形绕基点转动的加速度的矢量和点随图形绕基点转动的加速度的矢量和。 一般公式一般公式例例6：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为：车轮沿直线滚动，已知车轮半径为R，中心，中心O的速度的速度为为vO，加速度为，加速度为aO。设车轮与地面接触无相对滑动。求车。设车轮与地面接触无相对滑动。求车轮上速度瞬心的加速度。轮上速度瞬心的加速度。 OaOvRvO 解：解：一、先确定轮的角加速度一、先确定轮的角加速度 naOtOIanIOa二、

16、求二、求I点加速度点加速度取中心取中心O为基点为基点 IOnIOOIaaaa OIOaRa RvRaOIO22n 向向x方方向投影向投影0 IOOIxaaa向向y方向投影方向投影RvaaOnIOIy2 xy以以I为瞬心为瞬心BrOAAv例例7：长度长度2r的杆，的杆，A端在半径为端在半径为r的半圆形轨道上以匀速的半圆形轨道上以匀速率率vA运动。试求运动。试求A到达最低点时，到达最低点时，AB杆的角速度和角加杆的角速度和角加速度。速度。vBI 解：解： 1.AB杆的角速度杆的角速度 vA、vB方向已知所以可用速度方向已知所以可用速度瞬心法，瞬心在瞬心法，瞬心在I点。点。vA大小大小已知已知例例7

17、：长度长度2r的杆，的杆，A端在半径为端在半径为r的半圆形轨道上以匀速率的半圆形轨道上以匀速率vA运动。试求运动。试求A到达最低点时，到达最低点时，AB杆的角速度和角加速杆的角速度和角加速度。度。BrOAaBaBnABatABaaA以以B为基点，分析为基点，分析A点加速度：因点加速度：因A点绝对加速度方向已知，只有法点绝对加速度方向已知，只有法向加速度，（匀速率）向加速度，（匀速率） x解：解： 2.AB杆的角加速度杆的角加速度 (用基点法用基点法)刚体的平面运动常见类型题：刚体的平面运动常见类型题：1、求解平面运动刚体上指定点的速度、加速度、求解平面运动刚体上指定点的速度、加速度2、求解平面

18、运动刚体的角速度、角加速度、求解平面运动刚体的角速度、角加速度3、求解平面运动刚体与点的合成运动的综合性问题、求解平面运动刚体与点的合成运动的综合性问题注意的几个问题注意的几个问题1 1、速度分析、速度分析 几种方法几种方法2 2、用速度瞬心法时注意瞬心位置随时间变、用速度瞬心法时注意瞬心位置随时间变3、用基点法求加速度、用基点法求加速度4、在求解平面运动刚体系时，必须弄清平面运动刚体上相邻两刚、在求解平面运动刚体系时，必须弄清平面运动刚体上相邻两刚体是怎样连接的体是怎样连接的若为铰接，其铰链中心的速度和加速度是相同的若为铰接，其铰链中心的速度和加速度是相同的若为光滑接触面，若有相对滑动时，接

19、触面上两点的速度和若为光滑接触面，若有相对滑动时，接触面上两点的速度和加速度不同，但其相对速度沿其公切线方向加速度不同，但其相对速度沿其公切线方向若为纯滚动接触的两点速度相同，但加速度不同若为纯滚动接触的两点速度相同，但加速度不同例例 已知曲柄已知曲柄AB以匀角速度以匀角速度转动，试计算图示时转动，试计算图示时刻刻C点的加速度。点的加速度。lABCD45o45ol运动分析：运动分析：AB、CD杆作杆作转动，转动， BC杆作平面运动。杆作平面运动。 因此因此C点由平面运动产点由平面运动产生的加速度与由生的加速度与由CD杆转杆转动产生的加速度应相等即动产生的加速度应相等即随随CD转动的转动的C点的

20、加速度点的加速度以以B为基点（为基点（BC杆平动）杆平动）C C点的加速度点的加速度lABCD45o45ol解解：1.1.计算计算BC、DC杆的角速度杆的角速度IvcvBBC杆作平面运动杆作平面运动CD杆作转动杆作转动vB、vC的方向已知，因此的方向已知，因此瞬心瞬心I位置已知位置已知由由BC杆，杆，瞬心瞬心I，则则由由AB杆知杆知BCDC. .计算计算BC、DC杆的角加速度杆的角加速度lABCD45o45olIBaCna Ca CBanCBaC点的加速度点的加速度向向BC方向投影得方向投影得向向CD方向投影得方向投影得研究研究CD杆杆C点的加速度为点的加速度为ncccaaa 研究研究BC杆杆

21、C点的加速度为点的加速度为Ba解：解：AB为为瞬时瞬时平动平动, ,则则vA = vB = r RrRvBB rRRrNIvBN 22 IAvBv BNv练习练习1：轮轮B平面运动，瞬心平面运动，瞬心I，则轮，则轮B 转动的角速度转动的角速度B解：解：I BNv练习练习1： 计算计算N点的加速度点的加速度1）研究）研究OA杆，杆，求求A点的加速度点的加速度 OA杆作定轴转动杆作定轴转动因因OA杆匀角速度转动杆匀角速度转动因此因此2）研究）研究AB杆，求杆，求B点的加速度。点的加速度。AB杆作平面运动，该时刻为瞬时平杆作平面运动，该时刻为瞬时平动，动，AB=0.选选A点为基点点为基点,则则B点的加速度为点的加速度为AB