让我们走进数学

1、v研究数量和形状的科学研究数量和形状的科学v数学之源数学之源v泥版的故事泥版的故事v佛掌上的佛掌上的“明珠明珠”v数学之桥数学之桥v数学的摇篮数学的摇篮v十进制和二进制的故乡十进制和二进制的故乡一、数一、数 学学 的的 童童 年年 数学的摇篮摇篮巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答巴比伦人和古埃及人积累了许多数学知识，但他们只能回答“怎怎么做么做”，却无法回答，却无法回答“为什么为什么”要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人要这么做的道理。古希腊人从阿拉伯人那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的道理，才逐渐产生了那里学到了这些经验，进行了精细的思考和严密的道理，才逐渐产生了现

2、代意义上的数学科学。现代意义上的数学科学。 第一个对数学诞生做出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计第一个对数学诞生做出巨大贡献的是泰勒斯。他曾利用太阳影子计算出了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。在泰勒斯算出了金字塔的高度，实际上就是利用了相似三角形的性质。在泰勒斯之后，以毕达格拉斯为首的一批学者对数学做出了贡献。他们最出色的之后，以毕达格拉斯为首的一批学者对数学做出了贡献。他们最出色的成就之一是发现了成就之一是发现了“勾股定理勾股定理”，在西方被称为，在西方被称为“毕达格拉斯定理毕达格拉斯定理”。正用了这一定理，后来导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机。正用了这一定理，

3、后来导致了无理数的发现，引起了第一次数学危机。欧几里德吸取其中的精华，写成了欧几里德吸取其中的精华，写成了几何原本几何原本。之后，阿基米德开创。之后，阿基米德开创了希腊数学发展的新时期。人们称为亚历山大时期，阿基米德被称为了希腊数学发展的新时期。人们称为亚历山大时期，阿基米德被称为“数学之神数学之神”。在天文学发展的促进下，希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密。在天文学发展的促进下，希帕恰斯、梅尼劳斯、托勒密创立了三角学，你可马修斯写出了第一本专门的数论典籍创立了三角学，你可马修斯写出了第一本专门的数论典籍算术入算术入门门。丢番图则研究各种方程，尤其是不定方程。这样初等数学的各个。丢番图则研究各种方程，

4、尤其是不定方程。这样初等数学的各个分支都建立起来了，这意味着，有巴比伦人、古埃及人孕育的数学婴儿，分支都建立起来了，这意味着，有巴比伦人、古埃及人孕育的数学婴儿，终于在古希腊的摇篮中诞生了。终于在古希腊的摇篮中诞生了。数数 的的 来来 历历 原始社会中，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、原始社会中，人类在狩猎、种植、捕鱼、采集等活动中，要与野果、鱼、市头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种意识鱼、市头等打交道，久而久之，人们便有了多少、数量的意识。这种意识往往与实物联系在一起，如：往往与实物联系在一起，如：“月亮月亮”代表代表“1”，“眼睛眼睛”、“耳朵耳朵”、“

5、鸟的翅膀鸟的翅膀”代表代表“2”等。等。 最早用来计算的是手指、脚趾、或小石头、小木棒等。表示最早用来计算的是手指、脚趾、或小石头、小木棒等。表示1、2、3、4个物体，就分别伸出个物体，就分别伸出1、2、3、4个手指，遇到个手指，遇到5个东西就伸出一只手，个东西就伸出一只手，10个就伸出两只手。当数目多时就用小石头来算。但大多数的原始人遇到大个就伸出两只手。当数目多时就用小石头来算。但大多数的原始人遇到大一些的数目时，往往无从区分。一些的数目时，往往无从区分。 用手指、脚趾和小石头来计算难以长时记录一个数。因此，古人发用手指、脚趾和小石头来计算难以长时记录一个数。因此，古人发明了打绳结的方法，

6、或在兽皮、石头、树木上刻划计数。这些记号慢慢就明了打绳结的方法，或在兽皮、石头、树木上刻划计数。这些记号慢慢就变成了最早的数字符号（数码）。变成了最早的数字符号（数码）。 现在的数码是印度现在的数码是印度阿拉伯数码，用十进位制来表示数。现在看起阿拉伯数码，用十进位制来表示数。现在看起来简单而平常，它却是人类进过长时间的努力才演变成的。如古埃及的数来简单而平常，它却是人类进过长时间的努力才演变成的。如古埃及的数马是这样的：马是这样的： 1 10 100 1000 10 000 100 000 1000 000 10 000 000 数的概念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的数的概

7、念和数码、进位制的出现和发展，都是人类长期实践活动的结果。结果。二、丰富有趣的数学v数的来由数的来由v数的家族数的家族v奇妙的自然数奇妙的自然数v含义丰富的含义丰富的0v分数的妙用分数的妙用v小数的经历小数的经历v负数的引入负数的引入v无理数的风波无理数的风波v真实的虚数真实的虚数v无限大和无限小无限大和无限小v神秘的神秘的9v的的“马拉松计算马拉松计算”v棋盘上的麦粒问题棋盘上的麦粒问题v兔子问题兔子问题v稀少而有趣的完美数稀少而有趣的完美数v亲和的友好数亲和的友好数v有趣的素数问题有趣的素数问题v歌德巴赫猜想歌德巴赫猜想v悬而未决的费马数悬而未决的费马数v勾股数与费马大定理勾股数与费马大定

8、理棋盘上的棋盘上的麦粒麦粒问题问题 在印度有一个古老的传说，舍罕王打算奖赏国际象棋的发明者在印度有一个古老的传说，舍罕王打算奖赏国际象棋的发明者宰相西萨宰相西萨班班达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：达依尔。国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请陛下，请您在这张棋盘上的第您在这张棋盘上的第1 1个小格里，赏给我个小格里，赏给我1 1粒麦子，在第粒麦子，在第2 2个小格里给个小格里给2 2粒，粒，第第3 3个小格里给个小格里给4 4粒，以后每一个小格里都比前一小格里加一倍。请您把粒，以后每一个小格里都比前一小格里加一倍。请您把这些摆满棋盘上所有这些摆满棋盘上所有6464个地麦粒，都赏给您的仆

9、人吧！个地麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这个国王觉得这个要求太容易满足，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋又一袋的麦粒搬要求太容易满足，就命令给他这些麦粒。当人们把一袋又一袋的麦粒搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了这位宰相的要求。也满足不了这位宰相的要求。 那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为：那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少呢？总数为： 1 + 2 + 21 + 2 + 22 2+2+23 3 + + 2+ + 263 63 = 2= 264 64 1 1 =1844674407

10、3709551615 =18446744073709551615（粒）（粒） 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多的麦子！人们估计，全世界两千年也难以生产这么多的麦子！（第（第64格）格）（第（第4格）格）（第（第3格）格）（第（第2格）格）（第（第1格）格）三、是非难分的悖论三、是非难分的悖论v数学悖论数学悖论v罗素悖论罗素悖论v说谎者悖论说谎者悖论v强盗的难题强盗的难题v部分也能等于整体吗部分也能等于整体吗v难拿的箱子难拿的箱子v“任一三角形都等腰任一三角形都等腰”v“直角等于钝角直角等于钝角”v无法编成的目录无法编成的目录强盗的强盗的难难题题 以强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉

11、。为了戏弄他就以强盗抢劫了一个商人，将他捆在树上准备杀掉。为了戏弄他就对他说：对他说：“你说我会不会杀了你，如果你猜对了，就放了你。如果你你说我会不会杀了你，如果你猜对了，就放了你。如果你猜错了，立刻把你杀掉！猜错了，立刻把你杀掉！”聪明的商人仔细想了想，说：聪明的商人仔细想了想，说：“你会杀了你会杀了我。我。”于是强盗愣了，于是强盗愣了，“哎呀！我该怎么办？如果我杀了你，你就猜哎呀！我该怎么办？如果我杀了你，你就猜对了，应该放了你。如果我放了你，你就猜错了，应该杀掉。对了，应该放了你。如果我放了你，你就猜错了，应该杀掉。”强盗强盗想不到会被难住，心想商人也很聪明，就放了他。想不到会被难住，心

12、想商人也很聪明，就放了他。 这时古希腊者哲学家们喜欢讲的一个故事。仔细想想，就知道这时古希腊者哲学家们喜欢讲的一个故事。仔细想想，就知道商人是多么机智。他对强盗说，：商人是多么机智。他对强盗说，：“你会杀了我。你会杀了我。”这样无论强盗怎这样无论强盗怎样做都是互相矛盾的。如果商人说：样做都是互相矛盾的。如果商人说：“你会放了我。你会放了我。”那么强盗就可那么强盗就可以说：以说：“不，我会杀了你。不，我会杀了你。” 下面有个类似的例子：有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声下面有个类似的例子：有个虔诚的教徒，他在演说中口口声声地说上帝无所不能，什么事都能做。一个过路人问了一个问题，让教地说上帝无所不

13、能，什么事都能做。一个过路人问了一个问题，让教徒哑口无言。徒哑口无言。 这话是：这话是：“上帝能创造出一块他也举不动的石头吗？上帝能创造出一块他也举不动的石头吗？”请你请你想一想，为什么教徒会哑口无言吗？想一想，为什么教徒会哑口无言吗？四、各四、各“式式”各各“样样”v代数式代数式v因式分解因式分解v解方程的技巧解方程的技巧v丢番图的墓志铭丢番图的墓志铭v盈不足术盈不足术v恒等式的用处恒等式的用处v韦达定理韦达定理v鸡兔同笼鸡兔同笼丢番图的墓志铭墓志铭墓中墓中长眠着一位伟大的人物长眠着一位伟大的人物丢番图！丢番图！他一生的六分之一时光，他一生的六分之一时光，是童年时代；是童年时代；又度过了十二

14、分之一岁月后，又度过了十二分之一岁月后，他满脸长出了胡须；他满脸长出了胡须；再过了七分之一年岁月时，再过了七分之一年岁月时，举行了花烛盛典；举行了花烛盛典；婚后五年，婚后五年，得一贵子。得一贵子。可是不幸的孩子，可是不幸的孩子，他仅仅活了父亲的半生时光，他仅仅活了父亲的半生时光，就离开人间。就离开人间。从此，作为父亲的丢番图，从此，作为父亲的丢番图，在悲伤中度过四年后，在悲伤中度过四年后，结束了自己的一生。结束了自己的一生。 这首诗刻在被称为代数学之父的这首诗刻在被称为代数学之父的古希腊数学家丢番图的墓碑上。这片古希腊数学家丢番图的墓碑上。这片墓志铭实际上是一个方程式，既代表墓志铭实际上是一个

15、方程式，既代表了他的生平，又是对数学家的最好纪了他的生平，又是对数学家的最好纪念。念。 假设这数学家的寿命为假设这数学家的寿命为x x岁，岁，则：则： x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4x=1/6x+1/12x+1/7x+5+1/2x+4 x=84 x=84因此丢番图是因此丢番图是3333岁结婚，岁结婚，3838岁得子，岁得子，儿子寿命为儿子寿命为4242岁，在丢番图岁，在丢番图8080岁去岁去世，他自己终年世，他自己终年8484岁。岁。五、五、“形形”象万千象万千v数学巨作数学巨作几何原本几何原本v日神提出的问题日神提出的问题倍立方体的香案倍立方体的香案v地面铺砖的学问地面

16、铺砖的学问v三脚架竖立的奥秘三脚架竖立的奥秘v黄金数与优选法黄金数与优选法v古老的勾股定理古老的勾股定理v美妙的对称美妙的对称v简单实用的圆简单实用的圆v弧形滑梯与折叠式车门弧形滑梯与折叠式车门v奇妙的墨毕乌斯纸环奇妙的墨毕乌斯纸环古老的勾股定理古老的勾股定理 左图中有边长为左图中有边长为3 3、4 4、5 5的正方的正方形，他们互相连接围成的一个三角形。形，他们互相连接围成的一个三角形。三个正方形都被分成大小相同的一些三个正方形都被分成大小相同的一些小方格，并且每一条边上的小方格上小方格，并且每一条边上的小方格上的个数，与这条边的长度的数字相等。的个数，与这条边的长度的数字相等。两个小正形的

17、小方格数分别为两个小正形的小方格数分别为9 9和和1616，其和恰好等于大正方形的小方，其和恰好等于大正方形的小方格数格数2525。整幅图反映了。整幅图反映了“在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方边的平方”。这就是勾股定理，西方人称它为毕达格拉斯定理。这就是勾股定理，西方人称它为毕达格拉斯定理。 勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。据说四千多年前，勾股定理是一条古老而又应用十分广泛的定理。据说四千多年前，中国的大禹就用了勾股定理来测定两地的地势差，以治理洪水。勾股中国的大禹就用了勾股定理来测定两地的地势差，以治理洪水。勾股定理在现代的应用更

18、为广泛，实际上，勾股定理在现代的应用范围是定理在现代的应用更为广泛，实际上，勾股定理在现代的应用范围是任何数学定理所不可比拟的。任何数学定理所不可比拟的。六、组合与概率六、组合与概率v鸽笼原理鸽笼原理v神秘的幻方神秘的幻方v装错信封问题装错信封问题v3636军官问题军官问题v湖中鱼数量的概率测定法湖中鱼数量的概率测定法v赌徒输赢的概率赌徒输赢的概率v“一笔画一笔画”与连通网络与连通网络v七桥问题与位置几何学七桥问题与位置几何学v地图着色的四色猜想地图着色的四色猜想地图着色的四色猜想地图着色的四色猜想 人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制一张地图最少要人人都熟悉地图，可并不是人人都知道，绘制

19、一张地图最少要用几种颜色，才把相邻的国家或不同的区域区分开来。这个地图着用几种颜色，才把相邻的国家或不同的区域区分开来。这个地图着色问题是一个著名的数学难题。在地图上区分两个相邻的国家和区色问题是一个著名的数学难题。在地图上区分两个相邻的国家和区域，要用不同的颜色来图这两个国家和地区。如左图所示的地图，域，要用不同的颜色来图这两个国家和地区。如左图所示的地图，1，2，3，4表示四个国家，因为这张地图的四个国家中任何两个都表示四个国家，因为这张地图的四个国家中任何两个都有公共边界，所以必须用四种颜色来区分。有公共边界，所以必须用四种颜色来区分。 于是，有的数学家猜想：任何地图着色只需四种颜色就够

20、了。于是，有的数学家猜想：任何地图着色只需四种颜色就够了。正式提出地图着色问题的是正式提出地图着色问题的是1852年。当时伦敦大学的一名学生法郎年。当时伦敦大学的一名学生法郎西斯向他的老师、著名的数学家、伦敦大学教授数学莫根提出了这西斯向他的老师、著名的数学家、伦敦大学教授数学莫根提出了这个问题。莫根无法回答，求助于其他数学家也没能解决。于是，这个问题。莫根无法回答，求助于其他数学家也没能解决。于是，这个问题一直传下来了个问题一直传下来了 直到直到1976年年9月，月，美国数学会通告美国数学会通告宣布了一件震撼全球的消息：美国一粒若宣布了一件震撼全球的消息：美国一粒若四的两位教授阿贝尔和哈根利

21、用电子计算四的两位教授阿贝尔和哈根利用电子计算机证明四色猜想是正确的。他们将四色问机证明四色猜想是正确的。他们将四色问题化为题化为2000个特殊的图的四色问题，在计个特殊的图的四色问题，在计算机上花了算机上花了1200个小时，终于证明了四色个小时，终于证明了四色问题。问题。七、数学工具七、数学工具v原始的计算工具原始的计算工具v最早的数学表最早的数学表v规矩和直尺圆规规矩和直尺圆规v算筹和筹算算筹和筹算v算盘和珠算算盘和珠算v最早的三角函数最早的三角函数v天文学家与对数天文学家与对数v简易计算工具纳皮尔筹简易计算工具纳皮尔筹v伽利略发明的分析机伽利略发明的分析机v最早的计算机原型最早的计算机原

22、型图灵机图灵机v电子计算机电子计算机v数学的数学的“软工具软工具”逻辑方逻辑方法法电子计算机电子计算机 19461946年，在美国的宾夕法尼亚大学，诞生了世界上第一台电子计算年，在美国的宾夕法尼亚大学，诞生了世界上第一台电子计算机机ENIACENIAC。它最重要的特点是能按照人编写的程序自动地进行计算。从。它最重要的特点是能按照人编写的程序自动地进行计算。从19461946年至今，经过了年至今，经过了4040多年的发展，电子计算机已多年的发展，电子计算机已“进化进化”到第四代到第四代了。了。 第一代以电子管为主要元件。利用这一代计算机，人们把人造卫星第一代以电子管为主要元件。利用这一代计算机，

23、人们把人造卫星送上了天。送上了天。 第二代以晶体管构成基本电路。开始有了算法语言和编译系统。运第二代以晶体管构成基本电路。开始有了算法语言和编译系统。运输速度达每秒几百万次，体积、重量、耗电量、造价都大大减少。输速度达每秒几百万次，体积、重量、耗电量、造价都大大减少。 第三代始终小规模集成电路组成的机器。这是已有了操作系统，小第三代始终小规模集成电路组成的机器。这是已有了操作系统，小型机广泛应用，有了终端与网络，运输速度达每秒几千万次。型机广泛应用，有了终端与网络，运输速度达每秒几千万次。 第四代式大规模集成电路。体积与成本大幅度减少。这是制成了微第四代式大规模集成电路。体积与成本大幅度减少。

24、这是制成了微型计算机，在工业、科学研究和家庭生活中广泛使用。型计算机，在工业、科学研究和家庭生活中广泛使用。 第五代电子计算机实际是智能计算机。具有模仿人脑思维过程的能第五代电子计算机实际是智能计算机。具有模仿人脑思维过程的能力。从力。从19791979年起，日本等国家组织了各方面的专家，开始了对这种计年起，日本等国家组织了各方面的专家，开始了对这种计算机的研究，现已取得初步进展。算机的研究，现已取得初步进展。 有人断言，现代社会中的每一项活动都有电子计算机的踪迹。有人断言，现代社会中的每一项活动都有电子计算机的踪迹。八、数学符号v数学重的符号数学重的符号v+ +的由来的由来v阿拉伯人创造了分数线阿拉伯人创造了分数线v小数点的大用处小数点的大用处v欧拉首先使用的符号欧拉首先使用的符号v相