极限存在准则与两个重要极限ppt课件

1、第六节第六节极限存在准那么与两个重要极限极限存在准那么与两个重要极限一一 极限存在的两个准那么极限存在的两个准那么二二 两个重要极限两个重要极限三三 小结与思索判别题小结与思索判别题1.夹逼准那么(两边夹定理定理定理 如果数列nnyx ,及及 nz满足下列条件: ,lim,lim)2()3 , 2 , 1()1(azaynzxynnnnnnn 那末数列nx的极限存在, , 且axnn lim. . 证,azaynn因为因为使得使得, 0, 0, 021 NN 一 极限存在准那么,1 ayNnn时时恒恒有有当当,max21NNN 取取, ayan即即,2 azNnn时时恒恒有有当当, azan上

2、两式同时成立上两式同时成立,恒恒有有时时当当,Nn , azxyannn,成立成立即即 axn.limaxnn 上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限上述数列极限存在的准那么可以推行到函数的极限准则 如果当)(00 xUx ( (或Mx ) )时,有 ,)(lim,)(lim)2(),()()()1()()(00AxhAxgxhxfxgxxxxxx 那末)(lim)(0 xfxxx 存在, 且等于A . . 留意留意: :.,的的极极限限是是容容易易求求的的与与并并且且与与键键是是构构造造出出利利用用夹夹逼逼准准则则求求极极限限关关nnnnzyzy准那么准那么 和准那么和准那么 称为夹逼

3、准那么称为夹逼准那么. .II例1).12111(lim222nnnnn 求求解,11112222 nnnnnnnnnnnnnn111limlim2 又又, 1 22111lim1limnnnnn , 1 由夹逼准那么得由夹逼准那么得. 1)12111(lim222 nnnnnx1x2x3x1 nxnx2.单调有界准那么满足条件满足条件如果数列如果数列nx,121 nnxxxx单调添加单调添加,121 nnxxxx单调减少单调减少单调数列单调数列准准则则 单单调调有有界界数数列列必必有有极极限限.几何解释几何解释:AM证,1nnxx 显显然然 ;是单调递增的是单调递增的nx, 331 x又又,

4、 3 kx假假定定kkxx 3133 , 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ,31nnxx ,321nnxx ),3(limlim21nnnnxx ,32AA 2131,2131 AA解解得得(舍去舍去).2131lim nnx.)n例2(的极限存在的极限存在式式重根重根证明数列证明数列333 nxAC二、两个重要极限1、1sinlim0 xxxxoBD)20(, xxAOBO圆圆心心角角设设单单位位圆圆,tan,sinACxABxBDx 弧弧于于是是有有.ACO ，得得作作单单位位圆圆的的切切线线,xOAB的的圆圆心心角角为为扇扇形形,BDOAB的的高高为为 ,tansinx

5、xx , 1sincos xxx即即.02也也成成立立上上式式对对于于 x,20时时当当 xxxcos11cos0 2sin22x 2)2(2x ,22x , 02lim20 xx, 0)cos1(lim0 xx, 1coslim0 xx, 11lim0 x又又10 xxxsinlim24681 0- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81- 1 0- 8- 6- 4- 2- 0 . 20 . 20 . 40 . 60 . 81的的图图象象xxsin述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量代代换换可可导导出出上上; 1)()(sinlim0)( xxx 例3 1.cos

6、1lim20 xxx 求求解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 20)22sin(lim21xxx 2121 .21 2 2.tanlim0 xxx求求2、exxx )11(lim定义定义ennn )11(limnnnx)11( 设设 21! 2)1(1! 11nnnnn).11()21)(11(!1)11(! 2111nnnnnn nnnnnnn1!)1()1( ,1时时当当 x, 1 xxx有有,)11()11()111(1 xxxxxx)11(lim)11(lim)11(lim1xxxxxxxx 而而, e 11)111(lim)111(lim)1

7、11(lim xxxxxxxx, e .)11(limexxx ).11()221)(111()!1(1)111()221)(111(!1)111(! 21111 nnnnnnnnnnnxn,1nnxx 显然显然 ;是是单单调调递递增增的的nx!1! 2111nxn 1212111 n1213 n, 3 ;是有界的是有界的nx.lim存在存在nnx ennn )11(lim记为记为)71828. 2( e类似地类似地, xt 令令ttxxtx )11(lim)11(limttt)111(lim )111()111(lim1 tttt. e exxx )11(lim,1xt 令令ttxxtx)1

8、1(lim)1(lim10 . e exxx 10)1(lim述述极极限限的的一一般般形形式式：利利用用变变量量代代换换可可导导出出上上exxx )(10)(1lim （留意这个极限的特征：留意这个极限的特征： 底为两项之和，第一项为底为两项之和，第一项为1，第二项是，第二项是 无穷小量，指数与第二项互为倒数无穷小量，指数与第二项互为倒数 。例4.)11(limxxx 求求解xxx )11(1lim1)11(lim xxx原式原式.1e 例5.)23(lim2xxxx 求求解422)211()211(lim xxxx原原式式.2e 1.两个准那么两个准那么夹逼准那么夹逼准那么; 单调有界准那么单调有界准那么 .2.两个重要极限两个重要极限; 1sinlim10 某某过过程程.)1