第四章__电磁波的传播

1、1 tEJtDHf0EEEEEBtHttE20020000000002211)(1)(1111又由tBEBBBBHtEtB2002000002211112电磁场在真空中的波动方程波动方程:002200222002tBBtEE或表为010122222222tBcBtEcE， 其中001c 上述方程的解决定于边界条件，有多种形式的解 所有频率的电磁波在真空中都以光速传播（如无线电波、光、X射线和 g g 射线等）。 光速是最基本的物理参数量之一。（c: 电磁现象；G: 万有引力；k: 热现象，h : 量子现象） 极化率与电磁波频率有关 )()()(0EPe在线性介质中， )()()()()()(H

2、BED电容率和磁导率与频率有关的现象称为介质的色散色散。 3注意注意： 由于色散效应，一般而言，对于介质中没有和真空情形类似的波动方程（不能以 替换 ） 。 对于非单一频率（非正弦变化）的电磁波，一般不再满足 。00 tEtD时谐电磁波：时谐电磁波：指电场和磁场随时间作谐振变化的电磁波。时谐电磁波是单一频率单一频率电磁波，也称为单色单色电磁波。 讨论讨论：为什么要研究时谐电磁波？ 许多实际电磁波（如无线电广播、通讯中的载波、激光器辐射的光束等）可近似作为单一频率电磁波； 对一般电磁波，可作Fourier频谱分析，电磁波可分解为不同频率单色波的叠加。4时谐电磁波的复数形式 titiexBtxBe

3、xEtxE,单一频率的电磁波满足 00222222BtBEtE空间部分满足Helmholtz方程方程 002222BkBEkE其中k 对某一频率，Helmholtz方程一般有多种电磁波解，每种解称为一种波模波模。5BitBEEkiEiBEitEtDHBkiBiE Helmholtz方程最简单情形：电场和磁场只与x有关。以电场为例 0222EkEdxd，它的一个解为 ikxeEE0考虑时间部分 tkxieEtxE0,讨论讨论： 称为相位相位。在某一时刻，相位相同的点构成等等相面相面（波阵面）。上述平面波的等相面与 x 轴正交；他是沿x 轴正向传播的平面波。 在某一时刻，空间位置变化一个波长l，相

4、位变化2p，tkxlp2k6 等相面移动速度称为相速相速。 设一等相面满足Ctkx，经过时间Dt，该等相面移动了DxCttxxkDDCtxkDD平面波的相速1kdtdxv平面电磁波沿任意方向传播时平面电磁波沿任意方向传播时)(exp,0txkiEtxE其中 称为波矢，klp2kk 等相面与波矢方向垂直。相速方向与波矢方向一致，大小1 vv7平面电磁波的电场和磁场的关系平面电磁波的电场和磁场的关系 00Ek ieEEtxkiEnEkkEkEtxkik iiEtxkiitxkiEiEiB000expexpexpkB可见，平面电磁波是横波横波。 、 和 两两相互垂直， 沿 方向。kEEBkBEkvB

5、E1且 和和 同相同相。EB8 对于线性介质，能量密度能量密度 2212121BEHBDEw221BEw能流密度能流密度 nwnEEnEBEHES1112vwnwvS平面电磁波能量沿波矢方向传播，能量传输速度等于相速。 9 在电场和磁场的复数形式中，实部才有实际意义，能量密度和能流密度涉及场量的二次项，不能用复数形式进行计算。 v 瞬时值瞬时值vtxkEvwStxkEtxkEEw2cos1212cos121cos20202202空间变化周期缩小为场量的一半。v 平均值平均值数学补充数学补充： 设两个复函数 和 ，考虑其乘积在一个周期内的平均值。tieftf0)(itiegtg0)()Re(21

6、cos21)cos()cos(2*00/2000gfgftgtdtfgfpp)Re(21*gfgf10设两个矢量函数 和 ，也有tieftf0)(itiegtg0)()Re(21)Re(21*gfgfgfgfnEHESBEBHDEw20*2020*21)Re(212121)Re(4111 平面电磁波是电磁波的最基本形式电磁波的最基本形式。复杂电磁波可以分解为平面电磁波的叠加傅立叶频谱分析。v 分离（频）谱情形jjjjjtxkiEAtxEexp,0v 连续（频）谱情形 dtxkiEAtxEexp,0 当一束平面电磁波投射到介质表面时，在空间中存在入射、反射和折射（电磁）波。txkiEEtxkiE

7、EtxkiEEexpexpexp 0 00入射波反射波折射波 电磁波的折射和反射现象属于电磁场边值问题。电磁波在介质分界面处，波矢、振幅改变，但频率不变。12 电磁波满足的Maxwell方程 00BDtDHtBE对单一频率电磁波 EiBEiHBiE散度方程自然满足。可见只有两个方程是独立的。只有两个独立的边值关系：边值关系：001212HHnEEn设介质分界面附近 EnEEnexpexpexp 000 xk iEnxk iExk iEn在分界面上满足xkxkxk。x，y是任意的，所以有13波矢关系式：波矢关系式： yyyxxxkkkkkk，三个波矢共面。 对单色平面波，相速 1kvkk 由波矢

8、关系式，sinsinkkkkxx1sinsinkk电磁波反射定律反射定律 2111221122 sinsinsinsinnkkkkkkxx电磁波折射定律折射定律 21sinsinn讨论讨论： 电磁波在介质中的相速：rrrrcv11100介质的折射率介质的折射率rrn14 相对折射率相对折射率（介质2相对于介质1） 112211221221rrrrnnn对非铁磁介质， 12210,n 由于电容率与频率有关，电磁波折射时有色散现象。 平面电磁波有两个独立（相互垂直）的偏振方向。常选择为：与入射面垂直和与入射面平行 E在界面附近coscoscos HHHEEE在界面附近相因子相同，上式中是场量的振幅

9、。对于平面电磁波 EHBE1利用021,和折射定律可得15sinsincos2coscoscos2sinsincoscoscoscos2112121EEEE/E coscoscosHHHEEEcossinsincos2EEtgtgEE以上关于振幅的关系式称为Fresnel公式。公式。 讨论讨论： Fresnel公式表明垂直和平行于入射面的电磁波具有不同的反射和折射行为；16 自然光（两种成份偏振光等量混合）反射或折射后变为部分偏振光； 当 时， Fresnel公式 表明：反射光中没有平行于入射面的成份，是完全偏振的。这就是光学中的Brewster定律定律，相应的入射角称为布儒斯特角布儒斯特角；

10、 若 （电磁波由光疏向光密介质入射光疏向光密介质入射），垂直于入射面的分量存在半波损失半波损失。0 90tgtgEE12由折射定律， sinsinEE表明：垂直于入射面的分量，反射波与入射波反相。 设12（电磁波由光密向光疏介质入射光密向光疏介质入射），令1221sin nc当入射角c时，将发生全反射现象。17全反射时，由电磁场的边值关系，介质2中存在电磁场。由波矢关系式sin kkkxx，又21211 2 knvvvkvk如果 21sinkknx令2212sinnkK选入射面为 xz 面，则0 yyykkkiKkkkxz2 2 介质2中的电磁波:txkizKtxkixeeEeEE 0 0 全

11、反射时介质2中仍存在电磁波，它是沿x轴方向传播，且沿z轴指数衰减的平面电磁波。 衰减长度衰减长度为：221211sin2nKpl 透射到介质2中的薄层厚度与电磁波波长数量级； 随入射角减小，投入薄层厚度增大。 18 电场垂直于入射面情形，即 yeEE对于平面电磁波有EnByzxxeEkeiKekEkkH)(2222磁场有两个分量sinsin2122212222EnEknkEkkHxz1sinsin1sinsin221222221221222212122222122222EniEnniEnvviEknkiEkKiHx全反射时，介质2中磁场的x分量与电场存在与电场存在 p p / 2 2 相差相差

12、。 19 考虑电场强度垂直于入射面情形 zxxzzzxxyeHEeHEeHeHeEHES)()(介质2中，能流密度的z分量不为零，表明有能量进入介质2。zxxzzzxxyeHEeHEeHeHeES*Re21)()(Re21注意到， txkiKzxeeEE00Re1sin21Re1sin211sinRe21Re21220221222 *221222221222* KzxzeEinEiEnEniEHES在全反射时，沿z方向透入介质2的平均能流密度为零。 20全反射时，Fresnel公式仍然成立，只要作如下变换1sincossinsin2212 21 nikknkkzx222122212212121

13、21sincossincoscoscoscoscoscoscoscoscosienininnEE其中 cossin2212ntg讨论讨论：全反射情形 反射波与入射波振幅相同，表明反射波平均能流密度与入射波相同，能量被全部反射能量被全部反射； 反射波与入射波有一定相差，表明反射、入射波瞬时能流密度不同； 21 能流密度z分量瞬时值不为零而平均值为零，表明在全反射时，介质2具有（临时存储能量的）实际物理作用：在半周内能量进入介质2，在另一半周释放能量到介质1。22 如果导体内存在电荷，则 ，又由欧姆定律 ，由电荷守恒定律 可得 EEJJJt导体中电荷密度满足方程 t其解为 ttexp0电荷随时间指

14、数衰减，衰减特征时间衰减特征时间: : 讨论讨论： 理想导体电导率无穷大，其内部无电荷分布。 对于实际导体，如果电场变化周期 满足p121即1可近似认为内部无电荷分布，这样的导体称为良导体良导体。 23一般金属 ，只要电磁波频率不是太高，均可视为良导体。 s171000BDJtDHtBE对单一频率电磁波 HBED00HEEEiHHiE引入复电容率复电容率 i00HEEiHHiE这与介质情形在形式上是一致的。24讨论：讨论： 在 中，第一项是位移电流，第二项是传导电流。传导电流引起的焦耳热损耗，其平均耗散功率密度平均耗散功率密度 EEiH20*21Re21Re21EEEEJ说明说明：（关于耗散功

15、率密度） 考虑最简单情形：长度为Dl，横截面为DS 的一段导体，电阻为R，内部电场为E，电流为I，两端电压为U，电流密度为J，则单位时间的焦耳热损耗 lSJElSEJlIEIURIQDDDDD2单位体积单位时间的焦耳热损耗为 JElSQDD当J 和E 方向不一致时，应改写为 ，它适用于一般情形。 EJ耗散耗散（Dissipation）功率密度功率密度： EJwd25 位移电流与电场存在 p/2 相差，在一个周期内不消耗功率。 对复电容率 ，实部对应位移电流的贡献，不引起电磁波功率耗散；虚部是传导电流的贡献，引起能量耗散。 i 导体内，单一频率电磁波满足Helmholtz方程 022EkE其中k

16、。平面波解为： txkitieEexEtxE0,导体中的波矢导体中的波矢是复矢量，令ik导体中的电磁波导体中的电磁波 txixEtxEexpexp,0是衰减的平面电磁波。 iiiik22222221222 和 有6个未知量，上述两个方程对求解它们是不够的，还需考虑具体问题的边值关系。 26例如例如，当电磁波从真空投射到导体表面时，以xz为入射面，由波矢关系 ，可得 。xxxkkk xxxik真空中波矢是实数，xxxk0根据前面的方程可以完全解出 和 。 讨论最简单的情形：平面电磁波垂直投射到导体表面。 在导体外，波矢只有z方向分量，由波矢关系可知， 和 也只有z方向分量，导体中电磁波的形式（以

17、电场为例） tzizeeEE0 和 只有两个分量，满足方程 21222041222224要求0222222242227电磁波沿方向传播z 轴从传播，不可取负值， 212222122211211121对良导体 ，有 1221穿透深度穿透深度 21对高频电磁波，电场、磁场和电流均存在趋肤效应趋肤效应。 例：例： 对于铜，当频率为50Hz 时， ；当频率为100MHz 时， 。 cm9 . 0cm3107 . 028 对于垂直入射的单一频率电磁波，由Maxwell方程 EnitzizEieiEtzizitzizEiEiHzexpexp1expexp1expexp11000导体内电场和磁场的关系导体内

18、电场和磁场的关系 EniH良导体情形（ ）， 2EniEneEniHi4exp214pp 磁场相位比电场滞后p/4； 1EH ，磁场的作用远比电场重要。 29 讨论简单情形：电磁波从真空垂直入射到导体表面，电场垂直于入射面。在导体内（介质2） EiEEiJtDH作替换 后，应认为无传导电流（ 描述了电流）。界面附近的切向边值关系 HHHEEE对于入射波 EEBHBE000000001对于反射波 00EH对于透射波（在导体中），由 1EiHEniH30对于非铁磁性导体 ，从边值关系 01) (00EiHEEHHEiEE10对良导体( ): 2 012EiEE与电场边值关系联立，可得 002121

19、iiEE定义反射系数反射系数 2EER 对于良导体可把 作为小量（因为 与 同量级）， 0203102000202022121222222121121R讨论讨论： 越大，R越接近1； 越小（l 越大），R 越接近1。 微波或无线电波的频率很小，一般金属均可近似看作理想1导体（ ），电磁波近似全部反射（如微波炉）。 物理图象：物理图象：进入导体的电磁波诱导传导电流，传导电流激发的电磁场将减弱原电磁场（否则不稳定），使导体内电磁场迅速衰减，电磁波只能透入导体表面薄层。薄层厚度与 和 有关。 或 越大，厚度越小。导体内诱导的传导电流激发电磁场形成反射电磁波。反射波强度接近入射波，对于良导体，入射波能

20、量几乎全部反射。同时，实际导体有焦耳热损耗，电磁波能量部分耗散，一般情况，良导体吸收很少部分电磁波能量。 32Ex. 1 证明对于良导体，在非垂直入射时有 2zzzx,解：解：设入射波矢为 ，有 0k 000 xxxxxxkik对良导体 1导体内波矢 iik22而2222ik选入射面为xz 面 022222zzx 200002212121kzz（ 与 同级， ） 00又 2)0(22)0(2)0(20zxzxkkkk2xzz略去22zzx且zx 垂直于表面， 接近法线方向，穿透深度由 给出。 z133Ex. 2 高频下良导体的表面电阻。 趋肤效应使电流分布于表面薄层，这样的电流分布可看成面电流

21、分布（把薄层压缩到导体表面），用线电流密度描述电流面分布。 线电流密度线电流密度 定义为：通过单位横截线的电流。 f 与电流密度的关系：f0dzJf考虑垂直入射，导体内电磁波)(0),(tzizeeyxEEtitiziztitzizfeiEeiEdzeeEdzeeEdzE22222200000)(00134令2222sincos)(0)(220tiftifeeE其中2200Ef平均损耗功率密度 zdeEEEEJw220*21)Re(2)Re(21平均损耗功率面密度 202220022004421fzdLEdzeEdzwP对于良导体 20211fLP良导体在高频下的电阻相当于厚度为 的薄层直流电

22、阻。 右图为一薄层直流电阻， HLR1 考虑一简谐变化的面电流，其线密度tiffe0tiffHeHI035耗散功率（单位时间的焦耳热损耗） RIWd2平均耗散功率 202*21)Re(2fdRHIIRW表面平均损耗功率面密度损耗功率面密度 2020202112121fffdLHLLHRLHLHWP36 电场能量与磁场能量相互转换，振荡频率 LCp21 提高振荡频率，需减小C C 或 L L 。1）C C 小，极板面积减小，电容器越难将电场束缚在板间，能量将向外辐射将变强。2）L减小，线圈长度(或密度）越小，向外辐射的能量越多。LC LC 回路只能产生低频振荡。 要产生高频振荡，需将电磁场“封装

23、”在某一有限空间，比如将电容器四周封闭，形成腔体。Q: 这样的封闭导体腔能否产生电磁振荡？37理想导体 趋于无穷，穿透深度趋于0，电磁波被全部反射，理想导体构成电磁波存在的边界。 0, 01212BnHHnDnEEn0, 0BnHnDnEn 在介质一侧，电场强度切向分量为0；磁感应强度法向分量为0。可以形象地表述为：在理想导体表面，电力线与表面垂直，磁感应线与表面相切。 对单一频率电磁波，Maxwell方程只有两个是独立的。边界条件其实也只有两个独立。 对于线性介质，在介质一侧，0E0nEn（在界面附近，电场与表面垂直，选z z 方向为界面法线方向，可得上式） 这一条件可以为求解带来方便。 3

24、8Ex. 两无限大平行导体板之间传播的TEM波。 选平面电磁波传播方向为z 轴方向，电场有两个基本偏振方向，选为x 和y 方向。由电场边值关系，只允许电场沿y 方向偏振（磁场沿x 方向偏振）。无限大平行导体板间只能传播一种偏振的TEM平面波。考察对象考察对象：由理想导体构成的矩形腔。 对单一频率电磁波， )exp(),(tixEtxE空间部分满足Helmholtz方程022EkE有三个分量方程，记为 022ukuu表示电场分量 中的一个。 zyxEEE,39用分离变量法求解，令 )()()(,zZyYxXzyxu02222222XYZkZzXYYyXZXxYZ2222222111kZzZYyY

25、XxXZzZYyYXxX2222221,1,1分别只与zyx,有关。分析分析：保持 和 不变，改变 ，由于右端是常数，所以 yzxXxX221应是与 无关的常数，设为 x1C0122XCXx1）若 ，方程的解为 01CxCxCeeX1121ll它在 x 方向不是平面波，在物理上不合理，舍弃。2）若 ，令 01C21xkC0222XkXxx同理，0, 0222222ZkZzYkYyzy40 zkDzkCykDykCxkDxkCzyxuzzyyxxsincossincossincos,332211或写为复数形式 zikzikyikyikxikxikzzyyxxeDeCeDeCeDeCzyxu332

26、211,其中 22222kkkkzyx 可以是 中的任一个，设是 ，考虑其复数形式 ，zyxu,zyxEEE,yE在 x=0 表面11, 0DCEy在 z=0 表面33, 0DCEy在 y=0 表面0nEn0332211zikzikyyxikxikyzzxxeDeCDikCikeDeCyE要求对任意 x、y 成立，22DC zkykxkAzkykxkCCCzkiCykCxkiCEzyxzyxzyxysincossin)sin()cos()sin(8)sin(2)cos(2)sin(2232132141同理 zkykxkAEzkykxkAEzkykxkAEzyxzzyxxzyxycossinsinsinsincossincossin312波矢的确定波矢的确定0)sin()sin()sin(0111zkykLkkAxEzyxxLxx1Lmkxp（m 取整数） 利用 和 两表面附近，电场沿法向导数为零，可得32,LpkLnkzypp其中，m、n、p = 0，1，2，3，（无需取负整数）。 ： 由腔内 0 E0321AkAkAkzyx 中只有两个独立。 321,AAA 腔内电磁波是注波形式，它是平面波叠加的结果。 42谐振腔的频率选择性谐振腔的频率选择性