矩阵知识要点

1、 (1)212222111211mnmmnnaaaaaaaaaA叫做叫做 m 行行 n 列列, 简称简称 mn . 这这 mn 个个数叫做矩阵的数叫做矩阵的, aij 叫做矩阵叫做矩阵 A 的的元素是实数的矩阵叫做元素是实数的矩阵叫做,元素是复数元素是复数的矩阵叫做的矩阵叫做, (1)式也简记为式也简记为 A = (aij)mn 或或 A = (aij) ,mn 矩阵矩阵 A 也记作也记作 Amn . 对对 (1) 式式, 当当 m = n 时时, A 称为称为 . 当当 m = 1 时时, A 称为称为. 当当 n = 1 时时, A 称为称为. 两个矩阵的行数相等、列数也相等时两个矩阵的行

2、数相等、列数也相等时, 就称就称它们是它们是.如果如果 A = (aij) 与与 B = (bij) 是同型是同型矩阵矩阵, 并且它们的对应元素相等并且它们的对应元素相等,即即 aij = bij (i = 1, , m; j = 1, , n), 那么就称那么就称 A 与与 B , 记作记作A=B. 元素都是零的矩阵称为零矩阵元素都是零的矩阵称为零矩阵,记作记作 O. 主对角线上的元素都是主对角线上的元素都是 1 , 其他元素都是其他元素都是 0 的的 n 阶方阵阶方阵, 叫做叫做 n 阶单位矩阵阶单位矩阵, 简记作简记作 E 或或 I. 设设 A = (aij)sn , B = (bij)

3、tm 为两个矩阵为两个矩阵, 当当 s = t, n = m 时时,它们为同型矩阵它们为同型矩阵, 其加法运算定义为其加法运算定义为 A + B = (aij + bij),A + B 称为称为 A 与与 B 的的. 当当 n = t 时可以作乘法时可以作乘法: AB = (cij)sm , 其中其中nkkjikijbac1( i = 1,2, , s ; j = 1, 2, , m),AB 称为称为 . 设设 k 为实数为实数, 定义定义 kA = (kaij),则称则称 kA 为为 . : A + B = B + A, : (A + B) + C = A + (B +C). (AB)C =

4、 A(BC). A(B + C) = AB + AC， (B + C)A = BA + CA. ( k + l)A = kA +lA， k(A + B) = kA + kB， k(lA) = (kl)A， k(AB) = (kA)B = A(kB). 设设 A 是是 n 阶方阵阶方阵, 定义定义 A1 = A, A2 = AA, , Ak+1 = Ak A,其中其中 k 为正整数为正整数. 由由 n 阶方阵阶方阵 A 的元素所构成的行列式的元素所构成的行列式, 叫做叫做, 记作记作 | |A| | 或或 det A. 1) 设设 A 为为 mn 矩阵矩阵,把它的行换成同序号把它的行换成同序号的

5、列得到的新矩阵的列得到的新矩阵,叫做叫做 A 的的, 记作记作 A 或或AT . 矩阵的转置也是一种运算矩阵的转置也是一种运算,若运算可行若运算可行,则有则有 (AT)T = A , (A + B)T = AT + BT , (A)T = AT , (AB)T = BTAT . 2) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,若满足若满足 AT = A , 则称则称 A 为为; 若满足若满足 AT = - - A , 则称则称 A 为为. 3) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,若满足若满足 A2 = A, 则称则称 A 为为; 若满足若满足 A2 = E, 则称则称 A 为为;若满足若满足 AAT

6、= ATA = E, 则称则称 A为为. 4) 行列式行列式 |A| 的各元素的代数余子式的各元素的代数余子式 Aij 所所构成的方阵构成的方阵,AAAAAAAAAAnnnnnn*212221212111叫做方阵叫做方阵 A 的的. 伴随矩阵具有伴随矩阵具有: AA = A A =| |A| |E. 5) 主对角线以下主对角线以下(上上)元素全为零的方阵称元素全为零的方阵称为为. 6) 除了主对角线以外除了主对角线以外, 其他元素全为零的其他元素全为零的方阵称为方阵称为. 1) 设设 A 为为 n 阶方阵阶方阵,如果存在矩阵如果存在矩阵 B , 使使AB = BA = E, 则称矩阵则称矩阵

7、A 是是的的(或或），且矩阵），且矩阵 B 称为称为 A 的的. 若有逆矩阵若有逆矩阵,则则 A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的,记作记作 A- -1 . (i) 方阵方阵 A 可逆的充要条件是可逆的充要条件是 |A| 0 . (ii) 若矩阵若矩阵 A 可逆可逆, 则则 A- -1 = A / |A|. (iii) (A- -1)- -1 = A， (A)- -1 = A- -1 / ( 0 )， (AT)- -1 = (A- -1)T . (iv) 若同阶方阵若同阶方阵 A 与与 B 都可逆都可逆, 那么那么 AB 也也可逆可逆, 且且 (AB)- -1 = B- -1A- -1 . 矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论矩阵的分块主要目的在于简化运算及便于论证证, 其运算法则同普通矩阵类似其运算法则同普通矩阵类似. 熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以熟练地掌握矩阵的加法、数乘及乘法运算以及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一及运算律，正确掌握可逆矩阵的定义，会判别一个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵个矩阵是否为可逆矩阵并能准确地求出一个矩阵