土木工程力学教案——力矩与平面力偶系

1、力矩与平面力偶系第一节力对点之矩力对点的矩是很早以前人们在使用杠杆、滑车、绞盘等机械搬运或提升重物时所形成的一个概念。现以板手拧螺母为例来说明。如图31所示，在板手的 A点施加一力F,将使板手和螺母一起绕螺钉中心O转动，这就是说，力有使物体（扳手）产生转动的效应。实践经验表明，扳手的转动效果不仅与力F的大小有关，而且还与点 O到力作用线的垂直距离d有关。当d保持不变时，力 F越大，转动越快。当力 F不变时，d值越大，转动也越 快。若改变力的作用方向，则扳手的转动方向就会发生改变，因此，我们用F与d的乘积再冠以适当的正负号来表示力 F使物体绕O点转动的效应，并称为力F对O点之矩，简称 力矩，以符

2、号Mo （F）表示，即(31)Mo(F) F dO点称为转动中心，简称 矩心。矩心O到力作用线的垂直距离 d称为力臂。图3-1I'ldOlN第二节合力矩定理式中的正负号表示力矩的转向。 通常规定：力使物体绕矩心作逆时针方向转动时，力矩为正,反之为负。在平面力系中，力矩或为正值，或为负值，因此，力矩可视为代数量。由图32可以看出，力对点之矩还可以用以矩心为顶点，以力矢量为底边所构成的三角形的面积的二倍来表示。即(32)Mo(F)2 OAB 面积显然，力矩在下列两种情况下等于零：（1）力等于零；（2）力的作用线通过矩心，即力臂等于零。力矩的单位是牛顿？米（N?m）或千牛顿？米（kN?m）【

3、例31】 分别计算图3-3所示的F1、F2对O点的力矩。【解】：由式(31),有Mo(F 1) F1 d1 10 1 sin30 5kN mMo(F2)F2 d230 1.545kN m我们知道平面汇交力系对物体的作用效应可以用它的合力R来代替。这里的作用效应包括物体绕某点转动的效应，而力使物体绕某点的转动效应由力对该点之矩来度量，因此， 平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于该力系的各分力对该点之矩的代数和。合力矩定理是力学中应用十分广泛的一个重要定理，现用两个汇交力系的情形给以证明。证明：如图3 4所示，设在物体上的 A点作用有两个汇交 的力Fi和F2,该力系的合力为 Ro在力系的作用面

4、内任选一点 。为矩心，过 。点并垂直于OA作为y轴。从各力矢的末端向 y轴作垂线，令 Yi、Y2和Ry分别表示力 Fi、F2和R在y轴上 的投影。由图3 4可见丫 0blY2ob2Ry ob各力对O点之矩分别为Mo(Fi) 2 AOBi Obi OA Yi OAMo(F2)2 AOB2Ob2 OA Y2 OAMo(R) 2 AOB Ob OA Ry OA(a)根据合力矩定理有Ry Yi Y2上式两边同乘以 OA得Ry OA Yi OA Y2 OA将(a)式代入得Mo(R) Mo(Fi) Mo(F2)以上证明可以推广到多个汇交力的情况。用式子可表示为Mo(R)Mo(Fi)Mo(F2)Mo(Fn)

5、Mo(F)(33)有合力的其它平虽然这个定理是从平面汇交力系推证出来，但可以证明这个定理同样适用号面力系。【例3 2】 图35所示每1m长挡土墙所受土压力 的合力为R,它的大小R=200kN,方向如图所示，求土压 力R使墙倾覆的力矩。【解】：土压力R可使挡土墙绕 A点倾覆，求R使墙 倾覆的力矩，就是求它对 A点的力矩。由于R的力臂求解 较麻烦，但如果将 R分解为两个分力 Fi和F2,则两分力 的力臂是已知的。为此，根据合力矩定理，合力 R对A点 之矩等于Fi、F2对A点之矩的代数和。则h MA(R) MA(F1) MA(F2) F1 F2 b3200 cos302 200sin 30 2I46

6、.4IkN m【例3-3】 求图36所示各分布荷载对 A点的矩【解】：沿直线平行分布的线荷载可以合成为一个合力。合力的方向与分布荷载的方向 相同，合力作用线通过荷载图的重心，其合力的大小等于荷载图的面积。根据合力矩定理可知，分布荷载对某点之矩就等于其合力对该点之矩(1)计算图36 (a)三角形分布荷载对 A点的力矩1MA(q)-231 3kN m(2)计算图3-6 (b)均布荷载对 A点的力矩为MA(q)4 3 1.5 18kN m(3)计算图3-6 (c)梯形分布荷载对 A点之矩。此时为避免求梯形形心，可将梯形 分布荷载分解为均布荷载和三角形分布荷载，其合力分别为R1和R2,则有1MA(q)

7、2 3 1.5 - 2 3 2 15kN m2第三节力偶及其基本性质一、力偶和力偶矩在生产实践和日常生活中，经常遇到大小相等、 方向相反、作用线不重合的两个平行力所组成的力系。这种力系只能使物体产生转动效应而不能使物体产生移动效应。例如，司机用双手操纵方向盘(图 37 (a),木工用丁字头螺丝钻钻孔(图3-7 (b),以及用拇指和食指开关自来水龙头或拧钢笔套等。这种大小相等、方向相反、作用线不重合的两个平行力称为力偶。用符号(F, F')表示。力偶的两个力作用线间的垂直距离d称为力偶臂，力偶的两个力所构成的平面称为 力偶作用面。实践表明，当力偶的力 F越大，或力偶臂越大，则力偶使物体的

8、转动效应就越强；反之就越弱。因此，与力矩类似，我们用 F与d的乘积来度量力偶对物体的转动效应，并把 这一乘积冠以适当的正负号称为 力偶矩，用m表示，即式中正负号表示力偶矩的转向。通常规定：若力偶使物体作逆时针方向转动时，力偶矩为正;反之为负。在平面力系中，力偶矩是代数量。力偶矩的单位与力矩相同。二、力偶的基本性质力偶不同于力，它具有一些特殊的性质，现分述如下：1.力偶没有合力，不能用一个力来代替图3 8由于力偶中的两个力大小相等、方向相反、作用线 平行，如果求它们在任一轴 x上的投影，如图3 8所示。 设力与轴x的夹角为，由图可得X F cos F cos 0这说明，力偶在任一轴上的投影等于零

9、 。既然力偶在轴上的投影为零，所以力偶对物体只能 产生转动效应，而一个力在一般情况下，对物体可产生 移动和转动两种效应。力偶和力对物体的作用效应不同，说明力偶不能用一个力来代替，即力偶不能简化为一个力，因而力偶也不能和一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。2 .力偶对其作用面内任一点之矩都等于力偶矩，与矩心位置无关 力偶的作用是使物体产生转动效应，所以力偶对物体 的转动效应可以用力偶的两个力对其作用面某一点的力 矩的代数和来度量。图 3 9所示力偶（F, F'）,力偶臂 为d,逆时针转向，其力偶矩为m=Fd ,在该力偶作用面Mo(F,F) F(d x) F x Fd m内任选一点O为矩心，设

10、矩心与 F'的垂直距离为 然力偶对O点的力矩为此值就等于力偶矩。这说明力偶对其作用面内任一点的矩 恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关。3 .同一平面内的两个力偶，如果它们的力偶矩大小相等、转向相同，则这两个力偶等效，称为力偶的等效性。（其证明从略）从以上性质还可得出两个推论：（1）用面内任意移转，而不会改变它对物体的转动效应。例如图3-10 （a）作用在方向盘上的两个力偶（Pi, p/）与（P2, P2，）只要它们的力偶矩大小相等，转向相同，作 用位置虽不同，但转动效应是相同的。（2）在保持力偶矩大小 和转向不变的条件下，可以任意改变力偶的力的大小和力偶臂的长短，而不改变它对物体的转动效

11、应。例如图3-10 （b）所示，在攻螺纹时，作用在纹杆上的（F1，F/）或（F2, F2'）虽然di和d2不相等，但只要调整力白大小，使力偶矩Fidi F 2d2 ,则两力偶的作用效果是相同的。由以上分析可知，力偶对于物体的 转动效应完全取决于力偶矩的大小、 力偶的转向及力偶作用面，即力偶 的三要素。因此，在力学计算中， 有时也用一带箭头的弧线表示力偶， 如图311所示，其中箭头表示力 偶的转向，m表示力偶矩的大小。图 311第四节 平面力偶系的合成与平衡一、平面力偶系的合成作用在同一平面内的一群力偶称为平面力偶系。平面力偶系合成可以根据力偶等效性来进行。合成的结果是：平面力偶系可以合成为一个合力偶，其力偶矩等于各分力偶矩的代数和。即mn m ( 3 5)M m1 m2Fi 200N, F2400N, m 150N m ,求其合成的结果。如图3 1 2所示，在物体同一平