三角形的知识点三角形三条中线的交点

1、三角形的知识点-三角形三条中线的交占 八、【各位读友，本文仅供参考，望各位读 者知悉，如若喜欢或者需要本文，可点 击下载下载本文，谢谢！】祝大家工作顺利】三角形三条高线交于一点的证明？三角形三条高线交于一点的证明？证法一：运用同一法证三条高两两 相交的交点是同一点。已知：AABC的两条高BE、CF 相交于点O,第三条高AD交高BD于 点Q,交高CF于点P。求证：P、Q、。三点重合证明：如图，: BEX AC, CF± AB ./AEB = /AFC = 90 ° 又BAE = ZCAF .ABE s aacfABAEACAFFAEB即 AB AF = AC AE 又ADLB

2、C AEQ s AADC , AAFP s ADBAFAPAEAD=, ADABADAQDC即 AC AE = AD AQ, AB AF = AD AP. AB AF = AC AE, AC AE = AD AQ, AB AF = AD AP /.AD AQ = AD APAQ = AP丁点Q、P都在线段AD上点 Q、 P 重合 .AD与BE、AD与CF交于同一 点二.两条不平行的直线只有一个交点 BE与CF也交于此点.，点Q、P、O 重合。证法二： 连结一顶点和两高交点的线垂直于第三边，用四点共圆性质。已知：ABC 的两条高 AD 、 BE相交于点O， 第三条高CF 交高 AB 于点F,连结

3、CO交AB于点F。求证：CFXABo证明：ADBC 于 E, BEX AC 于E.A、B、D、E 四点共圆1=/ABE 同理/ 2=/ 1DCA ./2=/ABEvZ ABE+ / BAC = 90 °,/ 2+/BAC = 90° 即 CFXABo注： 证法一和证法二是证明共点线的常用方法。证法三： 证两条高的交点在第三条高线上，建立直角坐标系运用代数方法 证明。证明： 如图 6， 以直线 BC 为 x 轴， 高 AD 为 y 轴， 建立直角坐标系， 设 A(0 ,a) , B(b , 0) , C(c , 0),由两条直线 垂直的条件kBE 1kACc1b,kCF ak

4、ABa 则三条高的直线方程分别为： AD: x 0 c BE: y (x b) ab CF: y (x c) a ca (1)(2) ba 解和得(x b) (x c),(b c)x 0 b c(b 0,c 0) x 0 这说明BE和CF得交点在AD上, 所以三角形的三条高相交于一点。注： 有时候考虑直角坐标系这一有力的数形结合工具可以有效地解决问 题。证法四： 转化为证明另一个三角形的三条中垂线交于一点。已知： AD 、 BE 、 CF 是 ABC 的 三条高。 求证： AD 、 BE 、 CF 相交于一 点。证明：过点 A 、 B 、 C 分别作 BC、 AC 、 AB 的 平 行 线 M

5、L 、 MN 、 NL . AM / BC, MB /AC.四边 形 AMBC 是 平 行 四 边 形 .AM=BC同理，AL = BC .AM=ALVADXMLAD是ML的垂直平分线同理，BE、 CF 分别是 MN 、 NL的垂直平分线而三角形的三条垂直平分线相交于一点AD、BE、CF相交于一点。注：三角形的三条中线相交于一点，这事实学生容易理解，也不难证明， 把证明三角形的三条垂线相交于一点的问题转化为另一三角形的三条中线相交于一点，这种化陌生为熟悉、化难为易的转化方法必须让学生理解掌握。NBAFELDC证法五：运用锡瓦定理证明。已知： AD 、 BE 、 CF 是 ABC 的 三条高。

6、求证： AD 、 BE 、 CF 相交于一 点。证明：如图，: ADXBC于E, BEX AC 于 E .ABD s acbfBDAB=BFCBBFA E O D C 同理，由丛DC s ABEC得 CECB=,CDCA由 AAFC s zaeb AFAC =AEABBDCEAFABCBAC1三式相乘得 BFCDAECBCAAB BDCEAF1即 DCEAFB .，AD、BE、CF相交于一点。 注：锡瓦定理是证明共点线的有力 工具，虽然中学不作要求，但对于学有 余力的学生不妨引导他们自己研究，激 发他们的学习兴趣。锡瓦定理可以用梅涅劳定理证明， 而梅涅劳定理可以由平行线分线段成比例定理轻松得到

7、。在适当情况下适当的启发有利于学生思维的扩散，有利于培养学生的创新能力。垂心是三角形三条高的交点垂心是三角形三条高的交点 内心是三角形三条内角平分线的交点 重心是三角形三条中线的交点 外心是三角形三条边的垂直平分线的交点即外接圆的圆心 即内接圆的圆心旁心 ,是三角形两条外角平分线和一条内角平分线的交点正三角形中 ,中心和重心,垂心 , 内心 ,外心重合 !垂心定理： 三角形的三条高交于一点。该点叫做三角形的垂心 内心定理：三角形的三内角平分线交于一点。该点叫做三角形的内心。 旁心定理： 三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点。 该点叫做三角形的旁心。三角形有三个旁心。 重心定理：

8、三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 2 倍。该 点叫做三角形的重心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。三角形中线一条性质的探究三角形中线一条性质的探究、 应用与拓展2016-01-0317:18:50|分类：标签：|字号大中小订阅性质： 平行于三角形一边的直线被另两边所截得的线段被这边上的中线平 分。如图，ABC 中， AD 平分 BC ，EFII BC,求证：AD 平分 EF.证明：. EF/ BC EG : BD=AG : AD ; FG ： CD=AG : AD EG : BD= FG : CDBD=CDEG = FG.结论得

9、证 .我们不妨将该结论称为三角形中线性质定理这条性质的运用，现举例如下：例 1. AABC 中，DE/ BC, CD 交 BE于F,求证：AF平分DE和BC.分析：根据“三角形中线性质定理” ， 结论中只需证得其一，即可得其二.证明：过B作BG/DC,交AF 延长线于点G,连CG. BG / DC, DE II BC AD : AB=AF : AG ; AD : AB =AE : AC .AF : AG =AE : AC. .CG/ BE BGCF为平行四边形. .BN=CN. DE / BC .DM=EM.例 2 如图，梯形ABCD 中， AD/ BC, /B+/C=90° , M

10、、N 分别为 AD、 BC 的中点，求证： MN= 1/2(BC-AD).证明：延长BA、CD交于点E,连接EN.EN平VBN=CN , AD / BC, 据三角形中线性质定理分AD ,即EN过点M. / B+/C=90° , .EN=1/2BC.同理，RtAEAD 中，EM=1/2AD. .MN=1/2(BC-AD).例3如图，RtAABC中,/ ACB=90 , CD LAB 于 D,E 为 CD 中点, AE延长线交BC于点F, FGXAB 于 G,求证：FG2=FC FB.证明：延长GF与AC延长线交于点H. CDLAB, FGXAB .CD / FG .CE=DE . .F

11、G=FH : / ACB=90 ./ HCF=/FGB=90Z HFC=ZBFG /.HFCABFG /.FG : FC=FB : FH. .FGFH =FCFB . .FG2=FCFB.显然，利用比例性质，以上 三角 形中线性质定理”可作如下推广（如图所 示）：1. AABC 中，EF/ BC,若 BD : DC=k,贝U EG : FG=k （如图 1）.2. AABC 中，GH / BC,若 BD : DE ： EF ：二 a ： b ： c ：，则 GM ： MN ： NP ：二 a : b ： c ：（如图2）.三角形三条高相交于一点的 一点思考（1）一道课本习题引发的思考李守峰（山

12、东临沂沂州实验学 校）新人教版选修2-3在命题证明一 章中，有这样一道例题： 如图三角形 ABC的三条高相较于点，垂足分别为D、 E、F 求证： FDA EDA这是一道普通的题，很可能不会引 起人们的重视，因为他太简单，不需老 师讲，学生一看就会。但是，如果仅仅停留在一个例题上来看待的话，他的数 学功能就是去了 99%。下面就以这道题 的背景出发，探究他的辐射功能！如图高BE、CF相交于M,求证：AM ±BC 一、证法思考1.几何证明易知 A、F、M、E, B、C、E、 F四点共圆所以：/ 1 = /3, /2=/3 所以/ 1 = /2所以/ BDA=/AEB二直角 故 AM &#

13、177;BC2.解析坐标法建立直角坐标系如图 易知：AB: xyxy 1 AC:1 bcac所以过点B且垂直于AC的直线 为xybBE:cac过点C且垂直于AB的直线为xya CF: cbc 由消去y得：axab y ccbxab y cc两式相加得x=0这就说明，BE CF的交点在BC 边的高线上，故三线共点.3.向量法uuuruuuruuruuur假设：CF AB, BE AC, BE、 AC交于Muuuruuuruuuruuuruuruuur 贝U AM BC (AB BM) (BA AC) uuuruuruuuruuruuuruuuruuuruuur AB BA BM BA AB AC

14、 BM AC uuuruuruuuruuruuuruuurAB BA BM BA AB AC 0uuuruuuruuruuuruuur (AB BM) BA AB ACuuuruuruuuruuuruuuuuruuururuuuruuurAM BA AB AC AB (AC A M) AB CM 0所以AM ±BC二、蕴含结论1. A、F、H、E; B, D, H, F; C, E, H, D; A, B, E, D; B, C, E, F; C, A, F, D均四点共圆2. AF AB AH AD AE AC BF BA BH BE BD BCCE CA CH CF CD CB3

15、. H为垂足三角形的内心 证明：易得： FDH FBE FCE HDE所以H在角FDE的平分线上，同 理H在角DFE的平分线上，所以H为 内心.4. 三垂足，三边中点，垂心与三顶 点连线的中点， 这九点共圆，且半径 为外接圆半径的二分之一. 证明：如图 作四边形 OQTS则OQ/ BC,ST / BC 所以 OQ II BC / ST 同理： QS / AH II QT 又 AHBC所以OSTQ为矩形，所以OSTQ共圆，且SQ为直径如图，易知 1= 3,2= 4又易知 3= 4,所以 1= 2 所 以 SDQ BDH 900 又SEQ 900SDQ STQ SEQ 900 所以S、D、T、E、

16、O共圆. 如图利用中位线定理可知SP /FC,PQ / AB,又 AB ± CF 所以SPQ 900所以P在以SQ为直径的圆上 利用直角三角形斜边上的中线等 于斜边的一半，可得1= 3,2= 4又易知 3= 4,所以1= 2所 以 SFQ 900所以F在以SQ为直径的圆上.如右图利用中位线定理可知SR/ AB,RQ / FC,又 AB ± CF 所以SRQ 900所以R在以SQ为直径的圆上综 上所述，九点共圆问题证毕.证法总结：首先找出圆的直径，然 后利用三角形的中位线定理和直角三角 形斜边上的中线等于斜边的一半证得其 余各点对直径的张角均为直角.下面证明九点圆的直径等于外

17、接 圆的半径先证一个结论：三角形顶点到垂心 的距离等于外心到其对边距离的两 倍.如图，弦心距OD1CH 2证明，作辅助线如图所示则 BM 2OD又 MB AB CH AB 所以 MB / CH 同理：MC / BH所以BMCH为平行四边形利用上述结论证明半径关系如右图，有上述结论可知OQ平行 些等于BH的一半，故有OQ平行且等 于BS所以OBSQ为平行四边形 所以 OB=SQ即外接圆的半径等于九点圆的直径.如右图 由上述结论易知 OSHQ也 为平行四边形，所以OH、SQ相互平分， 所以九点圆的圆心O1为OH的中点，即 九点圆的圆心在欧拉线上，且位于外心 与垂心的中点.三、问题延伸1.结论拓展如

18、图1见蕴含结论3证明方法 1运用共圆证明略证明方法2运用解析法证明 建立坐标系如图所示 因为kABcc kAC ba所以 AB:cx by bcAC:cx ay acCF:bx cy ab BE:ax cy ab 消去常数项得 DE :a(cx by) c(bx cy) 0即：c(a b)x (c2 ab)y 0消去常数项得 DF : b(cx ay) c(ax cy) 0即：c(a b)x (c2 ab)y 0由此可见DE、DF斜率互为相反 数，故有 12.2 .条件推广设H为高AD所在直线上的一点， 直线BH交直线AC于点F,直线CH交 直线AB于点E,则/FDA=/EDA.证 明：如图所

19、设xy1 (1)则直线AB:bcxy直线 CH:1(2)amxy直线 AC:1(3)acxy 1(4)直线 BH:bmxyxyxxyy即：消常得DE:bcamabcmxyxyxxyy即；()(3)(4)消常得DF:ac bmabcm由此可见：由此可见 DE、DF斜 率互为相反数，故有12.3 .逆命题考察如图，AD为高，H为平面内一点， 且/ FDA= / EDA贝H必在高 AD所在 直线上. 证明：如图所设 则直线AB:xy1 bc直线 CH:mx (s a)y am (2)直线AC:xy1(3) ac直线 BH: mx (s b)y bm(1)(2)消常得DE: am( xy)mx (s

20、a)y bc 即 ： abmy bc(s a)y acmx bcmx (3)(4)消 常得DF: bm(xay)mx (s b)y 0 c 即 ： abmy ac(s b)y (bcmx acmx)由题意知：DE、DF斜率互为相 反 数 ，故 有 abmy bc(s a)y abmy ac(s b)y 即(a b)csy 0,它对任意的y恒晟立， 而(a b)c 0,所以s 0,所以点H在 高线AD上.4.关注三点、四线、两正三角形三点费马点、布洛卡点、拿破仑点费马点：在一个三角形中，到3个 顶点距离之和最小的点叫做这个三角形 的费马点.(1)若三角形ABC的3个内角均小 于120°

21、,那么3条距离连线正好平分费 马点所在的周角.所以三角形的费马点 也称为三角形的等角中心.(2)若三角形有一内角不小于120度，则此钝角的顶 点就是距离和最小的点.一种简捷的证 明：设O为三顶点连线最短点，以 A 为圆心AO为半径做圆P。将圆P视作 一面镜子。显然O点应该为B出发的光 线经过镜子到C的反射点。而AO ' = AO,就会有 AO + BO + CO 与三角形两 角平分线交点有关的几个命题o A -A A 1/ C/ B 1 M 8 B C+ B/SC ,+ C)8 A A Z C IA1 +3=1 Z 4=一 BA+ A)A + C AH B = ) PD -A / C

22、_ / _命题4过三角形一边的 两个顶点分别作一内角与一外角的平分线相交于一 点，这点作这边的平行线 过与其他两边相截，截线段 长等于每个截点到同一边 上 贝U往个顶占 问的终毋长 的善.+1 一曰 8 o=90 o + 1 /B .在 AA C 中，D D /AC : 1 0 8 。一1 一 o + B 8099 0。- 1 L B已知如图，是AA C B的内角/A C与外角/A M B C的平分线B与 C的交点，D D 过DD BE i Co交A于 ，A B交C于F B求证 E F= B F . ECC-Z A D C : 9 o 0 1 ZB .命题6过三角形一边的 两个顶点分别作两个外

23、角的平分线相交于一点，这点 作这边的平行线与其他 过两边 的延长线相截，则截线段的长等于 每个截点到同一卜缸个顶占 闻的绊毋 长的和 力证明 由命题 3知 1 =/ 3 /Fc： /4, D ,DE:BE.C:FD.F EF = ED FD = EB F e已知 如图.是AACD B 的两个外角ZE C与/ A F . A C即 E F =朋 一 FC .的平分线A D与C的交点, D过 D作 / B交B C , A的 延长线于E交B , C的延长线于 求证三、角形两外角平分线 的交点 三命题5三角形两外角平分线的 夹角等于9。第o与三角一半的差.已知如图，是/A C的 D XB证明由已知A平

24、分 D蕊 数 掌大世界 .。oo 7 00E + ? F =。 。 。 。 。 。 。 ；两外角/E C和ZA F 的平分 A . CECE#AA. FC:知 1=2.3 =2 .。线 D和c D的交点.求证厦C/ D = 9 。一 A C 01/ 1 : 3 . ED : E . A 同理可证：D=F . F C EF: E1)+FD=EA F C .证明由 已知 条 件 知 BEEF=E +F. AC 1 C =/E - -A 饕琏。遗 三角形的高、中线角平分线知识点与练习三角形的高， 中线， 角平分线知识点及练习知识点一： 认识并会画三角形的高线，利用其解决相关问题1、作出下列三角形三边上的高：C B BC2、上面第1 图中， AD 是 ABC的边BC上的高，则/ ADC=/ =°3、由作图可得出如下结论：三角形的三条高线所在的直线相交于 点； 锐角三角形的三条高相交于三角形 的； 钝角三角形的三条高所在直线相交于三角形的 ；直角三角形的三条高相交三角形的 ； 交点我们叫做三角形的垂心。练习一：如图所示，画ABC 的一边上的高，下列画法正确的是知识点二： 认识并会画三角形的中线，利用其解决相关问题1、 作出下列三角形三边上的中线B C