数值分析试题及答案

1、数值分析试题填空题(20X2')1 .322设x=0。231是精确值x*=0.229的近似值，则x有_2A,X213位有效数字.2 .若f(x)=x7-x3+1,贝Uf20,21,22,23,24,25,26,27=J,f20,21,22,23,24,25,26,27,28=3 .设，|Allop-5,IIXI3.IIAX|QQ<1504 .非线性方程f(x)=0的迭代函数x=(x)在有解区间满足I'(x)I<1,则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。5 .区间a,b上的三次样条插值函数S(x)在a,b上具有直到2阶的连续导数。6 .当插值节点为等距分布时，若

2、所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点,应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式;如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。n7 .拉格朗日插值公式中f(xi)的系数ai(x)的特点是：ai(x)1;所1 0以当系数a(x)满足a(x)>1,计算时不会放大f(xi)的误差。8 .要使20的近似值的相对误差小于0。1%,至少要取4位有效数字。9 .对任意初始向量X。及任意向量g,线性方程组的迭代公式x(k+1)=Bx(k)+g(k=0,1,)收敛于方程组的精确解x*的充分必要条件是(B)110 .由下列数据所确定的插值多项式

3、的次数最高是5.x00o511。522.5y=f(x)21o75-10o2524。2511 .牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。12 .线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差ri(i=0,1,，n)来实现的，其中的残差门二(bai1x1-a2xzanxn)/a,(i=0,1，,n)013 .在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点X0的选取依据为f(x0)f”(x0)0。14 .使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、选取初值、迭代计算。二、判断题(10X1')1、若A是n阶非奇异矩阵，则线

4、性方程组AX=b一定可以使用高斯消元法求解。(X)2、解非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根x*附近是平方收敛的。()3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naHaj(i1,2,.,n)j1则解线性方程组AX=b的高斯-塞德尔迭代法一定收敛.(X)4、样条插值一种分段插值。()5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。()6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及舍入误差。()7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组AX=b.(X)8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计，直到最后一步迭代计算

5、的舍入误差.(X)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断误差=舍入误差。()10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差.(X)三、计算题(5X10')1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1x2x34I235x14x23x3121232x1x2x311解答:(1,5,2)最大元5在第二行，交换第一与第二行5x14x23x312123x1x2x342x1x2x311L2i=1/5=0.2,131=2/5=0o4方程化为：5x14x23x3121 230.2x20.4x31.62 32.6x20.2x315.823(Q：121.6)最大元在第三行，交

6、换第二与第三行5x14x23x3121 232.6x20.2x315.82 30.2x20.4x31.63 3L32=-002/2.6=-0.076923,方程化为：5x14x23x3122.6x20.2x315.8230.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.0001032、用牛顿一-埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式P4C）：）,并写出其截断误差的表达式（设f（x）在插值区间上具有直到五阶连续导数）oxi012f(x)1一13f(x15解答:做差商表xiF(xi)Fxi,xi+1Fxi.xi+1。xi+2Fxi,xi+1,xi+2

7、,xi+3Fxi,xi+1,xi+2,xi+3,xi+4011-121-1132343023512-1P4(x)=12x-3x(x-1)x(x1)(x1)(x-2)R4(x)=f(5)()/5!x(x1)(x1)(x2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯-一赛德尔迭代法均收敛，写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并简单说明收敛的理由.x412x1x2x1x35x46x24x3x48x13x2x3解答:交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优:x412x1x2x13x2x3x24x3x48x1x35x463雅克

8、比迭代公式：2x1x2x41x13x2x3；x24x3x48x1x35x46Io4+计算机数学基础（2）»数值分析试题、单项选择题（每小题3分，共15分）1.已知准确值x().(A) 0。5X10x*与其有t位有效数字的近似值x=0.0a1a2anX(B) 0.5X10st2.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为（(C).0。5X10s+1t10s（a10）的绝对误差s+1(D)0.5X101(A) 0(B)1(C) 2(D)3.过（0,1),(2,4),(3,1)点的分段线性插值函数(x)=3x23x(B)103x23x2103x(C)2(D)3x104.等距二点的求导公式是(A)f(x

9、k)f(xk1)h(yk3kyk1)yk1)(B)(xk)(xk1)h(ykh(ykyk1)yk1)f(xk)f(xk1)；(ykh(ykyk1)(D)1yk)5。解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是1,、yk1二（ypyc）2那么yp,yc分另1J为（(A)ypykhf(xk,yk)ycykhf区1,yk)yp(B)ycykhf(xk1,yk)ykhf(xk,yp)ypYkf(Xk,Yk)ypYkhf(xk,yk)(C)(D)YcYkf(Xk,Yp)YcYkhf(Xki,yp)二、填空题(每小题3分，共15分)6 .设近似值xi,X2满足(xi)=0。05,(X2)=0.005,

10、那么(xix2)=.7 .三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间a,b内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,n,且满足S(x)在每个子区间xk,xk+1上是.bnn8。牛顿科茨求积公式f(x)dxAkf(xk),则Ak=。ak0k09 .解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内,则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛.10。解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报一一校正公式是预报值：yk1ykhf(xk,yk),校正值：Yk+1=.三、计算题(每小题15分，共60分)11 .用简单迭代法求线性方程组8x13x22x3204x111x2x333

11、6x13x212x336的X(3).取初始值(0,0,0)T,计算过程保留4位小数.12 .已知函数值f(0)=6,f(1)=10,f(3)=46,f(4)=82,f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4,1,3).13。将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分31x2dx,计算过程保留4位小数.114。用牛顿法求V115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数.四、证明题体题10分)15 .证明求常微分方程初值问题yf(x,y)y(x0)v。在等距节点a=xq<x1xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+&q

12、uot;f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)2其中h=xk+1xk(k=0,1,2,-n-1)计算机数学基础(2)数值分析试题答案一、单项选择题(每小题3分，共15分)1。A2。B3。A4.B5。D二、填空题(每小题3分，共15分)6.0.05x2+0.005x17.3次多项式h8.b-a9.(x)r110.yk+-f(xk,Yk)f(xk1,yk1)hf(xk+1,yk1)2三、计算题（每小题15分，共60分）11。写出迭代格式x1(k1)00.375x2k)0.25x3k)2.5x2k1)0.3636x1(k)00.0909x3k)3x3k1)0.5x1")0.25x2k)

13、03X(0)=(0,0,0)T。x1(1)00.37500.2502.52.5x21)0.3636000.0909033x:0.500.250033得到X(1)=(2.5,3,3)TXi00.37530.2532.52.8750.36362.500.0909332.3637x32)0.52.50.253031.0000得到X2)=(2.875,2.3637,1.0000)Tx1(3)00.3752.36370.2512.53.1364x23)0.36362.87500.0909132.0456x33)0.52.8750.252.3637030.9716得到X3)=(3.1364,2.0456,

14、0。9716)T.12 .计算均差列给出.Xkf(xk)一阶均差二阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/151(0,1,3,4,6)=15(4,1,3)=60.25.分点x0=1。0,x1=1.25,x2=1。5,x3=1.75,x4=2.0,xs=2o25,f(1。25)=1。6008,f(1。5)=1。8028,f(1。75)=2。0156,f(2。13 .f(x)=V1x2,h=8x6=2。50,x7=2。75,x8=3。0。函数值：f(1.0)=1。4142,0)=2.2361,f(2。25)=2.4622,f(2.50

15、)=2。6926,f(2。75)=2。9262,f(3。0)=3。1623.3h1f(x)dx21f(x0)f(x8)2(f(x)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)f(x6)f(x7)(9分)025X1.4142+3。1623+2X(1.6008+1。8028+2.01562+2.2361+2。4622+2。6926+2.9262)=0.125X(4。5765+2X15。7363)=4.506114.设x为所求，即求x2115=0的正根.f(x)=x2-115.因为f(x)=2x,f(x)=2,f(10)f(10)=(100-115)X2<0,f(11)f(11)=(121115)

16、X2>0取x0=11.有迭代公式xk+1=xk'(")=xkf(xk)x21152xkxk万1152xk(k=0,1,2,)11x1=一2115211=10.727310.7273x2=2115-10。210.7273723810.7238115x3=10。72382210.7238x*10.7238四、证明题体题10分)15。在子区间xk+1,xk上，对微分方程两边关于x积分，得xk1y(xk+1)y(xk)=f(x,y(x)dxxk用求积梯形公式，有h一一y(xk+1)-y(xk)=-f(xk,y(xk)f(xk1,y(xk1)2将y(xk),y(xk+1)用yk,

17、yk+1替代，得到,、hy(xk+1)yk+1=yk+f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)(k=0,1,2,，n1)2数值分析期末试题一、填空题(21020分)13(2)对于方程组02.52.502x15x21,Jacobi迭代法的迭代矩阵是Bj10Xi4x23一3*I(3)3x的相对误差约是x的相对误差的一倍。3(4)求方程xf(x)根的牛顿迭代公式是xn1xnXnf(Xn)1f'(Xn)3,(5)设f(x)x3x1,则差商f0,1,2,31o设nn矩阵G的特征值是1,2,n,则矩阵G的谱半径(G)max1in、一12已知A,则条件数Cond(A)901(8)为了提高数值计算精

18、度，当正数x充分大时，应将ln(xJx21)改写为ln(xVx21)。(9)n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n1次。(10)拟合三点(xi,f(Xi),(x2,f(x2),(x3,f(x3)的水平直线是y13ff(xi).3i1(10分)证明：方程组2x1x2x31xx2x31使用Jacobi迭代法求解不收敛性。Xix22x31证明：Jacobi迭代法的迭代矩阵为00.50.5Bj1010.50.50BJ的特征多项式为det(IBj)0.50.511(21.25)0.50.5Bj的特征值为10,2V1.25i,石法i，故(Bj)J1元1,因而迭代法不收敛性。(10分)定义内积1(

19、f，g)0f(x)g(x)dxXx的最佳平方逼近元素p(X)。试在H1Span1,x中寻求对于f(x)解：0(x)1,1(x)X,(1,f)法方程解得c010dx1，(xxdx1213CoC11,23251,1,xdx一,(02,1/r、1dx,(0,f)°.xdx30415，C112-，+一。所求的最佳平方逼近元素为15p(x)412c.x0x11515四、（10分）给定数据表x-2一1012y0o10.10o40o91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据3解：y(x)c0c1xc2x2Cax10ATATA10y(2.9,4.2,7,14.4)T10343434130法方程A

20、TAcATyc20.0857,c30.00833的解为c00.4086,c10.39167,得到三次多项式y(x)0.40860.39167x0.0857x20.00833x3误差平方和为30.0001943五.（10分）依据如下函数值表0124101923f(x)1下,建立不超过三次的Lagrange插值多项式，用它计算f(2.2),并在假设f(4)(x)估计计算误差。解：先计算插值基函数l0(x)(x1)(x2)(x4)(01)(02)(04)li(x)(x0)(x2)(x4)(10)(12)(14)2x2l2(x)l3(x)(x0)(x1)(x2)(40)(41)(42)13-x241一

21、x12所求Lagrange插值多项式为3L3(x)f(xi)li(x)l0(x)i09li(x)23l2(x)3l3(x)113452xx44(x0)(x1)(x4)(20)(21)(24)f(2.2)L3(2.2)25.0683。据误差公式R3(x)f()/(xXo)(xx)(xX2)(x4!x3)及假设f(4)(x)得误差估计:R3(x)f(4)4!()(2.20)(2.21)(2.22)(2.24)14!0.95040.0396六。(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组x1x2x317由矩阵乘法可求出x41020110200101l211u22U23U241243l311321U33U340103l411421431U44Uij和lij111l211131132114114214310112101011020U22U23U24U33U34U441020101212解下三角方程组1y1501y23121y3170101y47有y15,y23,y36,y44。再解上三角方程组1020X15101X2321x362x44得原方程组的解为x11,x21,x32,x42。七。（10分）试用Simpson公式计算积分12-exdx1的近似值，并估计截断误