数学思维的变通性

1、数学思维的变通性吉小卫一、概念数学问题千变万化，要想既快又准的解题，总用一套固定的方案是行不通的，必须具有思维的变通性一一善于根据题设的相关知识，提出灵活的设想和解题方案。根据数学思维变通性的主要体现，本讲将着重进行以下几个方面的训练：(1)善于观察(2)善于联想(3)善于将问题进行转化(1)观察能力的训练任何一道数学题，都包含一定的数学条件和关系。要想解决它，就必须依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法。虽然观察看起来是一种表面现象，但它是认识事物内部规律的基础。所以,必须重视观察能力的训练，使学生不但

2、能用常规方法解题，而且能根据题目的具体特征，采用特殊方法来解题。例1已知a,b,c,d都是实数，求证Ja2+b2+Vc2+d2父J（a-c）2+（b-d）2.思路分析从题目的外表形式观察到，要证的结论的右端与平面上两点间的距离公式很相似，而左端可看作是点到原点的距离公式。根据其特点，1可采用下面巧妙而简捷的证法，这正是思维变通的体现。证明不妨设A(a,b),B(c,d)如图121所示，贝UAB=/(ac)2+(bd)2.OA|="a2+b2,OB|=vc2+d2,在AOAB中，由三角形三边之间的关系知：OA+|OB2AB当且仅当O在AB上时，等号成立。因止匕，a2b2.c2d2_.1

3、(a-c)2(b-d)2.例2已知3x2+2y2=6x,试求x2+y2的最大值。,一一2一2一一解由3x+2y=6x得232y=x3x.2232y_0,.x3x_0,.0_x_2.2p22232129又xy=x-x3x=-(x-3),222二当x=2时，x2+y2有最大值，最大值为_(2-3)2+：=4.思路分析要求x2+y2的最大值，由已知条件很快将x2+y2变为一元二次1C9.函数Mx-/-3)+2，然后求极值点的X值，联系到y2s这一条件，既快又准地求出最大值。上述解法观察到了隐蔽条件，体现了思维的变通性。例3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c=0(a>0),满足关系f(2+x

4、)=f(2x),试比较f(0.5)与f(n)的大小。的函数值相等，说明该函数的图像关于直线2图12思路分析由已知条件f(2+x)=f(2-已知条件知它的开口向上，所以，可根据该函数的大致图像简捷地解出此题。解(如图122)由f(2+x)=f(2x),知f(x)是以直线x=2为对称轴，开口向上的抛物线它与x=2距离越近的点,函数值越小。;2-0.5>|2_可-f(0.5)>f(2)联想能力的训练联想是问题转化的桥梁。稍具难度的问题和基础知识的联系，都是不明显的、间接的、复杂的。因此，解题的方法怎样、速度如何，取决于能否由观察到的特征，灵活运用有关知识，做出相应的联想，将问题打开缺口，

5、不断深入。,、一一,x+y=2例如，解方程组y.、xy=-3这个方程指明两个数的和为2,这两个数的积为-3。由此联想到韦达定理，x、y是一元二次方程t2-2t-3=0的两个根，x=-1x=3所以或.可见，联想可使问题变得简单。、y=3j=1例4在&ABC中，若/C为钝角，则tgAtgB的值(A)等于1(B)小于1(C)大于1(D)不能确定思路分析此题是在AABC中确定三角函数tgAtgB的值。因此，联想到三角函数正切的两角和公式tg(A+B)=tgA+tgB可得下面解法。1-tgAtgB解丁ZC为钝角，:tgC<0.在&ABC中A+B+C=n，C=n(A+B)且A、B均为

6、锐角,JgA_JgB,二0.1-tgAtgBtgC=tgh-(AB)I-tg(AB)=tgA.0,tgB.0,1-tgAtgB0即tgAtgB：1.故应选择(B)例5若(zx)2-4(x-y)(y-z)=0,证明:2y=x+z.思路分析此题一般是通过因式分解来证。但是，如果注意观察已知条件的特点，不难发现它与一元二次方程的判别式相似。于是，我们联想到借助一元次方程的知识来证题。证明当xy#0时，等式(zx)24(xy)(yz)=0可看作是关于t的一元二次方程(x-y)t2+(z-x)t+(y-z)=0有等根的条件，在进一步观察这个方程，它的两个相等实根是1,根据韦达定理就有：z=1即2y=x+

7、zx-y若xy=0,由已知条件易得zx=0,即x=y=z,显然也有2y=x+z.例6已知a、b、c均为正实数，满足关系式a2+b2=c2,又n为不小于3的自然数，求证:an-bn<cn.思路分析由条件a2+b2=c2联想到勾股定理，a、b、c可构成直角三角形的三边，进一步联想到三角函数的定义可得如下证法。证明设a、b、c所对的角分别为A、B、C.则C是直角，A为锐角，于是ab一_sinA=,cosA=，且0<sinA<1,0<cosA<1,cc当n23时，有sinnAHsin2A,cosnA<cos2A于是有sinnAcosnA:sin2Acos2A=1即(

8、-)n(-)n:1,cc从而就有anbn:二cn.(3)问题转化的训练数学家G.波利亚在怎样解题中说过：数学解题是命题的连续变换。可见，解题过程是通过问题的转化才能完成的。转化是解数学题的一种十分重要的思维方法。那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题。在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系。一，.1111例如,已知一一一二,(abc=0,abc0),abcabc求证a、b、c三数中必有两个互为相反数。恰当的转化使问题变得熟悉、简单。要证的结论，可以转化为：(ab)(bc)(ca)=0思维变通性的对立面是思维

9、的保守性，即思维定势。思维定势是指一个人用同一种思维方法解决若干问题以后，往往会用同样的思维方法解决以后的问题。它表现就是记类型、记方法、套公式，使思维受到限制，它是提高思维变通性的极大的障碍，必须加以克服。综上所述，善于观察、善于联想、善于进行问题转化，是数学思维变通性的具体体现。要想提高思维变通性，必须作相应的思维训练。转化成容易解决的明显题目一一，111例11已知a+b+c=+-十一=1，求证a、b、c中至少有一个等于1。abc思路分析结论没有用数学式子表示，很难直接证明。首先将结论用数学式子表示，转化成我们熟悉的形式。a、b、c中至少有一个为1,也就是说a-1b-1、c-1中至少有一个

10、为零，这样，问题就容易解决了。111.证明=1,.bcacab=abc.abc于是(a-1)(b-1)(c-1)=abc一(ab-acbc-1)(ab,c)=0.,a-1、b-1c-1中至少有一个为零，即a、b、c中至少有一个为1。思维障碍很多学生只在已知条件上下功夫，左变右变，还是不知如何证明三者中至少有一个为1,其原因是不能把要证的结论“翻译”成数学式子，把陌生问题变为熟悉问题。因此，多练习这种“翻译”，是提高转化能力的一种有效手段。例12直线L的方程为*=-艮，其中p>0;椭圆E的中心为O'(2+卫,0),22焦点在X轴上，长半轴为2,短半轴为1,它的一个顶点为A(卫,0)

11、,问p在什2么范围内取值时，椭圆上有四个不同的点，它们中的每一点到点A的距离等于该点到直线L的距离。思路分析从题目的要求及解析几何的知识可知，四个不同的点应在抛物线y2=2px(1)是，又从已知条件可得椭圆E的方程为(2)x-(2：)24y2二1因此，问题转化为当方程组(1)、(2)有四个不同的实数解时，求p的取值范围。将(2)代入(1)得：22_Px(7p-4)x2p=0.4(3)确定P的范围，实际上就是求(3)有两个不等正根的充要条件，解不等式组：<2(7P-4)2-4(一+2p)>024E+2PA047p-4:二0在p>0的条件下，得0<p<13.本题在解题

12、过程中，不断地把问题化归为标准问题：解方程组和不等式组的问题。2逆向思维的训练逆向思维不是按习惯思维方向进行思考，而是从其反方向进行思考的一种思维方式。当问题的正面考虑有阻碍时，应考虑问题的反面，从反面入手，使问题得到解决。例13已知函数f(x)=2x2+mx+n,求证|f(1)、|f(2)、1f(3)中至少有一个不小于1.思路分析反证法被誉为“数学家最精良的武器之一”，它也是中学数学常用的解题方法。当要证结论中有“至少”等字样，或以否定形式给出时，一般可考虑采用反证法证明(反证法)假设原命题不成立，即|f、|f(2)、|f(3)都小于1。f<1'1<2+m+n<13

13、<m+n<1则f(2)<1=(1<8+2m+n<1=(9<2m+n<-7jf(3)<1-1<18+3m+n<1-19<3m+n<-17十得11c2m+n<-9,与矛盾，所以假设不成立，即|f(1)、f(2)|、|f(3)中至少有一个不小于1。3一题多解训练由于每个学生在观察时抓住问题的特点不同、运用的知识不同，因而，同一问题可能得到几种不同的解法，这就是“一题多解”。通过一题多解训练，可使学生认真观察、多方联想、恰当转化，提高数学思维的变通性。例14已知复数z的模为2,求z-i的最大值。解法一(代数法)设z=x+yi(x、yWR),则x2+y2=4.z-i|=Cx2+(y-1)2=J5-2y.<当丫=一2时，zmax=3.解法二(三角法)设z=2(cos8+isin8),贝Uz-i=j4cos2H+(2sin-1)2="54sine.图1-2-3二当5的6=7时,z-imax=3.解法三(几何法):z