斯特林公式及其精确化形式

1、韩山师范学院学生毕业论文（2012届）题目（室艾）斯特林公式及其精细化形式（英文）Stirlingformulaanditsexactform班级:诚信声明我声明，所呈交的毕业论文是本人在老师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我查证，除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，我承诺，论文中的所有内容均真实、可信。毕业论文作者签名：签名日期：年月日摘要：本文在蔡聪明教授的基础上猜想出斯特林公式新的探求过程,并改进了一些证明方法。利用计算机的实验数据图，大胆猜想得出斯特林公式的改良式，最后运用传统的数学方法证明它比斯特林公式更加精确,并求出它的误差范围

2、和相对误差范围，解决了参考文献2的作者蔡永裕没有解决的问题关键词：斯特林公式；改良式；误差；相对误差Abstract:ThispaperconjecturesanewsearchofStirlingformulabasedontheresearchofProfessorCaiCongming,anditalsoimprovestheprovingmethods.Byusingtheexperimentaldatageneratedbycomputer,weguessoutthereform-typeofStirlingformulaaudacity,whichhasprovedtobemore

3、accurateeconomicalythanthatofusingthetraditionalmathematicalmethods.Bydeterminingitserrorlimitandrelativeerrorrange,itsolvestheproblemwhichtheauthorofrefs2CaiYongyuleft.Keywords:Stirlingformula;improved;error;relativeerror目录1.斯特林公式的探求过程(1)1.1 用nn和对-对 n!进行估计(1)2n1.2 用口对 n!进行估计(3)e1.3 改进n的形式(5)e1.4 证明

4、斯特林公式(6)2 .用计算机求斯特林公式的精细化形式(7)2.1 猜想斯特林公式的改良式(7)2.2 构造改良式函数 f(n)(8)2.3 用线性回归求 f(n)(11)2.4 改良式的简单形式(12)3 .改良式的相关证明(12)3.1 n!的相关定理和推论(12)3.2 证明改良式比斯特林公式更好(13)3.3 求改良式的误差及相对误差范围(14)4 .结束语(16)参考文献(17)致谢(18)斯特林公式及其精细化形式斯特林公式在数学分析、数论、概率论及相关领域的各个方面都有重要的应用。DeMoivre 最先得到斯特林公式(1718 年)； 接着 JamesStirling 在 1730

5、 年又重新得到它。 后来有一些教授、学者运用数学的推理证明，得到更精确的形式，例如徐利治教授和赵岳清。当然也有少数学者用数学实验来猜想它的改良式， 但他们没有证明它比斯特林公式更精确， 也没有求出它的误差范围。本文通过研究斯特林公式的探求过程，再通过计算机的实验结果，得出它的改良式，并证明它确实比斯特林公式的估值更精确，给出它的误差范围和相对误差范围，并与其它改良式作比较。1 .斯特林公式的探求过程过都是在知道斯特林公式后，给出证明相应的方法，虽然当中有一些是简化证明，但是我们不知道如何“看出”或“猜出”公式的追寻、探索过程。有些令人有“美中不足”的感觉。本文我们就试着来补上这个缺憾，展示一种

6、推测式的猜想过程。这只是其中的一种猜想过程，因为登一座山可以有各种不同的路径，路径越多越美妙(用函数的观点来探求)。n一n一，n,1.1 用n和对 2 对 n!进行估计首先观察 n!=n(n?1)(n?2)321,令函数 f(n)n!(nN),我们知道这是一个增长很快的函数。在高中时，我们学过一个增长很快的指数函数xn!nxf(x)2，但是lim9，故2低估了 n!,在这里我们把指数函数f(x)2变n2形为f(x)ax(a 为一个确定的正整数)，但是无论 a 取哪一个确定整数，我们可以n!得到lim/nax_x于是继续追寻，如果将f(x)a变形为f(x)x斯特林公式:n!1,目前有许多文章论述

7、斯特林公式的证明，不(x0) ,显然这个函数的增长会更快。由于f(n)nnn(n 个 n 相乘)，显然jm不过也不错， 因为我们找到了一个比 n!更大的估计式 nn,但是因为 nn要远远比 n!大很多，当 n 趋向于正无穷时，它们的差的绝对值太大了。n那么我们如何找一个比n更小的数?现在将函数f(x)xx变形为f(x)xx-,即f(n)n(n 个n相乘)，显然个比nn更小的估计式。令ann!n(1)n!如果limnn2nn,那么-就是我们所要的估计公式。,一.、1由算术平均大于等于几何平均定理知事实上可以用数学归纳法证明：考虑(1)式中的数列 an， 我们的目标是探求极限“man。现在就来计算

8、极限limnan1anlimn(n1)!学)n1n!1lim(1-)由2(1ne可得首先注意到an是一个递减的正项数列,由实数系的完备性知limann存在，且0(3)定理11：设bn为一个正项数列。如果|imAS(SR且Sn0)加.一 bn1/如果lim1不成立，则可能有三种情形：nbnlimbnn0或limbn或limbn不存在。从（2）式中，我们知道limnan11不成立， 故下列二者 N 一成立:anlimann0或limnan或limnan不存在。酉己合 （3）式可得limann0,所以nn还是高估了2n!1.2 用n对 n!进行估计由limnnnvn!limn,nlnnn!elim1

9、nln-n1lnxdx0e这个式子4,可以寻找到比更小的估计式令Cnn!,则limf1nci如果limnCn1,那我们就可以用n做为n!的估计式。(1工厂ne可得Cn1Cn(n1)!n1n1()enn(-)en!;1,1、n(1)n可知数列Cn为一个递增数列，故limcnn存在，旦1,Wallis 公式(1656 年)i由 Wallis 公式，可得limn22n(n!)2(2n由 Cnn!(与en!enF 可得n将述两式代入 Wallis公式得2limnC2n-n(5)如果lim品n是一个确定的数，则由（5）式得 0b,这是一个矛盾。因此n!limCnljm薪(_)enn低估了 n!n1.3

10、改进n的形式e我们可以得到不等式（n）nen!（n）n,但是很难从2 到 e 之间找到一个数来改n、hn进一en变形为(0)。n!令Xn-(nnnen0)比较 （11)nn与 e 的大小转化为比较它们的对数大小:ln(11)nn(n1n）ln（）与此61的大小。由级数展开公式:ln(1-X)1x2(X),(nL，于是n)ln(n1)n2(n13(2n1)31Z55(2n1)5)(6)1)当1时，2(n2)2n1,由（6）式可知即 （1一)e,故n(1XnXn11)nne因此Xn递减，于是limnXna存在且0a0如果Wallis公式会得到一个矛盾。于是a0,即limXn0n2)当1时，2(n)

11、22n1,将（6）式中的5,7,都改为3,可得当 n 比较大时，则（nn1)ln()1,即(1e0因此Xn递增,故limXnb存在且 0n如果 0,由 Wallis公式得到一个矛盾。于,即nimxn1由上述结论可得，取 21.4 证明斯特林公式1斯特林公式：11mnn!、2nnnen!证明：令cn凸n4得e代入 Wallis 公式，可得n变形为时,n!J2nnnen。limn么在计算 n!时,斯特林公式的 e 就要用精确值去代入呢？为何不配合 n 值去作一些修正呢？也许用一个由 e 的渐近相等值 E,就能提高斯特林公式的精度。猜想斯特林公式的改良式：n!EnnnJ2n如果这个假设可行,E 值如

12、何求得呢？22.2 构造改良式函数 f(n)由(8)式，可得1n1c(132而n，利用(6)式知(1Cn1ei1n2一)e,可得nCn1,即数列Cn是递减正项数列Cn1由此可知limgL存在，且0Ln将limCnL代入（7）式，可得nL2匚5，从而LV2,即|jmn!inn2nne2,用计算机求斯特林公式的精细化形式虽然我们已经得到了斯特林公式度不够高，于是寻找其改良式。2.1 猜想斯特林公式的改良式2，但是除非 n 足句大，否则在实际运用方面，其精确泰勒公式展开：e112!从上面可以看出:e 和 n!之间有113!n!定的关系。在计算 e 时要使用到足够大的 n,为什10(n0.5)logn

13、log2log(n!)/n(11)log(n!)nlogEnlognlog2nnlogE(n0.5)lognlog2logE(n0.5)lognlogv2log(n!)/n(10)将图 1 中数字代入（11）式计算可求得（精确之E 值）如图 2。既然 E 是 e 的渐近相等值:1）它必随着 n 值的变大而趋近（令 E 是一个以 e 的次方之 n 的函数）。2.3 lnE 与（e 的次方）相等，数值见图 2。3）因为 n 趋近于无限大时，E 值与 e 相等，所以（e 的次方）此次方必定趋近于 1。2.4 （e 的次方）的函数必定可以（1 减掉（n 的函数）的倒数）来表示之。因为随着 n 的增大，

14、就可以满足前面的条件。5）用 f（n）表示（e 的次方）的函数，则1、Eexp（1）（12）f（n）一、1f（n）（13）1InE（13）利用图 2 与（13）式，可得到 f（n）值，如图 3。借助数值回归的方法，求 f（n）。图 1n!之精确值图图 2 精确 E 值与 lnE 值图图 3f（n）值图2.5 用线性回归求 f（n）21）以 n 的一次式线性回归，得f（n）-318191.7395697517+9897.928907936050n（14）2相关系数Ra93.50455516468915%,由于相关系数不够接近 1,不理想。2）以 n 的二次式线性回归，得f（n）0.3945551

15、01297897+12.000000147908039n2（2相关系数Ra100.0000000000000%,由于相关系数等于 1,理想。将（15）式修正为f（n）0.412n2（同2.6 改良式的简单形式由（12）式与（16）式，可得将（17）式代入（8）式，可得nn2n1n(18)2)n0.412n23 .改良式的相关证明现在已经得到了斯特林公式的改良式,呢？它的误差范围和相对误差范围是多少?3.1n!的相关定理和推论在定理 2 中取 k=3 得到在定理 2 中取 k=2 得到由（20）式和（21）式可得到推论 1。”.3推论 1 当n1时，3.2 证明改良式比斯特林公式更好由 （18）

16、式，可化简为由不等式的基本性质可证明得到：-1、exp(1-)f(n)1、评(1-0?)(17)n!(exo(1但它是否比斯特林公式和其它改良式更好,_3、定理 2:记nI2即（许），则当k1时，1,1105n412B2k2k(2k1)n2k12B2k21(2k2)(2k2k1)n(0,1)(19)nexp(12nnexp(12n1360n3111260n511680n7)n!(20)360n31260n5nexp(12nnexp(112n1360n31720n(21)nexp(12n360n3)n!/1nexp(12n1360n31260n(22)1360n3,n!斯特林公式的改良式（exp

17、（1nn、2n1n比斯特林公式更好。2）n0.412n23.3 求改良式的误差及相对误差范围由（23）式可知，令当 x2 时，上面（25）式成立，故62由基本不等式的性质，可得:nexp(12nnexp(360n3)1nexp(0.42)(23)12n360n31260n5)2!n!o(xn),可得0时,因此,由（22）式、（23）/nnexp(20.412n21)nexp(n(13)12n360n3式和（24）式可知:12n360n3(24),1nexp(12n11360n31nexp(-3n12n360n315)11160n515)1260n5,n、nexp(2)n0.412n2(26)1

18、2n1360n3x1260n50.4 12n212n1360n311260n5(25)故x工62x 的最好可能值是工。62111、rnexp(35)n12n360n311160n51111(27)rnexp(357)n12n360n31260n51680n7由(20)和(27)式，可得：111exp(35)12n360n311160n5111、rnexp(35)12n360n31260n5设改良式的误差为 p,由（28）式和（26）式，可得设改良式的相对误差为 q,则一，一，11、，7047、一力因此斯特林公式的改良式的误差小于exp（3）（5）,相对误差12n360n310000000n51177515613n5从以上证明结果，我们可以知道:nn2nn!(28)小于的值，就能将相对误差降到百万分之一以下;4 .结束语1)(exp(117)n0.412n2”作为n!的估计式，它比估计式rnexp(12n360n3720n15)和 rnexp(12n1、H工;7 石）更精确。同理，我们还 360n可证明它比估计式rnexp（12n360n31260n5）更精确。2）当n4时，使用本文所提的斯特林公式的改良式1估计n!(exp(10T-w)n当n10时