数学讲义：对数的近似值与应用

1、对数的近似值与应用一般来说，我们可以利用（工程用）计算机求出任何一个对数值，但计算机只提供计算以10为底的对数国，因此还需利用换底公式才可求出任意对数值。举例来说，当我们欲求出10g37的值时，由于10g37=幽工，因此只要依序按下团log3一叵g3匚即可得到10g37的值除了使用计算机，我们也可利用“常用对数表”得到以10为底的对数近似值，如下表或见课本附录一，表中最左一行之直栏中的二位数字10,11,12,，99分别代表1.0,1.1,1.2,；,最宏方横栏中数字0,1,2,分捌代表第二位小数，表尾差之横栏中数字1,2,分别代表第三位小数，而表中每一个四码数字是代表介于0至1间的一个小数，

2、只是省去了小数点，例如：0414,1761分别代表0.0414,0.1761。举例来说，要查10g3.27的值，先在左边直栏找到32（划一横线），接着在最上方横栏中找到7的位置伐广直线），两线的交会处即是log3.27的近似值0.5145。若要查10g3.278的值，可将log3.27的值0.5145加上表尾差之值（5145+11=5156）可得10g3.278的近似值0.5156。换你查查看：10g2.34,10g2.345。333028加演96431222221976521.11.154432,54210222222221刘1518087661,1111110109979101214157

3、8101113155891113146S911121467910121367910111367810V125-5日，矢口T.12S689W125669101J456027503337147oO1114995917268025792r422238673&5O51246-74444449293179O37o3J700-11173427850-4692579122221596-5887&4135793333361O284941245744+4442007397O-S50507795S9&9836752B14&6&42962722036924791357902457oo11.1122223333344

4、AI4430592924691222295-199344201357933333279序41060126936口ota11350200737091469122-22313335W38523a86399力235里444申43潮74B*466fi4qM49834第75(W150345030萨11也工.，A我1Mfrx：1rnr1-71r7J1Ji*31J1/525052635276528953025V6539154035416542687H998J9987999109414-76J731525ooO1I5858874047814681222284224GO9173568IItI3399576260

5、36T23445s581993239_ss15W25000(1162目电3&9&02gG408121572056S2B25136B122225437&8o2443334675683310289m102356聿444441455优2/5他的wiz.333S325279口将14oO1185513195038G36812Z-2243&6Q2事3国。O963717035812Z22So21683343-2184050135-4(444聿76-0799&3g391346m444为心2乡1004中1489023445551557950172*114386国0587035712222122100246833

6、33342911936MJ714oo11,14F557181701344555我们也可以由已知的对数值，反查真数的值。例如:10ga0.1959,a。logb0.3630,b。利用上页的常用对数表,只能查到1到10间小数不超过三位的数之对数值,至于小数超过三位的其他数（但J:10g3.2984）,便无法查得。止匕时我们可以利用线性的内插法来估算这些数的数值。线性内插法的原理是利用在平滑曲线上取足够小的一段时，取出的图形与线段很接近，再利用相似形对应边成比例的概念，去推算所需数值的近似值。而对数函数图形即为一平滑曲线，因此我们可以利用线图中ABC-ADE,因此AEDExx1yy1ACBCx2x1

7、y2y1yo当xi和x2很接近时，PEDE,因此可用y来估计y,也就是yy。将上次运算简化如下：xx1yyiy2yi性内插法求对数函数的近似值，观念如下:以凡3)一尸脸=p(a：力(卬而Tyfc(凡必)I1 IIII1 Ii9aqXiXXi真敷封紫值xiK=陶片xx1yy1xX=lo工X2xiy2yi马巴=loM内例题i(i)已知10g7.45=0.8722,log7.46=0.8727,求10g7.454之近似值.(2)已知10gx=0.4722,且10g2.96=0.47i3,log2.97=0.4728,求x之近似值.例题2已知10g8.360.9222,利用对数的性质求10g83600

8、及10g0.00836的值。由于常用对数表中只能查到i到i0间小数的对数值，若真数不在此范围内，便可仿照例题2的方法求其对数值，一般做法如下：求对数10gAA0的近似值时，都先将真数A化为Aai0n,其中iai0,而n是一个整数（正整数、零或负整数），当一个正数A表示成ai0n时，我们说这是A的科学记号表示法，例如：490000;0.000234;3.i4;当A的科学记号表示法是a10n时，Aa10n，其中1a10,n是整数，止匕时logAloga10nlogalog10nlogan其中log1logalog100loga1因此任意一个正数A的对数值10gA皆可写成一个整数n与一个小于1的非负

9、小数loga的和，即10gAnloga,我们称止匕整数n为10gA的“首数”，而loga为10gA的“尾数”。例如：logx13.5216,贝1logx的首数为,尾数为。logX23.5216,贝Ilogx的首数为,尾数为。例题3(1)已知10gx=4.7835,求10gx的首、尾数及x的近似值.(2)已知10gx=2.7073,求10gx的首、尾数及x的近似值.练习3已知10gx=3.2408,求10gx的首、尾数并利用对数表求x的近似值.Ans:首数=-4,尾数=0.7592,x5.74410例题4利用对数表求5/12340的近似值.现在我们来讨论正数A与其对数的首数及尾数的关系:首数正数

10、A的正数部分为n1位时，令Aa10n,1a10,n,n0,则logAnloga,0loga1得logA的首数为n举例：一一一一一一一5A6543216.5432110logA5log6.54321logA的首数为5正数A为一纯小数且自第n位开始不为0,令Aa10n,1a10,n,则10gAnloga,0loga1得logA的首数为n举例：一-4A0.0003213.21104logA4log3.21logA的首数为4尾数由尾数可判断出正数A的第一个不为0的数字举例：_.,-4logA4.3540.351og10loga0.3010log2logalog30.47712a3，一4一logAlog

11、10log2.A2.104例题5(1)299是几位数？最高位数字是多少？末位数字为何？(2)2999是几位数？(log2=0.3010)练习5320是几位数？(log3=0.4771)Ans:10位数例题6将(2)100以十进制小数表示时，在小数点后第几位才出现不是0的数3字？又此数字为何？(log2=0.3010,10g3=0.4771)练习6(0.9)1000在小数点后第几位才出现不是0的数字？Ans:第46位数例题7已知10g2=0.301,1og3=0.4771,试问2106+366为几位数？最高位数字为何？练习711已知10g2=0.301,1og3=0.4771,1og7=0.84

12、51.若将2十、表为小数时，则23小数点之后第8位才不是零.例题8活用园地题型一1设10VxQlogA的首数为3,若log2N尾数为10gA的尾数之两倍,则A=2000.5例题9活用园地题型三设Sn=1+3+(3)2+(3)n1，若limSn=S，则S=.555n(2)承上题，若|SnS|103,则n之最小值为.(1og2=0.301,1og3=0.4771)练习9无穷等比级数（1厂1之和为S,其前n项之和为Sn,则使S-Sn105的最n=12小自然数n之值=18.利息问题：单利计息：本利和=本金（1+期利率期数）每期的本金皆为一开始存入的金额，不因期数改变例：甲银行计息方式为年利率5%,每年

13、单利计息一次,若阿棋现存入10000元，则t年后可领回多少元？一年后：当次利息=100005%500;本利和=1000050010000100005%1000015%10500二年后：当次利息=100005%500;本利和=105005001000015%100005%1000015%211000三年后：当次利息=100005%500;本利和=110005001000015%2100005%1000015%311500t年后：当次利息=100005%500；本利和=1000015%t1100005%1000015%t?复利计息：本利和=本金（1+期利率产本期本金+利息=下期新本金例：甲银行计息方式为年利率5%,每年复利计息一次,若阿棋现存入10000元，则t年后可领回多少元？一年后：当次利息=100005%500;本利和=1000050010000100005%1000015%10500二年后：当次利息=105005%1000015%5%5