数字信号课件第4章

1、-1- 数字信号处理数字信号处理课程课程组组 电子与信息工程学院电子与信息工程学院数字信号处理及数字信号处理及DSP技术技术Digital Signal Processing and DSP Technology-2-第第4 4章章 数字滤波器的基本结构数字滤波器的基本结构 u4.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的结构特点与表示方法u4.2 IIR滤波器的结构滤波器的结构 u4.3 FIR滤波器的结构滤波器的结构 -3-4.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的结构特点与表示方法 数数字滤波实际上是一种运算过程字滤波实际上是一种运算过程，数字，数字滤波器一般可以用两种滤波器

2、一般可以用两种方法实现：方法实现：一种一种是用是用数字硬数字硬件构件构成专用的信号处理机；成专用的信号处理机；另一另一种种是是用用软件来实现数字滤波器软件来实现数字滤波器。数字滤波器是离散时间系统。数字滤波器是离散时间系统)()()(10inyainxbnyNiiMii(4-1) 则其系统函数，即滤波器的传递函数为则其系统函数，即滤波器的传递函数为 NiiiMiiizazbzH101)(4-2) -4-对对于同一个系统函数于同一个系统函数H(z)， 可可实现的算法有很多种，每一种算实现的算法有很多种，每一种算法对应于一种不同的运算结构（网络结构）。例如：法对应于一种不同的运算结构（网络结构）。

3、例如： 11112111211112122311)(zzzzzzzH (4-3) 不不同的运算结构同的运算结构，都，都可以用三种基本的运算单元：可以用三种基本的运算单元：乘法器、乘法器、加法器和单位延时器加法器和单位延时器来实现来实现。4.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的结构特点与表示方法 -5-图图 4-1 三种基本运算的流图三种基本运算的流图 z1x(n)x(n1 )x(n)aax(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)x(n)x(n1 )x(n)x2(n)x1(n)x1(n) x2(n)z1ax(n)a4.1 数字滤波器的结构特点与表示方法数字滤波器的结构特点与表示

4、方法 -6-4.2 IIR滤波器的结构滤波器的结构 4.2.1 直接型（直接型（型）型） 一个一个N阶的阶的IIR滤波器的输入输出关系可以用如式（滤波器的输入输出关系可以用如式（4-1）描）描述述。01( )()()MNiiiiy nb x nia y ni系统的输出系统的输出y(n)由两部分构成：由两部分构成：第一部分第一部分 是一是一M阶延时链结构，阶延时链结构，第第二部分二部分是一是一N阶延时链的反馈网络。取阶延时链的反馈网络。取M=N可得其结构图如图可得其结构图如图4-2。从图上可以看出，直接从图上可以看出，直接型结构需要型结构需要2N个延时器和个延时器和2N+1个乘法器。个乘法器。

5、-7-图图 4-2 直接直接型结构型结构 z1z1z1bN1bNb2b1b0 x(n)x(n1 )x(n2 )x(n N)z1z1z1aN1aNa2a1y(n)y(n1 )y(n2 )y(n N)4.2.1 直接型（直接型（型）型）-8-直直接接型结构又称为正准型结构型结构又称为正准型结构。直。直接接型系型系统函数统函数H(z)可看可看成是两个独立的系统函数的乘积成是两个独立的系统函数的乘积。0121( )( )( )1MiiiNiiib zH zH z Hza z4.2.2 直接直接型型式式中中 MiiizbzH01)(10( )()Miiy nb x ni211( )1NiiiHza z)

6、()()(11nyinyanyNii整个系统的差整个系统的差分方分方程程-9- 设设IIR数字滤波器是线性非时变系统数字滤波器是线性非时变系统，交，交换换H1(z)和和H2(z)级级联次序不会影响系统的传输效果，即联次序不会影响系统的传输效果，即 )()()()()(1221zHzHzHzHzH若若M=N时，其结构如图时，其结构如图4-3所示所示。 输入信号输入信号x(n)先经过反馈网络先经过反馈网络H2(z)，得到中间输出变量，得到中间输出变量 )()()(122nxinyanyNii然后，将然后，将y2(n)通过系统通过系统H1(z)，得到系统的输出，得到系统的输出y(n) )()(02i

7、nybnyMii4.2.2 直接直接型型-10-图图 4-3 直接直接型的变形结构型的变形结构 x(n)y(n)z1z1z1aN1aNa2a1z1z1z1bN1bNb2b1b0y2(n)y2(n1 )y2(n2 )y2(n N)4.2.2 直接直接型型-11-直直接接型结构型结构 x(n)y(n)z 1z 1z 1aN 1aNa2a1bN 1bNb2b1b0 可可以合并这两条延时链以合并这两条延时链，得到如图，得到如图4-4所示的直接所示的直接型结型结构。构。 比较图比较图4-2和图和图4-4可知可知: 直接直接型比直接型比直接型结构延时单元少，用硬型结构延时单元少，用硬件实现可以节省寄存器，

8、比直接件实现可以节省寄存器，比直接型经济；若用软件实现则可节省型经济；若用软件实现则可节省存储单元存储单元。系数对系统控制作用不明显，存在。系数对系统控制作用不明显，存在调整零、调整零、 极点极点困难。困难。 例例41用直接用直接型和直接型和直接型结构实现系统函数：型结构实现系统函数：21214 . 06 . 028 . 02 . 43)(zzzzzH解：解：分母首系数归一化后，可得分母首系数归一化后，可得 )2 . 03 . 0(14 . 01 . 25 . 12 . 03 . 014 . 01 . 25 . 1)(21212121zzzzzzzzzH直接直接型结构如图型结构如图4-5所示。

9、所示。-12-01( )1MiiiNiiib zH za z直接直接型结构型结构-14-把把H(z)的分子和的分子和分母进行分母进行因式分解，得到因式分解，得到多个因式连乘积的形式多个因式连乘积的形式 NiiMiiNiiiMiiizdzcAzazbzH111110)1 ()1 (1)(4-4) 式中：式中：A为常数，为常数，ci和和di分别表示分别表示H(z)的零点和极点的零点和极点。H(z)可表示可表示成多个实系数的二阶数字网络成多个实系数的二阶数字网络Hj(z)的连乘积的连乘积形式形式: 4.2.3 级联型级联型 KjjzHAzH1)()(-15-式中：式中： 2211221101)(zz

10、zzzHjjjjjj 若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数若每一个实系数的二阶数字网络的系统函数Hj(z)的网络结构均的网络结构均采用前面介绍的直接采用前面介绍的直接型结构，则可以得到型结构，则可以得到系统函数系统函数H(z)的级联型的级联型结构结构，如图，如图4-7所示。所示。 4.2.3 级联型级联型 x(n)y(n)z1z11121112101z1z11K2K1K2K0KA例例4-2 用级联型结构实现系统函数用级联型结构实现系统函数 31321215 . 05 . 222)(zzzzzzH解：解： 1231121311212112112222.50.5(1 0.5)(23)( )12(

11、1)(122)231 0.51221( )( )zzzzzzH zzzzzzzzzzzzH z Hz-16-17-把把直接型转换为级联型直接型转换为级联型就须就须将系统函数的分子、分母进行因式将系统函数的分子、分母进行因式分解。随着系统阶数的增大，因式分解的难度增加分解。随着系统阶数的增大，因式分解的难度增加，当，当阶数大于阶数大于3时时，必须，必须借助借助MATLAB语言编程计算。信号处理工具箱中提供了语言编程计算。信号处理工具箱中提供了函数函数tf2sos(transfer function to second-order-section)，该函数可以，该函数可以实现由系统函数转换为多个二

12、阶网络的级联型式。实现由系统函数转换为多个二阶网络的级联型式。 级联型网络结构的级联型网络结构的MATLAB实现实现二阶基本节二阶基本节-18-二阶网络为：二阶网络为： 2211221101)(zzzzzHiiiiiiki2 , 1最后得到的级联型形式：最后得到的级联型形式： )()()()(21zHzHzGHzHk级联型网络结构的级联型网络结构的MATLAB实现实现例例4.3 用用MATLAB编程实现例编程实现例4.2中的系统函数中的系统函数H(Z)的的级联型结级联型结构分解构分解。12311213112112112222.50.52(1 0.5)(1 1.50.5)( )12(1)(122

13、)(1 0.5)(23)(1)(122)zzzzzzH zzzzzzzzzzzz和例和例42计算结果相同。计算结果相同。 -19-20-把把传递函数传递函数H(z)展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波展开成部分分式之和的形式，就可以得到滤波器的器的并联型结构并联型结构。 当当N=M时，展开式为时，展开式为 NiiiiNzdAAzHzHzHAzH102101)()()()( 和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两和级联型结构的方法类似，将上式中的共轭复根部分两两合并得到实系数的二阶网络，则有合并得到实系数的二阶网络，则有 10101121112( )11EFiiiiiiiiAzH

14、 zAp zzz (4-6) 4.2.4 并联型并联型式中式中, N=E+2F。 -21- 由由上上式，式，滤波器可由滤波器可由E个一个一阶网络、阶网络、F个二阶网络和一个个二阶网络和一个常数支路并联构成常数支路并联构成，其，其结构如结构如图所图所示。示。 并联型结构也可以单独调并联型结构也可以单独调整极点位置，但对于零点的调整极点位置，但对于零点的调整却不如级联型方便，而且当整却不如级联型方便，而且当滤波器的阶数较高时，部分分滤波器的阶数较高时，部分分式展开比较麻烦。在运算误差式展开比较麻烦。在运算误差方面，由于各基本网络间的误方面，由于各基本网络间的误差互不影响差互不影响，没有，没有误差积

15、累，误差积累，因此比直接型和级联型误差稍因此比直接型和级联型误差稍小一点。小一点。 因为各个二阶基本节因为各个二阶基本节零极点并非整个系统的零极点零极点并非整个系统的零极点。4.2.4 并联型并联型x(n)11z121z101111Fz12Fz10F1Fz1A1A0p1y(n)例例4-4 用并联型结构实现系统函数用并联型结构实现系统函数 32321215 . 05 . 222)(zzzzzzH解：解： 123231121121112222.50.5( )12(1 0.5)(23)(1)(12)0.51.75 3.250.25112zzzH zzzzzzzzzzzzz -22-例题：例题： 假设

16、系统函数如下式，假设系统函数如下式， 画出它的并联型结构。画出它的并联型结构。)5 . 01)(5 . 01 ()264. 524. 14)(379. 02()(211211zzzzzzzH解解： 上式的分子分母是因式分解形式，上式的分子分母是因式分解形式， 再写成下式再写成下式:)5 . 01)(5 . 01 (620816)(21121zzzzzzH上式的第二项已是真分式，上式的第二项已是真分式， 可以进行因式分解。可以进行因式分解。 )5 . 01)(5 . 01 (6208)(211211zzzzzzH)5 . 0()5 . 0()5 . 0)(5 . 0(6208)(2221zzCB

17、zzAzzzzzzzH-24-8)5 . 0()(5 . 0 ,)( sRe5 . 011zzzzHzzHA)5 . 0()5 . 0(8)(21zzCBzzzzH再根据等式两边同次项系数必须相等的法则确定系数再根据等式两边同次项系数必须相等的法则确定系数B和和C， 得到得到B16， C20)5 . 01 (2016)5 . 01 (8)(21111zzzzzH最后得到最后得到)5 . 01 (2016)5 . 01 (816)(2111zzzzzH按照上式画出系统并联结构的流图如图按照上式画出系统并联结构的流图如图4.4.2所示。所示。 -26-4.3 FIR滤波器的结构滤波器的结构 4.3

18、.1 直直接接型型 设设FIR数字滤波器的单位脉冲响应数字滤波器的单位脉冲响应h(n)的长度为的长度为N，其传递函，其传递函数和差分方程分别为数和差分方程分别为: 10)()(NnnznhzH(4-7) 10)()()(Nmmnxmhny(4-8) z1x(n)h(0)h(1)z1h(2)h(N3 )z1h(N2 )z1h(N1 )y(n)图图 4-11 FIR的直接型结构的直接型结构 由于该结构利用输入信号由于该结构利用输入信号x(n)和滤波器单位脉冲响应和滤波器单位脉冲响应h(n)的线性卷的线性卷积来描述输出信号积来描述输出信号y(n)，所以，所以FIR滤波器的直接型结构又称为滤波器的直接

19、型结构又称为卷积卷积型结构型结构， 有时也称为有时也称为横截型结构横截型结构。 4.3.2 级联型级联型 当需要控制系统传输零点时，将传递函数当需要控制系统传输零点时，将传递函数H(z)分解成二阶实分解成二阶实系数因子的形式：系数因子的形式： 4.3 FIR滤波器的结构滤波器的结构 10122110)()()(NnMiiiinzazaaznhzH(4-9)x(n)y(n)z1z1a11a21a01z1z1a12a22a02z1z1a1Ma2Ma0M-27-MMM级联型结构级联型结构 直接型结构直接型结构-28-29- 由由频域采样定理可知，频域采样定理可知，对有限长序列对有限长序列h(n)的的

20、Z变换变换H(z)在单位在单位圆上做圆上做N点的等间隔采样，点的等间隔采样，N个频率采样值的离散傅里叶反变换所个频率采样值的离散傅里叶反变换所对应的时域信号对应的时域信号hN(n)是原序列是原序列h(n)以采样点数以采样点数N为周期进行周期延为周期进行周期延拓的结果，当拓的结果，当N大于等于原序列大于等于原序列h(n)长度长度M时时hN(n)=h(n)，不会发，不会发生信号失真，生信号失真，此时此时H(z)可以用频域采样序列可以用频域采样序列H(k)内插得到内插得到，内插内插公公式式如下：如下： 1011)(1)1 ()(NkkNNzWkHNzzH(4-10) 式中：式中： 2( )( ) 0

21、, 1, 2, ,1 jkNz eH kHkzN4.3.3 频率采频率采样样型型-30-式式(4-10)为实现为实现FIR系统提供了另一种结构。系统提供了另一种结构。H(z)也可以重写为也可以重写为 10)()(1)(NkkczHzHNzH(4-11) 式中：式中： 11)()(1)(zWkHzHzzHkNkNc显然，显然，H(z)的第一部分的第一部分Hc(z)是一个由是一个由N阶延时单元组成的梳状阶延时单元组成的梳状滤波器，如图滤波器，如图4-9所示。它在单位圆上有所示。它在单位圆上有N个等间隔的零点个等间隔的零点 2 0, 12, ,1jiiNiNizNeW，4.3.3 频率采频率采样样型

22、型-31-图图 4-15 梳状滤波器梳状滤波器 x(n)yc(n) z No|Hc(e j)|2 / N4.3.3 频率采频率采样样型型kNjkNkeWH2因此，因此，H(z)的第二部分是一个有的第二部分是一个有N个极点的谐振网络。个极点的谐振网络。这些极点正这些极点正好与第一部分梳状滤波器的好与第一部分梳状滤波器的N个零点相抵消，从而使个零点相抵消，从而使H(z)在这些频在这些频率上的响应等于率上的响应等于H(k)。把这两部分级联起来就可以。把这两部分级联起来就可以构成构成FIR滤波器滤波器的频率采样型结构，如图的频率采样型结构，如图4-16所示。所示。 第二部分第二部分是由是由N个一阶网络

23、个一阶网络 组成的并联结构，每个一组成的并联结构，每个一阶网络在单位圆上有一个极点阶网络在单位圆上有一个极点 )(zHk-32-图图 4-16 FIR滤波器的频率采样型结构滤波器的频率采样型结构 z1z1H(0)H(1)y(n)1 / Nz1H(N1) z Nx(n)0NW1 NW1 NNW -33- FIR滤波器的频率采样型结构的主要优点：滤波器的频率采样型结构的主要优点：首先，首先，它的系数它的系数H(k)直接就是滤波器在直接就是滤波器在=2k/N 处的响应值，因此可以直接控制滤处的响应值，因此可以直接控制滤波器的响应；波器的响应；此外，此外，只要滤波器的只要滤波器的N阶数相同，对于任何频

24、响形状，阶数相同，对于任何频响形状，其梳状滤波器部分的结构完全相同，其梳状滤波器部分的结构完全相同，N个一阶网络部分的结构也完个一阶网络部分的结构也完全相同，只是各支路的增益全相同，只是各支路的增益H(k)不同，因此频率采样型结构便于标不同，因此频率采样型结构便于标准化、模块化。准化、模块化。但是该结构也有两个缺点：但是该结构也有两个缺点： （1）该滤波器所有的系数）该滤波器所有的系数H(k)和和WN-k一般为复数，复数相乘运一般为复数，复数相乘运算实现起来较麻烦。算实现起来较麻烦。 （2）系统稳定是靠位于单位圆上的）系统稳定是靠位于单位圆上的N个零极点对消来保证的，个零极点对消来保证的，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外，如果滤波器的系数稍有误差，极点就可能移到单位圆外， 造成零极造成零极点不能完全对消，影响系统的稳定性。点不能完全对消，影响系统的稳定性。 4.3.3 频率采频率采样样型型作业：作业：1 设数字滤波器的差分方程为设数字滤波器的差分方程为)2(41) 1(31) 1()()(nynynxnxny试画出系统的直接型结构试画出系统的直接型结构。 解解： 由差分方程得到滤波器的系统函数为由差分方程得到滤波器的系统函数为211413111)(zzzzH画出其直接型结构如题画出