正态总体的均值和方差的假设检验

1、一、单个总体参数一、单个总体参数的检验的检验二、两个总体参数的检验二、两个总体参数的检验三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验(t 检验检验)四、内容小结四、内容小结正态总体均值与正态总体均值与方差的假设检验方差的假设检验第七章第二节一、单个总体一、单个总体 均值均值 的检验的检验),(2 N)( ,. 12检检验验法法的的检检验验关关于于为为已已知知U ),( 2 N体体在上节中讨论过正态总在上节中讨论过正态总: ,02的检验问题的检验问题关于关于为已知时为已知时当当 ; : , : 10100 HH假假设设 2 取检验统计量取检验统计量),1 , 0(/0NnXU )(0为为真真时时

2、当当H3 给定显著水平给定显著水平 ( 0 0.05) 2uUP.21)(22 uu，查查表表可可得得由由 拒绝域：拒绝域：),(,),(212112nnxxxUuuuxxxW 其其中中 21 uuuW ,4uU的值的值由样本值算出由样本值算出;01HWu，则拒绝，则拒绝若若 .01HWu，则接受，则接受若若 某切割机在正常工作时某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的切割每段金属棒的平均长度为平均长度为10.5cm, 标准差是标准差是0.15cm, 今从一批产今从一批产品中随机的抽取品中随机的抽取15段进行测量段进行测量, 其结果如下其结果如下:7 .102 .107 .105 .108 .

3、106 .109 .102 .103 .103 .105 .104 .101 .106 .104 .10假定切割的长度服从正态分布假定切割的长度服从正态分布, 且标准差没有变且标准差没有变化化, 试问该机工作是否正常试问该机工作是否正常?)05. 0( 解解 0.15, , ),( 2 NX因因为为 , 5 .10:, 5 .10: 110 HH假假设设例例1 2 取检验统计量取检验统计量nXU/0 )(0为为真真时时当当H3 给定显著水平给定显著水平 =0.05,025. 02 ，即即由由21)(2 u，975. 0)(025. 0 u查表得查表得,96. 1025. 0 u拒绝域：拒绝域：

4、96. 11 uuW),1 , 0( N 15/15. 05 .1048.10/ 0 nxu 则则,516. 0 1.96,0.516025. 0 uu于于是是 . , 0认为该机工作正常认为该机工作正常故接受故接受 H,15 n,48.10 x,05. 0 4 作判断作判断96. 11 uuWu)( ,. 22检检验验的的检检验验关关于于为为未未知知t . , , ),(22 显著性水平为显著性水平为未知未知其中其中设总体设总体NX ; : , : 10100 HH假假设设2 取检验统计量取检验统计量nSXTn/0 )(0为为真真时时当当H),1( nt3 给定显著水平给定显著水平 ( 0

5、0.05)， )1(2ntTP).1(2 nt 查查表表可可得得拒绝域：拒绝域：)1(21 ntttW ,4tT的的值值由由样样本本值值算算出出;01HWt，则则拒拒绝绝若若 .01HWt，则接受，则接受若若 ),(21nxxxTt 例例2 如果在例如果在例1 1中只中只假定切割的长度服从正态分假定切割的长度服从正态分布布, 问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变问该机切割的金属棒的平均长度有无显著变化化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均为为未未知知依依题题意意 NX , 5 .10:, 5 .10: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,.*2

6、370 ns 15/237. 05 .1048.10/*0 nsxtn ,327. 0 查表得查表得)14()1(025. 02/tnt 1448. 2 ,327. 0 t . , 0无无显显著著变变化化认认为为金金属属棒棒的的平平均均长长度度故故接接受受 Ht t分布表分布表 , , ),( 22均均为为未未知知设设总总体体 NX , ,21的样本的样本为来自总体为来自总体 XXXXn)( ,. 322检检验验的的检检验验关关于于为为未未知知 : 10H假假设设2 取检验统计量取检验统计量2022)1( nSn)(0为为真真时时当当H)1(2 n , : , 2021202 H . 0为为已

7、已知知常常数数其其中中 202 nnS或或 3 给定显著水平给定显著水平 ( 0 0.05) 1(22 n ) 1(212 n )(2xpy Oxy2 2 查表得临界值：查表得临界值：) 1(212 n ，) 1(22 n ，2)1()1(2221222 nPnP拒绝域：拒绝域：，)1()1(2222122122 nnW ,4202 的值的值由样本值算出由样本值算出;0120HW ，则则拒拒绝绝若若 .0120HW ，则则接接受受若若 拒绝域：拒绝域：，) 1() 1(2222122122 nnW 2022)1( nSn)02. 0( 解解 ,5000:,5000: 2120 HH要检验假设要

8、检验假设,26 n,02. 0 ,500020 ,314.44)25()1(201. 022/ n 某厂生产的某种型号的电池某厂生产的某种型号的电池, 其寿命长期以其寿命长期以来服从方差来服从方差 =5000 (小时小时2) 的正态分布的正态分布, 现有一现有一批这种电池批这种电池, 从它生产情况来看从它生产情况来看, 寿命的波动性有寿命的波动性有所变化所变化. 现随机的取现随机的取26只电池只电池, 测出其寿命的样本测出其寿命的样本方差方差 =9200(小时小时2). 问根据这一数据能否推断问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的

9、变化?2 2*ns例例3,524.11)25()1(299. 022/1 n )( * 2021nsn,524.11拒绝域为拒绝域为: )( * 2021nsn或. 4.3144 46)( * 50009200251202nsn因为 , 4.3144 , 0H所以拒绝所以拒绝 认为这批电池的寿命的波动性较以往的有认为这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化显著的变化.例例4 (续例续例1)如果只假设切割长度服从正态分布如果只假设切割长度服从正态分布, 问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化问该机切割的金属棒长度的标准差有无显著变化?)05. 0( 解解 , , ),( 22均均为为未未知

10、知因因为为总总体体 NX ,15. 0:,15. 0: 10 HH要要检检验验假假设设,15 n,48.10 x,05. 0 ,0225. 0:,0225. 0: 2120 HH即即,.*05602 ns )( *2021nsn 因为 ,844. 430225. 0056. 014 查表得查表得,629. 5)14()1(2975. 022/1 n,119.26)14()1(2025. 022/ n022500560141202.)( * nsn于是 , 0H所以拒绝所以拒绝认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化认为该机切割的金属棒长度的标准差有显著变化. ,119.26844. 43 例

11、例5 某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分某厂生产的铜丝的折断力指标服从正态分布布, 现随机抽取现随机抽取9根根, 检查其折断力检查其折断力, 测得数据如下测得数据如下(单位单位:千克千克): 289, 268, 285, 284, 286, 285, 286, 298, 292. 问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方问是否可相信该厂生产的铜丝的折断力的方差为差为20?解解 ,20:,20: 2120 HH按按题题意意要要检检验验, 9 n,89.287 x,.*36202 ns查表得查表得)05. 0( ,18. 2)8(2975. 0 , 5 .17)8(2025. 0 ,.)( *14

12、820362081202 nsn于是 , 5 .1714. 818. 2 , 0H故接受故接受认为该厂生产铜丝的折断力的方差为认为该厂生产铜丝的折断力的方差为20.二、两个总体二、两个总体 的情况的情况),(),(222211 NN1.已知已知(一一) 总体均值的检验总体均值的检验),(211 NX设设总总体体),(222 NY,独立独立与与YX,),(121XXXXn来来自自总总体体样样本本.),(121YYYYn来来自自总总体体样样本本2221, (用用U检验法检验法) , : , : 211210 HH1 假设假设:222121/ )(2nnYXU 取检验的统计量为取检验的统计量为)(0

13、成成立立时时当当H)1 , 0( N .3 取显著性水平为取显著性水平为 2uUP.21)(22 uu，查查表表可可得得由由 拒绝域：拒绝域：21 uuuW )/ )(222121nnyxu ,4uU的值的值由样本值算出由样本值算出;01HWu，则拒绝，则拒绝若若 .01HWu，则接受，则接受若若 2631232827:2421262724:)(,5,BAmgBABA分分别别为为：单单位位测测得得尼尼古古丁丁的的含含量量例例进进行行化化验验量量相相同同的的中中各各随随机机抽抽取取重重从从尼尼古古丁丁的的含含量量是是否否相相同同化化验验两两种种烟烟草草卷卷烟烟厂厂向向化化验验室室送送去去例例4?

14、,05. 0, 8, 5,有有显显著著差差异异量量是是否否问问两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含取取为为种种的的方方差差种种的的方方差差为为且且相相互互独独立立分分布布均均服服从从正正态态两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量据据经经验验知知 BA,两两种种烟烟草草的的尼尼古古丁丁含含量量分分别别表表示示和和以以BAYX.,(),()独独立立且且则则YXNYNX222211解解222121/ )(2nnYXU 取检验的统计量为取检验的统计量为)(0成成立立时时当当H)1 , 0( N ,05. 03 给定给定96. 1,975. 0)(025. 0025. 02 uuu 查查表表可可得得由

15、由21121:,:1HH假设拒绝域：拒绝域：96. 121 uuuW作判断作判断4. 5, 8, 5212221 nn 依题设，有依题设，有27, 4 .24 yx6121585527424222121./ )(nnyxu由所给数据求得由所给数据求得.,96. 1612. 1|0Hu接接受受原原假假设设 (用用t检验法检验法) . ,2222221未未知知但但 . , : , : 211210 HH1 假设假设:取检验的统计量为取检验的统计量为2)(0成成立立时时当当H)2(21 nnt2111)(nnSYXTw .2)1()1( 21*22*1122221 nnSnSnSnnw其其中中3 给

16、定显著水平给定显著水平 ( 0 0.05)， )2(212nntTP).2(212 nnt 查查表表可可得得拒绝域：拒绝域：)2(2112 nntttW ,4tT的的值值由由样样本本值值算算出出;01HWt，则则拒拒绝绝若若 .01HWt，则接受，则接受若若 (二二) 总体方差的检验总体方差的检验 (F检验法检验法) , : , : 2221122210 HH1 假设假设:取检验的统计量为取检验的统计量为2)(0成成立立时时当当H)1, 1(21 nnF2122212221 nnSSF222121 nnSS3 给定显著水平给定显著水平 ( 0 0.05)查表得临界值：查表得临界值：).1, 1

17、() 1, 1(2112122 nnFnnF ，) 1, 1(212 nnF ) 1, 1(2112 nnF )(xpyF O xy2 2 ，2) 1, 1() 1, 1(2121122 nnFFPnnFFP拒绝域：拒绝域：，) 1, 1() 1, 1(21211122 nnFffnnFffW ,.4fF的值的值由样本值算出由样本值算出作判断作判断;01HWt，则则拒拒绝绝若若 .01HWf，则则接接受受若若 次次试试验验，得得数数据据如如下下：下下，分分别别重重复复作作了了与与列列强强力力的的影影响响，在在为为了了考考察察温温度度对对材材料料断断相相互互独独立立，与与单单位位：公公斤斤强强力

18、力下下某某种种材材料料的的断断裂裂与与分分别别表表示示，设设88070),(),(),(8070222211CCNYNXYXCCYX 例例5试试问问：方方差差的的样样本本均均值值与与修修正正样样本本分分别别表表示示总总体体，方方差差的的样样本本均均值值与与修修正正样样本本分分别别表表示示总总体体，其其中中：,;,780. 5, 4 .19:80;720. 6, 4 .207022222121YsyXsxsyCsxC ?)05. 0(8070 差差异异力力有有无无明明显显下下，这这种种材材料料的的断断裂裂强强与与在在CC)99. 4)7 , 7(,226. 2)14(,96. 1(025. 00

19、25. 0025. 0 Ftu解解(1) F 检验检验,1222101 ：检检验验假假设设 H22211 ：H22212 SSF取取统统计计量量)7 , 7( F,05. 03 给给定定99. 4)7 , 7()7 , 7(025. 02 FF 20. 099. 41)7 , 7(1)7 , 7(025. 021 FF )7 , 7(975. 0F99. 4)7 , 7(20. 0)7 , 7(025. 0975. 0 FFFFFW或或拒拒绝绝域域：:4fF的的观观察察值值由由样样本本值值计计算算2211 ssf07. 1780. 5720. 6 检检验验：5,99. 420. 0 fWf ,

20、222101 ：接接受受假假设设 H(2) t 检验检验,12102 ：检检验验假假设设 H212 ：H56772221 SSYX)14()2(21tnnt 2111)(nnSYXTw .2)1()1( 21*22*11222 nnSnSnSw其中其中)8(21 nn取取统统计计量量2,05. 03 给给定定,226. 2)14() 2(025. 0212 tnnt 226. 2)14(2 tTTW拒拒绝绝域域：:4tT的的观观察察值值由由样样本本值值计计算算22567722222121 ssyxssyxt1602. 2 检检验验：5,226. 2)14(1602. 2025. 0 tt,02

21、H接接受受假假设设).05. 0(8070 无无明明显显差差异异力力下下，这这种种材材料料的的断断裂裂强强与与即即在在CC例例6 分别用两个不同的计算机系统检索分别用两个不同的计算机系统检索10个资料个资料, 测得平均检索时间及方差测得平均检索时间及方差(单位单位:秒秒)如下如下:解解,21. 1,67. 2,179. 3,097. 322 yxssyx假定假定检索时间服从正态分布检索时间服从正态分布, 问这两系统检索资问这两系统检索资料有无明显差别料有无明显差别? 根据题中条件根据题中条件, 首先应首先应检验方差的齐性检验方差的齐性.:,: 221220yxyxHH 假设假设,03. 4)9

22、, 9(025. 0 F,248. 0)9, 9(975. 0 F, 22 yxSSF取取统统计计量量,12. 221. 167. 2 f)05. 0( ,03. 412. 2248. 0 f , 0H故接受故接受.22yx 认为认为 , yx 再再验验证证.:,: 10yxyxHH 假假设设,11 21nnSYXTw 取统计量取统计量.)()( *211212222112 nnSnSnSw其其中中 ,0为真时为真时当当H).2(21 nntT,101 n,102 n,101. 2)18(05. 0 t2111nnsyxtw 因为因为10218)21. 167. 2(10179. 2097.

23、3 436. 1 ,101. 2 , 0H故接受故接受认为两系统检索资料时间无明显差别认为两系统检索资料时间无明显差别.三、基于成对数据的检验三、基于成对数据的检验( (t检验检验) ) 有时为了比较两种产品有时为了比较两种产品, 或两种仪器或两种仪器, 两种方两种方法等的差异法等的差异, 我们常在相同的条件下作对比试验我们常在相同的条件下作对比试验, 得到一批成对的观察值得到一批成对的观察值. 然后分析观察数据作出然后分析观察数据作出推断推断. 这种方法常称为这种方法常称为逐对比较法逐对比较法.例例1 有两台光谱仪有两台光谱仪Ix , Iy ,用来测量材料中某种用来测量材料中某种金属的含量金

24、属的含量, 为鉴定它们的测量结果有无显著差为鉴定它们的测量结果有无显著差异异, 制备了制备了9件试块件试块(它们的成分、金属含量、均它们的成分、金属含量、均匀性等各不相同匀性等各不相同), 现在分别用这两台机器对每一现在分别用这两台机器对每一试块测量一次试块测量一次, 得到得到9对观察值如下对观察值如下: 11. 013. 012. 011. 018. 018. 012. 009. 010. 0%89. 077. 068. 059. 078. 032. 052. 021. 010. 0%00. 190. 080. 070. 060. 050. 040. 030. 020. 0% yxdyx问能

25、否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异问能否认为这两台仪器的测量结果有显著的差异?解解 本题中的数据是成对的本题中的数据是成对的, 即对同一试块测出即对同一试块测出一对数据一对数据, 我们看到一对与另一对之间的差异是我们看到一对与另一对之间的差异是由各种因素由各种因素, 如材料成分、金属含量、均匀性等如材料成分、金属含量、均匀性等因素引起的因素引起的. 这也表明不能将光谱仪这也表明不能将光谱仪Ix 对对9个试个试块的测量结果块的测量结果(即表中第一行即表中第一行)看成是一个样本看成是一个样本, 同样也不能将表中第二行看成一个样本同样也不能将表中第二行看成一个样本, 因此不因此不能用表能用表7.

26、3中第中第4栏的检验法作检验栏的检验法作检验.)01. 0( 而同一对中两个数据的差异则可看成是仅而同一对中两个数据的差异则可看成是仅由这两台仪器性能的差异所引起的由这两台仪器性能的差异所引起的. 这样这样, 局限局限于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因于各对中两个数据来比较就能排除种种其他因素素, 而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响而只考虑单独由仪器的性能所产生的影响.表中第三行表示各对数据的差表中第三行表示各对数据的差iiiyxd ),( , 221 dnNddd来来自自正正态态总总体体设设 ., 2均为未知均为未知这里这里 d若两台机器的性能一样若两台机器的性能一样, , 21属属

27、随随机机误误差差则则各各对对数数据据的的差差异异nddd随机误差可以认为服从正态分布随机误差可以认为服从正态分布, 其均值为零其均值为零. 0. : 0, : 10 ddHH 要要检检验验假假设设, , , *221nnsdddd修修正正样样本本方方差差的的样样本本均均值值设设按表按表7.3中第二栏中关于单个正态分布均值的中第二栏中关于单个正态分布均值的t检验检验, 知拒绝域为知拒绝域为 , )(/ /*102 ntnsdtn , 9 n由由,3554. 3)8()8(005. 02/ tt,06. 0 d,.*12270 ns467. 1 t可知可知,3554. 3 , 0H所以接受所以接受

28、认为这两台仪器的测量结果无显著的差异认为这两台仪器的测量结果无显著的差异. 四、内容小结四、内容小结本节学习的正态总体均值的假设检验有本节学习的正态总体均值的假设检验有:;.检验的检验单个总体均值U 1; .2检验检验的检验的检验两个总体均值差两个总体均值差t 13;.检验检验基于成对数据的检验基于成对数据的检验t5正态总体均值、方差的检验法见下表正态总体均值、方差的检验法见下表 ) ( 显著性水平为显著性水平为 ; .2检检验验法法验验法法单单个个正正态态总总体体方方差差的的检检 2 ; .检检验验法法验验法法两两个个正正态态总总体体方方差差的的检检F4 4)(未未知知22221212121

29、 000)()()(/1222122121 nnttnnttnntt 2211121222211221 nnSnSnSnnSYXtww*)()( 0H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(已已知知2000 )(未未知知2000 ),(已已知知2221212121 nXU/0 nSXtn/*0 222121nnYXU 000 000 0002/uuuuuu )()()(/1112 nttnttntt 2/ uuuuuu 32 170H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域),(未知未知21222122212221 )(成对数据成对数据000 DDD nSDtD/0 000 DDD )()()(/11

30、12 nttnttntt )( 未知未知 202202202 20221 *)(nSn 2221*SSF 202202202 222122212221 )()()()(/1111221222221222 nnnn 或或),(),(),(),(/11111111212121221121 nnFFnnFFnnFFnnFF 或或65附表7.1 40H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(2000已知)(2000未知),(2221212121已知nXZ/0nSXt/0222121nnYXZ0000000002/zzzzzz) 1() 1() 1(2/nttnttntt2/zzzzzz)(2222121

31、2121未知000) 1()2()2(212/2121nnttnnttnntt2)2() 1(1121222211221nnSnSnSnnSYXtww)2(21 nntt 321附表附表7-20H原假设检验统计量1H备择假设拒绝域)(202202202未知),(21222122212221未知)(000成对数据DDD2022) 1(Sn2221SSF nSDtD/0202202202222122212221000DDD) 1() 1() 1() 1(22/1222/221222nnnn或) 1, 1() 1, 1() 1, 1() 1, 1(212/1212/21121nnFFnnFFnnFF

32、nnFF或) 1() 1() 1(2/nttnttntt)1, 1( )1, 1(212/1212/ nnFFnnFF 或或567第五章第五章3定理定理5.85.8的推论的推论1 1).(/,),(,*12221 ntnSX ,SX,NXXXnnn则有样本方差分别是样本均值和修正的样本是总体设则则有有差差分分别别是是这这两两个个样样本本的的方方, (2);,(/(1)*时当22221212221222111 nnFSS.,)()(),()()(*2212222112212121211211wwwwSSnnSnSnSnntnnSYX 其中t分布表分布表a )()(ntntP =0.250.100

33、.050.0250.010.005123456789101112131415161.00000.81650.76490.74070.72670.71760.71110.70640.70270.69980.69740.69550.69380.69240.69120.69013.07771.88561.63771.53321.47591.43981.41491.39681.38301.37221.36341.35621.35021.34501.34061.33686.31382.92002.35342.13182.01501.94321.89461.85951.83311.81251.79591.

34、78231.77091.76131.75311.745912.7062 4.3027 3.1824 2.7764 2.5706 2.4469 2.3646 2.3060 2.2622 2.2281 2.2010 2.1788 2.1604 2.1448 2.1315 2.119931.8207 6.9646 4.5407 3.7469 3.3649 3.1427 2.9980 2.8965 2.8214 2.7638 2.7181 2.6810 2.6503 2.6245 2.6025 2.583563.6574 9.9248 5.8409 4.6041 4.0322 3.7074 3.499

35、5 3.3554 3.2498 3.1693 3.1058 3.0545 3.0123 2.9768 2.9467 2.9208n2.1448例例2 有甲有甲、乙两台机床加工相同的产品乙两台机床加工相同的产品, 从这两台从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干件机床加工的产品中随机地抽取若干件, 测得产品直测得产品直径径(单位单位:mm)为为机床甲机床甲: 20.5, 19.8, 19.7, 20.4, 20.1, 20.0, 19.0, 19.9机床乙机床乙: 19.7, 20.8, 20.5, 19.8, 19.4, 20.6, 19.2, 试比较甲试比较甲、乙两台机床加工的产品直径有无显著乙两台机床加工的产品直径有无显著差异差异? 假定假定两台机床加工的产品直径都服从正态两台机床加工的产品直径都服从正态分布分布, 且总体方差相等且总体方