工程力学课件10弯曲内力

1、12101 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图102 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩103 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图104 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用105 平面刚架和曲杆的内力图* 第十章第十章 弯曲内力弯曲内力 3 101 平面弯曲的概念及梁的计算简图平面弯曲的概念及梁的计算简图一、弯曲的概念一、弯曲的概念1. 弯曲弯曲: : 杆受垂直于轴线的横向外力或纵向平面内外力偶矩杆受垂直于轴线的横向外力或纵向平面内外力偶矩矢的作用时矢的作用时, ,轴线变成了曲线，这种变形称为弯曲。轴线变

2、成了曲线，这种变形称为弯曲。2. 梁：梁： 4纵向对称面纵向对称面MF1F2q纵向对称轴纵向对称轴轴线轴线3. 3. 平面弯曲（对称弯曲）：平面弯曲（对称弯曲）： 外力作用在纵向对称面内且垂直于轴线，梁发生弯曲变外力作用在纵向对称面内且垂直于轴线，梁发生弯曲变形后，轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线。形后，轴线成为纵向对称面内的一条平面曲线。 若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并若梁不具有纵对称面，或者，梁虽具有纵对称面但外力并不作用在对称面内，这种弯曲则统称为不作用在对称面内，这种弯曲则统称为非对称弯曲非对称弯曲。5纵向对称面纵向对称面MF1F2q力学模型力学模型: :构件特征

3、构件特征： 等截面直杆（等直梁）。等截面直杆（等直梁）。受力特点受力特点： 外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。外力或外力偶矩矢垂直于梁的轴线。变形特点变形特点: : 轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。轴线变成了纵向对称面内的平面曲线。 横截面发生了相对转动。横截面发生了相对转动。64. 4. 工程实例工程实例7弯曲变形工程实例弯曲变形工程实例8二、梁的计算简图二、梁的计算简图 梁的支承条件与载荷情况一般都比较复杂，为了便于分析计算，应进行必要的简化，抽象出计算简图。1. 构件本身的简化构件本身的简化 通常取梁的轴线来代替梁。2. 载荷简化载荷简化 作用于梁上的载荷（包括支座反力）可简化为三种类型

4、：集中力、集中力偶和分布载荷。3. 支座简化支座简化9固定铰支座固定铰支座 2个约束，1个自由度。如：桥梁下的固定支座，止推滚珠轴承等。可动铰支座可动铰支座 1个约束，2个自由度。如：桥梁下的辊轴支座，滚珠轴承等。FAxFAyFA10固定端固定端 3个约束，0个自由度。如：游泳池的跳水板支座，木桩下端的支座等。FAxFAyMA4. 梁的三种基本形式梁的三种基本形式简支梁简支梁M 集中力偶集中力偶q(x) 分布力分布力悬臂梁11外伸梁外伸梁 集中力集中力Fq 均布力均布力5. 静定梁与超静定梁静定梁与超静定梁静定梁：静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本 形式的静定梁。超静定梁：超静定

5、梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全 部支反力。12 例例11贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t =10mm， 钢的密度为： 7.8g/cm，液体的密度为：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端长 1m，试求贮液罐的计算简图。解：解：q 均布力均布力13LgLAgLALgVLmgq2211rad855131060.gRRgD2221)sin(21gAgA2211kN/m.).(. .q98910003106sin8551502150143897800010114322 q 均布力均布力14102 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩 一、弯曲内力：一、弯曲内力：举例举例已知：如图

6、，已知：如图，F，a，l。 求：距求：距A端端x处截面上内力。处截面上内力。FaFlFAyFAxFBAABB解：求约束反力解：求约束反力0 , 0 AxxFFlFaFMBA , 0lalFFFAyy)( , 0 15ABFFAyFAxFBmmx求内力求内力截面法截面法xFMMlalFFFFAyCAyy , 0)( , 0SAFAyMFBFMFS 弯曲构件内力弯曲构件内力剪力剪力弯矩弯矩1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上其作构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩。用面垂直于截面的内力偶矩。CCFS162. 剪力：剪力： FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。构件受

7、弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力。3. .内力的正负规定内力的正负规定: :剪力剪力FS : : 绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。绕研究对象顺时针转为正剪力；反之为负。弯矩弯矩M：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。：使梁变成凹形的为正弯矩；使梁变成凸形的为负弯矩。FS(+)FS()FS()FS(+)M(+)M(+)M()M()17 例例2：求图求图（a）所）所示梁示梁1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。xyqLFFqLFSy S11 0解：解：截面法求内力。截面法求内力。 1 1-1 1截面处截取的分离体截面处截取的分离体 如图（如图（b b）示。示。图（a）q

8、LxMMqLxFMiA 11 0)(二、例题二、例题qqLab1122qLFS1AM1图（图（b）x18)(2Laxq FS axqMqLxFMiB0)(21, 0)(22 2-2截面处截取的分离体如图（截面处截取的分离体如图（c） axqFqLFSy0)(2 qLxaxqM 22)(21xy图（a）qqLab1122qLFS2BM2x图（c）19三、内力的直接求法：三、内力的直接求法： 求任意截面求任意截面 A上的内力时，以上的内力时，以 A 点左侧部分为研究对象点左侧部分为研究对象，内力计算式如下。，内力计算式如下。 jiSAFFF )( )(jAiAAFMFMM其中Fi 、 Fj 均为

9、A 点左侧的所有向上、向下的外力。20 bamFbamFBA bamFFASC bamFFASD FAFBbamaaFMAC babmmaFMAD 211. 1. 内力方程内力方程：内力与截面位置坐标（：内力与截面位置坐标（x）间的函数关系式。）间的函数关系式。2. 2. 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图：)(xFS FS 剪力方程剪力方程)(xMM 弯矩方程弯矩方程)(xFSFS 剪力图剪力图的图线表示的图线表示)(xMM 弯矩图弯矩图的图线表示的图线表示103 剪力方程和弯矩方程剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图223. 3. 作剪力图和弯矩图的步骤：作剪力图和弯矩图的步骤：u

10、用静力平衡方程求约束反力。用静力平衡方程求约束反力。u 建立坐标系，分段列剪力方程和弯矩方程。建立坐标系，分段列剪力方程和弯矩方程。u 根据方程作剪力图和弯矩图。根据方程作剪力图和弯矩图。u 写出最大剪力和最大弯矩。写出最大剪力和最大弯矩。aBACF aFBFDaFA（O）x23例例4 列剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图。列剪力方程、弯矩方程，作剪力图、弯矩图。解：解：(1)求反力：求反力：aBCP a 3/ 3PFPFBA a)xa(P/a)x(aP/a)x(P/(x)FS32323203(2)列列FS 、M方程：方程：332maxmaxPa/M P/FS FB(3)作作FS 、M 图：

11、图：(4)求求FS 、M 最大值：最大值：P/32P/3Pa/3MxFSxPDa )32(3/ )3()2(3/2)0(3/)(axaxaPaxaPxPaaxPxxMP/3Pa/3FA（O）xM(x)xFS(x)24 例例5 5 求下列各图示梁的内力方程并画出内力图。PFxFOyS )(解：求支反力)( )(LxPMxFxMOOy 写出内力方程PL MPFOOy ; PFOyL根据方程画内力图FS(x)M(x)xxPPLMO25解：写出内力方程根据方程画内力图qxxFS )(221)(qxxM LqM(x)xFS(x)FS(x)xM(x)x qL22qL26)3(6)(220 xLLqxFS

12、解：求支反力解：求支反力内力方程内力方程3 ; 600Lq FLqFBA q0根据方程画内力图根据方程画内力图L)(6)(220 xLLxqxM L33FS(x)x620Lq320Lqx27320LqM(x)FAFB273 0)(3320maxLqMxFLxS 27一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系对对dx 段进行平衡分析，有段进行平衡分析，有：0 yF)(dd)(SxFxxq 104 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系及应用dxxq(x)q(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy xqx

13、xF ddS剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。 0)(d)(d)()( xFxFxxqxFSSS28()0 AiMF )(d)(dxFxxMS 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。)(d)(d22xqxxMq(x)M(x)+d M(x)FS(x)+dFS(x)FS(x)M(x)dxAy弯矩与荷载集度的关系是：弯矩与荷载集度的关系是：0)(d)()()(d(21)d(2S xMxMxMxxqxxF29二、剪力、弯矩与外力间的关系二、剪力、弯矩与外力间的关系外力外力无外力段均布

14、载荷段集中力集中力偶q=0q0q0FSFS 0 x斜直线增函数增函数xFSxFS降函数降函数xFSCFS1FS2FS1FS2=F自左向右突变xFSC无变化斜直线xM增函数xM降函数抛物线xM凹形xM凸形自左向右折角自左向右突变xM拐点 MxM2M1MMM 2130简易作图法简易作图法: : 利用内力和外力的关系及特殊点的内力值来作 图的方法。 例例11 用简易作图法画下列图示各梁的内力图。aaqaqA求约束反力求约束反力分段并判断分段并判断各段的形状各段的形状特殊点特殊点的内力的内力作图作图31aaqaqAA：M 的驻点的驻点：FSx223qaqa2qaxM0223qa解：解：(1)求反力：求

15、反力：(2)判断判断FS 、M 图形状：图形状：(3)作作FS 、M 图：（从左至右）图：（从左至右）(4)求求FS 、M 最大值：最大值： BCBAACFS水平线水平线斜直线斜直线M斜直线斜直线抛物线抛物线2,qaMqaFS 23, 02qaMFS 23,2maxmaxqaMqaFS 32 例例22 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。解：求支反力解：求支反力 2 ; 2qaFqaFDA221qaM B点：点：221;2qaMqaFs C点左：点左：M 的驻点的驻点：283; 0qaMFS 221;2qaMqaFs C点右：点右：0 ; 21 MqaFs右端点右端点D：qqa2qaFAFDF

16、Sxqa/2qa/2qa/2+ABCDxMqa2/23qa2/8qa2/2qa2/2+ABBCCDFS水平线水平线斜直线斜直线水平线水平线M斜直线斜直线抛物线抛物线斜直线斜直线aaa33例例3 利用利用 q、 FS 、M的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。解：解：(1)求反力：求反力： 4/3 49qaFqaFBC(2)判断判断FS 、M图形状：图形状：2maxmax5045qa.M qaFS (3)作作FS 、M图：（从左至右）图：（从左至右）(4)求求FS 、M最大值：最大值：5qa/43qa/4MxFSxBAq2 aa9qa2/32

17、qa2/2qaC3294902qa MaxFS FCFB34例例4 利用利用 q、 FS 、M的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。解：解：(1)求反力：求反力： 6/11 67qaFqaFBC(2)判断判断FS 、M图形状：图形状：2maxmax72121611qaM qaFS FCFB(3)作作FS 、M图：（从左至右）图：（从左至右）(4)求求FS 、M最大值：最大值：7qa/611qa/6MxFSx AC C CB FS 0 突变突变 斜直线斜直线 M 水平线水平线 拐点拐点 抛物线抛物线 121qa2/72qa2BACq3 aaq

18、a27212161302qa MaxFS 35 AC C CB FS 直直线线 不不变变 水水平平线线 M 抛抛物物线线 突突变变 斜斜直直线线 BACq aaqa2例例5 利用利用 q、 FS 、M的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。解：解：(1)求反力：求反力： 2 2/qaMqaFBB(2)判断判断FS 、M图形状：图形状：2maxmax21M qaqaFS (3)作作FS 、M图：（从左至右）图：（从左至右）(4)求求FS 、 FS最大值：最大值：qaMxFSxqa2/2qa2/2qa2/2FBMB36 AC C CB FS 直直

19、 线线 不不 变变 水水 平平 线线 M 抛抛 物物 线线 突突 变变 直直 线线 例例6 利用利用 q、 FS 、M的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。的微分关系及剪力、弯矩的规律作剪力图、弯矩图。解：解：(1)求反力：求反力： 3/ 35qaFqaFBA(2)判断判断FS 、M图形状：图形状：2maxmax1825M 35qaqaFS (3)作作FS 、M图：（从左至右）图：（从左至右）(4)求求FS 、M最大值：最大值：5qa/3qa/3MxFSxqa2/325qa2 / 18BACq2 aaqa24qa2/3FAFB18253502qa MaxFS 37例例7 改内力图之错。

20、a2aaqqa2ABFSxxM+qa/4qa/43qa/47qa/4qa2/449qa2/323qa2/25qa2/4 47;4qaFqaFBA（a）38例例7 利用利用 q、 FS 、M的微分关系改正下列剪力图、弯矩图。的微分关系改正下列剪力图、弯矩图。3qa（b）3qaqBAC4 aaDa2qa2qaFSxqaqaMx1.5qa2qa2/2qa2/2FSxBAq3qaMx（c）a3qa2.5qa2aC2q2qaqa2.5qa20.5qa239qa+qL/2例例8 已知：已知：q，欲使最大弯矩为最小；，欲使最大弯矩为最小； a：L=？qa+qL/2qBACLaDaMxqL2/8-qa2/2qa2/2qa2/2FSxBqMx（d）3qaqa2AaaCqqaqa20.5qa222:1:282222 LaqaqLqaMMMBA中中解：解：2qa例例7 改正下列剪力图、弯矩图。改正