机械优化设计试题及答案

1、计算题1.试用牛顿法求f（X）=8x2+5x2的最优解，设X（o）=I1O10T。12初始点为X（0）=11010t，则初始点处的函数值和梯度分别为f（X0）=170016x+4x124x+10x12X1=X0-aVf(X0)=0Vf(X0)=200，10-20010200a-a=0_10_014010-140a0沿梯度方向进行一维搜索，有140a为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件0fQ1)=minfL0-=min*8x(10-200aa0=min申(a)a0(a)=1060000a-59600=0,00+4x(10-200a)x(10-140a)+5x(10-140a000从而算出一维搜

2、索最佳步长59600=0.0562264a=01060000则第一次迭代设计点位置和函数值X1=10-200a1010-140a0-1.245283012.1283019（X1）=24.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可求得最优解。2、试用黄金分割法求函数f（a）=a+20的极小点和极小值，设搜索区间aa,b=【0.2,1（迭代一次即可）解：显然此时，搜索区间a,b=0.2,1，首先插入两点a和a，由式12a=b-X(b-a)=1-0.618(1-0.2)=0.50561a=a+X(b-a)=0.2+0.618x(1-0.2)=0.69442计算相应插入点的函数

3、值f(a)=40.0626,f(a)=29.4962。12因为f(a)>fG)。所以消去区间la,a,得到新的搜索区间«,b,1211即a,b=a,b=0.5056,1L1第一次迭代：插入点a二0.6944,a二0.5056+0.618(1-0.5056)二0.811112相应插入点的函数值f(a)=29.4962,f(a)=25.4690,12由于f(a)>f(a)，故消去所以消去区间a,a，得到新的搜索区间121a,b,则形成新的搜索区间la,b=la,bLb.6944,1。至此完成第一次迭代,11继续重复迭代过程，最终可得到极小点。3.用牛顿法求目标函数f(X)=1

4、6x2+25x2+5的极小点，设X(0)=22t。12解：由X(0)=22T，dx1dx232x1=50x264100d2f1dxdx132012|二d2f1II050dx212Id2f()IaxrV2fX0丿=|1dfIdxdx21其逆阵为1V2f(X0)T=3200150因此可得：X1X0220_64-0_1_100_0_50_1320f(XJ=5,从而经过一次迭代即求得极小点X*=00t,f(XJ=54.下表是用黄金分割法求目标函数f(a)的极小值的计算过程，请完成下表。迭代序号aaiaby1比较y200.20.50560.6944140.062629.496210.50560.6944

5、0.8111129.496225.46905、求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=00T处函数变化率最大的方向和数值？解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模1仍(x°)II。求f(X,x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：vf(x0)=dxdx2_2x-4_-4_i=2x222x0IVf(x)ILj(f)2+(f)2=1(-4)2+(-2)2二2爲dxdx-4P=25v122希15在x-x平面上画出函数等值线和x(0,0)点处的梯度方向P,如图2-1所示。从图中可120以看出，在x点函数变化率

6、最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方0向。解：取初始点X0=1lb=Vf(xo)=2x2x4124x2x21xodo=-go=24沿do方向进行一维搜索，得1+a-41o2x1=x0+aod0=1+4a012ao其中的ao为最佳步长,可通过f（x1）=min也），*o）=oa1求得则丁+a-4-1o2o1+4ao12ao为建立第二个共轭方向d,需计算xi点处的梯度及系数Po值，得2x2x4g1=Vf(x1)=4x2xIlgJI2-2o2llgJI22o从而求得第二个共轭方向d1=-g1+Pdo=再沿d1进行一维搜索，得_2-2-2+2a1+a3=1311+a_2_2_L221

7、x2=x1+a1d1=其中的H为最佳步长，通过f(x2)=min申(a),0(a)=021求得则a=1_2-2-2+2a1+a3=1311+a_2_2_L221x2=1o00计算x2点处的梯度g2=Vf(X2)=2x-2x-4124x-2x21说明X2点满足极值必要条件，再根据X2点的海赛矩阵2-2G(x2)=是正定的，可知X2满足极值充分必要条件。故X2为极小点，即x2而函数极小值为f(x*)=-8。7、求约束优化问题Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2s.t.h(x)=x1+2x2-2=0的最优解？解：该问题的约束最优解为x*=1.60.2Jr,f(x*)=0.8o由图4-1a可知，约束最优点x*为目标函数等值线与等式约束函数(直线)的切点。用间接解法求解时，可取卩=0.8,转换后的新目标函数为2»(x,卩)=(x2)2+(x1)2+0.8(x+2x2)21212可以用解析法求mine(x,卩2)，即令二0，得到方程组=2(x2)+0.8=0dx11=2(x1)+1