第6章线性系统的频域分析法

1、第第6 6章章 线性系统的频域分析法线性系统的频域分析法Frequency-response analysis of linear system频率特性的基本概念频率特性的基本概念频率特性的表示方法频率特性的表示方法典型环节的频率特性典型环节的频率特性系统开环频率特性的绘制系统开环频率特性的绘制频率域稳定判据与稳定裕度频率域稳定判据与稳定裕度主要内容主要内容本章重点本章重点 通过本章学习，应重点掌握频率特性的概念与性质、典型环节及系统开环频率特性的奈氏图和波特图的绘制和分析方法、控制系统稳定性的频域分析法、系统稳定裕度的概念和求法、闭环系统性能指标的频域分析法等。curuRC11)(TssGR

2、CTuudtduTuudtduRCrccrcc6.1 频率特性频率特性6.1.1 频率特性的基本概念频率特性的基本概念00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52？tRtrsin)(设2211)(11)(sRTssRTssC此时)arctansin(1)(lim22TtTRtct 稳态分量暂态分量)arctansin(11)(2222TtTReTTRtcTt00.511.522.53-5-4-3-2-1012345curuRC00.511.522.53-2-1.5-1-0.500.511.52 一个线性系统或元件，当输入为一个线性系统或元件，当输入为正弦正弦函数函数，输

3、出的，输出的稳态值稳态值也是一个也是一个相同频率的相同频率的正弦函数正弦函数时，时，将输出稳态值与输入量之比，将输出稳态值与输入量之比，称为系统的频率特性称为系统的频率特性。一一 频率特性的定义频率特性的定义频率特性的定义式：频率特性的定义式： jVUeAjRjCjGj幅、相频率特性)(jG 幅频特性jGA相频特性)()(jG 实频特性jGURe 虚频特性jGVIm二、频率特性的性质二、频率特性的性质 1、频率特性反映了系统对正弦信号的三大传递能力频率特性反映了系统对正弦信号的三大传递能力:同频同频变幅变幅相移相移2、频率特性是一种稳态响应、频率特性是一种稳态响应3、与传递函数一样、与传递函数

4、一样,频率特性也是一种数学模型频率特性也是一种数学模型（4）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验）频率特性具有明确的物理意义，它可以用实验的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或的方法来确定，这对于难以列写微分方程式的元部件或系统来说，具有重要的实际意义。系统来说，具有重要的实际意义。（5）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形）由于频率响应法主要通过开环频率特性的图形对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。对系统进行分析，因而具有形象直观和计算量少的特点。（6）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还）频率响应法不仅适用于线性定常系统，而且还适用于传递函数不是有理数的

5、纯滞后系统和部分非线性适用于传递函数不是有理数的纯滞后系统和部分非线性系统的分析。系统的分析。微分微分方程方程频率频率特性特性G(j)传递传递函数函数G(s)系统系统jdtdjssdtd6.1.2 频率特性与传递函数及微分程之间的关系频率特性与传递函数及微分程之间的关系6.1.3 频率特性的表示方法频率特性的表示方法三、三、对数幅相频率特性曲线对数幅相频率特性曲线 Nichols chart 二、对数频率特性曲线二、对数频率特性曲线 Bode plot一、幅相频率特性曲线一、幅相频率特性曲线 Nyquist plot横轴：均按lg分度，单位为rad/s（弧度/秒）纵轴：幅频曲线：按L()=20

6、lg|G(j)|=20lgA（）线性 分度，单位是分贝（db）相频曲线：按 线性分度，单位为度（）或弧度 （rad） 对数幅频特性的“斜率“，是指频率改变倍频或十倍频时L（）的分倍数的改变量，常用单位是（分贝/十倍频） 二、对数频率特性曲线（二、对数频率特性曲线（Bode图）图） 增加增加10倍倍lg 增加增加1个倍频程个倍频程L 增加增加20dB (rad /s).lg L()A 增增加加十十倍倍A(). ALlog20)( (1/s). ()180o90o-90o 180o 6.2 典型环节的频率特性典型环节的频率特性1.比例环节比例环节幅相幅相频率特性频率特性:传递函数：传递函数： Ks

7、RsCsG00jKKejGj比例环节的频率特性比例环节的频率特性其中幅值|G（j）|=k，相位移 ，并且均与无关，它表示输出为输入的k倍，且同相位。 0其相应的用极坐标图表示的频率特性为： G(j)=020lg|()|G j()G j20lgK对数幅频特性L（）=20lg|G（j）|=20lg K（dB） 对数相频特性 2. 积分环节积分环节传递函数： ssG1ojtgtgjdBdBjjLejjG90) 0/1(1)(102010lg201lg20)1(0lg20|lg20|1|lg20)(11)(11222 0 0 0 -90 -1 0 1 -901 - 0 -9 00V ()U()| G(

8、j)| G(j)Im Re=01相位滞后90低频放大，高频衰减211)(jejjG积分环节积分环节20lg|()|G j()G j-20dB/dec 3 微分环节传递函数：ssG)(ojtgtgjLejjG900)(10,201, 0lg200lg20|lg20)()(11222 0 90 1 0 1 901 0 0 0 9 00V ()U()| G(j)| G(j)Im Re=0=相位超前90低频衰减高频放大2)(jejjGBode图Bode Diagram of G(jw)=jwFrequency (rad/sec)Phase (deg)Magnitude (dB)-20-10010203

9、04020dB/dec10-11001011028989.59090.5914.惯性环节传递函数：11)()()(TssRsCsGTjeTTTjTTjjGarctan2222221111111)(频率特性： 0 0 0-90 -0.5 0.5 0.707-451/T 0 1 1 00Q ()P()| G(j)| G(j)G(j ) | G(j)| G(j) =0Im 0.5 1.0 Re=0.5惯性环节 G(j) | G(j)|P()Q ()0 0 1 1 01/T -45 0.707 0.5 -0.5-90 0 0 0dBLTT01lg2011) 1 (）（时即当 dBLTdBLTTTLTT

10、2010lg2011001lg20)(1lg20lg20lg20)(112）（时当时其中：当时时，即当1lg201lg201lg20| )(|lg20)(2222TTjGL对数幅频特性：（2）表明，惯性环节在高频段1/T s=tf(s); G=1000/(s*(s+10); w=logspace(0,3); bode(G,w) )100()10(1000:2ssssG已知 特性曲线、绘制)(L解： 将开环传递函数分解成各基本环节乘积的形式 可见K = 100,v = 2 101. 011 . 01002ssssG(2) 在坐标轴上标各个环节交接频率10001. 01101 . 01212作图：

11、在坐标轴上标各个环节交接频率L1-1-2-2L2-2L3+110L4-11001L()-180-20-4020403.低频渐近线的斜率为 当 时， 即低频渐近线的斜率为 ， 且过点（1，40）。4. 从低频段开始每经过一次交接频率，斜率变化一次。 当 时，斜率变为 当 时，斜率变为decdBdecvdB/40/201 dBKL40lg20decdB/40101decdB/201002decdB/40 lg40100lg20L-1-2-21L()-20-4020405. 绘制对数相频特性曲线01. 01 . 0180)(1tgtg 1801800时时7 .140453 .84180)(1007

12、.1407 . 545180)(10时时 s=tf(s); G=(100*(s+10)/(s2*(s+100); w=logspace(0,3); bode(G,w)6.5 频率稳定判据n奈氏稳定判据n应用举例n系统的稳定裕量6.5.1奈奎斯特稳定判据(Nyquist Stability Criterion) ai i i C(s)R(s)G(s)H(s)闭环传递函数为)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了保证系统稳定，特征方程 0)()(1sGsHsF的全部根，都必须位于左半s平面。充要条件奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应)()(jGjH与)()(1sGsH在右半s平面内的零点数和

13、极点数联系起来的判据。这种方法无须求出闭环极点，得到广泛应用。 由解析的方法和实验的方法得到的开环频率特性曲线，均可用来进行稳定性分析 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形影射基础上的 设开环传递函数其中A(s)为s的n阶多项式，B(s)为s的m阶多项式(nm)特征函数方程为：式中： 为F（S）的极点 为F（S）的零点)()()()(sAsBsHsG jnjinipszsKsAsBsAsAsBsHsGsF11)()()(1)()(1)(), 2 , 1(njpj), 2 , 1(nizi6.5.1特征函数2.特征函数F（s）的极点就是系统开环传递函数的极点。 F（s）的零点就是系统的闭

14、环传递函数的极点。3.由于F(s)和G(s)H(s)只差常数1,所以特征方程的闭合曲线 可由开环传递函数的闭和曲线沿实轴正方向平移一个单 位长度获得。特征方程的闭合曲线包围F(s)平面原点的 圈数等于开环传递函数闭合曲线包围 F(s) 平面(-1,j0)点 的圈数。由此可见：F（S）的零点 和极点 的 1. 个数是相等的。),(21zzzn),(21pppn二、二、 控制系统的频域稳定性判据控制系统的频域稳定性判据1. 一阶系统一阶系统特征多项式特征多项式: D(s)=s+p s=-p R()jI()s = - pp 0 系统稳定系统稳定R()jI()s=-pp 1时，N= N+ - N -

15、=1-1/2= 1/2，且已知P=1，所以 Z= P-2N=0，闭环系统稳定； K0db时相频特性曲线自下而上（或自上而下）地穿越-180线。ImRe0 ( 1,0)j()()GjHj()L( ) dB00c四、伯德图上的奈氏判据四、伯德图上的奈氏判据 正负穿越可根据对数幅频特性曲线在大于0dB频率范围内，对数相频曲线穿越-180线次数确定正穿越： 把开环对数幅频特性 L()0时,相频特性自 下向上穿越(2k+1)线一次称为正穿越（或 把增大时,相角增加的穿越称为正穿越）.半次正穿越：把相频特性自下向上止于或自下向上起于 (2k+1)线称为半次正穿越。负穿越： 把开环对数幅频特性 L()0时,

16、相频特性自 上向下穿越(2k+1)线一次称为负穿越（或 把增大时,相角减小的穿越称为负穿越）。半次负穿越：把自上向下止于或自上向下起于 (2k+1)线称为半次负穿越。 对数稳定判据：一个反馈控制系统其闭环特征方程正实部根个数Z可以根据开环传函右半S平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频曲线与 (2k+1)线的正负穿越数之差N=N+-N-确定即：Z=P-2N,Z=0,闭环系统稳定；否则不稳定。例：某系统有两个开环极点在S右半平面（P=2） N+- N-=1-2= -1 P-2N = 2-2(-1) 0 所以，系统不稳定。)(L0)(2P 例：反馈控制系统，其开环传函为：

17、试用对数频率稳定判据判断系统稳定性1)(2TSSKsGK 注意：当GK(s)包含积分环节时，在对数相频曲线为0+的地方，应补画一条从相角 到 的虚线，这里v 是积分环节个数。计算正负穿越数时，应将补上的虚线看成对数相频曲线 的一部分。 90)0()0(vjHjG)0()0(jHjGL()/dBL()/dB1/T1/T-40dB/dec-40dB/dec-60dB/dec-60dB/dec20200 0-20-20()/()/(o o) )0 0-90-90-180-180 解: 2,220,)(11, 0,1800,0,)(根的个数为平面的闭环特征方程在右半系统不稳定知又由的一部分。作为对数相

18、频曲线的虚线到补画处的在对数相频曲线有两个积分环节sNPZPsGNNNNNsGKK稳定裕度: 所谓稳定裕度即是指一个稳定的系统离开稳定边界还有多大距离。 一相位裕度(Phase Margin) 设系统的开环幅相频率特性曲线 G（j）H（j）与单位圆相交于 C点，C点处的频率 称为增益穿越频率(Gain cross-over frequency) 。 处的相角 （负实轴）的相角差 称为相位裕量，即： 当 时，相位裕量是正的，反之，是负的，为使闭环系统稳定，相位裕量必是正的。 CC180)(与C）（）（）（CC18018006.6 相对稳定性分析图中C点 cccdBALjHjG0lg201相位移

19、是从正实轴算起，顺时针方向取为负。 相位裕量 是从负实轴算起，逆时针方向规定 为正，顺时针方向为负。 C二. 增益裕量(Gain Margin) 当开环幅相频率特征曲线 G（j）H（j）与负实轴相交于 G点时，G点的频率 g称为相位穿越频率(Phase cross-over frequency)。g 处的相角为 180:1）（）（满足式中）（）（表示用的倒数称为增益裕量，）（）（开环幅值gggggggjHjGjHjGhhjHjG,180)(）（）（幅值为gggjHjG的，时，闭环系统是不稳定，即）（）（当。时，闭环系统是稳定的，即）（）（当1111hjHjGhjHjGgggg 上述相位裕量也可

20、以在对数幅相频率特征图上确定。在此图中，相位裕量是指开环系统幅值为 0dB时，其相角大于-180的数值。增益裕量是指开环系统相角为-180 时，其副值低于 0dB 线的数值。 若以分贝表示增益裕量，则有)()(lg20)()(1lg20ggggjHjGjHjGh当 时，增益裕量的分贝数为正值，表示闭环系统是稳定的；当 时，增益裕量的分贝值为负值，表示闭环系统是不稳定的。1)()(ggjHjG1)()(ggjHjGlg20201lg201lg20lg2010lg201111022）（画图解：、求）（）（）（例：LhssssGc cL()L()1 1101020204040:1290 36 .7829018090180180. 2111111）得（代入到（）（）处对应相位穿越频率（求）（gggggggcccCjGtgtgtghtgtgtgdBdBhdBjGdBhjGjjjjjjjGgggggg）到（）（到工程上一般）（）（）（）（）（）（）（64603020lg201010111011105.6开环对数频率特性的基本性质1. 开环对数幅频特性的斜率和相频特性的关系 开环对数幅频特性和横轴交