2.1..-二重积分的计算ppt课件

1、1.直角坐标系下的计算公式直角坐标系下的计算公式 用几何观点来讨论二重积分 的计算问题.Ddyxf ),(. bxa, )()(21xyxD：假定f(x,y)0.设积分区域D可以用不等式其中函数其中函数 、 在区间在区间 上连续上连续.)(1x )(2x ,ba)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 7-2 二重积分的计算二重积分的计算为为曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为底底，以以曲曲面面的的值值等等于于以以),(),(yxfzDdyxfD 应用计算应用计算“平行截平行截面面积为已知的立面面积为已知的立体求体积的方法体求体积的方法,a0 xbzyx)(0 xA),( yxf

2、z)(1xy)(2xy),(0yxfz 先计算截面的面积先计算截面的面积. 为此，在区间为此，在区间 a , b 上任意取一点上任意取一点 作作平行于平行于yoz面的平面面的平面 0 x这平面截曲顶柱体所得截面,0 xx)(),(0201xx是一个以区间 为底 , 曲线 为曲边 的曲边梯形，所以截面面积为),(0yxfzxbad 设曲顶柱体的底为bxaxyxyxD)()(),(21任取, ,0bax 平面0 xx 故曲顶柱体体积为DyxfVd),(yyxfxAxxd),()()()(000201截面积为yyxfxxd),()()(21baxxAd )(截柱体的)(2xy)(1xyzxyoab0

3、 xD因而有因而有.),(),()()(21 baxxDdxdyyxfdxdyyxf这就是把二重积分化为先对y、后对x的二次积分.)2 . 7(.),(),()()(21Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf 定理定理 1 设函数设函数f(x,y)在闭区域在闭区域D上连续，上连续，D 是由两直线是由两直线 x=a,x=b及两连续曲线及两连续曲线)(),(21xyxy),()(21bxaxx围成，则有公式围成，则有公式) 1 . 7(,),(),()()(21 baxxDdxdyyxfdxdyyxf或写成或写成时，为矩形域当闭区域dycb,xaRD则有)3 . 7(.),(),(Dbadcdyy

4、xfdxdxdyyxf累次积分累次积分.),(),()()(21Ddcyxyxdxyxfdydyxf如果积分区域为：如果积分区域为：,dyc ).()(21yxxyx)(2yxx )(1yxx Dcdcd)(2yxx )(1yxx D这就是把二重积分化为先对x、后对y的二次积分.类似地，类似地，累次积分累次积分例例1 求二重积分求二重积分DdxdyyxyI,)1 (2322.10 , 10| ),(yxyxD其中解解 10102322)1 (dxdyyxyI10102122|)1 (1dxyx10212212)2(1)1 (1dxxx1022|)2ln()1ln(xxxx.3!22lnxy21

5、1xy o221d y例例2 计算计算,dDyxI其中D 是直线 y1, x2, 及yx 所围的闭区域. x解法解法1 先对先对y后对后对x积分，那积分，那么么:DI21d xyyx d21d x2121321dxxx891221xyx解法解法2 先对先对x后对后对y积分积分, 那那么么:DIxyx d21d yyyx222121321d2yyy89y1xy2xy 121 x2 xy21 y例例3 计算计算,dDyx其中D 是抛物线xy 2所围成的闭区域. 解解 为计算简便为计算简便, 先对先对 x 后对后对 y 积分积分,:Dxyx dDyxd21dy212221d2yyxyy2152d)2

6、(21yyyy12612344216234yyyy845Dxy22 xy214oyxy22yxy21y2y2y2 xy及直线那么 . 855y 0 xy2 =xy=x-2(4,2)(1,-1)1D2D 若先对y后对x积分，那么 Dxyd 21DDxydxdyxydxdy. 4x1 , xy2- x| ),(D , 1x0 , x- | ),(D 21yxxyyx其中1Dxydxdy10 xxydyxdx. 02Dxydxdy412xxydyxdx. 855Dxyd . 855例例4 求累次积分求累次积分.02aaxydyedxI解解，的原函数不是初等函数由于2yedyeaxy2故.无法求积分,

7、2dxdyeIDy可看成是一个二重积分但是，ayxa,x0|y)(x,D其中改成先对x积分，那么dxdyeIDy2ayydxedy002dxxeyay00|2dyyeay02aye0|212).1(212ae xyaaxy oD0 xyx 说明说明: 有些二次积分为了积分方有些二次积分为了积分方便便, 还需交换积分顺序还需交换积分顺序.例例4 交换下列积分顺序交换下列积分顺序22802222020d),(dd),(dxxyyxfxyyxfxI解解 积分域由两部分组成积分域由两部分组成:,200:2211xxyD822 yx2D22yxo21D221xy 222280:22xxyD21DDD将:

8、D 那么282yxy20 yDyxyxfIdd),(282d),(yyxyxf20dy y 在计算二重积分时，可利用积分区域及被积函数的在计算二重积分时，可利用积分区域及被积函数的 对称性来简化计算对称性来简化计算. (1) 设积分区域设积分区域D关于关于x轴对称轴对称. 若若f(x,y)关于关于y是偶函数是偶函数f(x,-y)=f(x,y)，那么，那么Dy)df(x, 1,y)df(x,2 D.0,),( | ),(11yDyxyxD其中若f(x,y)关于y是奇函数f(x,-y)=-f(x,y)，那么. 0y)df(x, D(2) 设积分区域设积分区域D关于关于y轴对称轴对称.若f(x,y)

9、关于x是偶函数f(-x,y)=f(x,y)，那么Dy)df(x, 2,y)df(x,2 D.0,),( | ),(22xDyxyxD其中若f(x,y)关于x是奇函数f(-x,y)=-f(x,y)，那么. 0y)df(x, D例例5 求下列二重积分求下列二重积分D;d|xy| (1) D.y)d(x (2) .| ),(222ayxyxD其中解解这里积分区域关于x轴与y轴都对称.|),() 1 (都是偶函数与关于yxxyyxf则，设,0, 0| ),(2221yxayxyxDDd|xy| 1xyd4 Dxdydyxydxxaa22004 axadxxy00222|214 adxxax022)(2

10、 .2 4a的奇函数，的函数是关于作为由于xyxx,)2(的奇函数，故的函数是关于作为而yyxy,Dxdyy)d(x Dxdyxd Dxdyyd . 0 例例6 求旋转抛物面求旋转抛物面 与与 坐标平面所围坐标平面所围 的体积的体积V.xoyyxz221解解根据积分区域及被积函数的对称性，我们有D,)dy(x-14 V 22.1, 0, 0| ),(22yxyxyxD其中积分区域D)dy(x4 V 222102210)(4 xdyyxdx102214 dxxx1032)1(34 dxxtxsin令tdtdxcos2022cossin4 dtt204cos34 dt202cos4 dt204co

11、s38 dt22142214338.2若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式.321 DDDD则必须分割则必须分割.二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）（在积分中要正确选择积分次序）小结.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf AoDijjrrjjrrriiiijijjijrrr2221)(21ijjjrrr)2(21,212ijijjrrr.)sin,cos(),(DDrdrdrrfdyx

12、f2.在极坐标系下的计算公在极坐标系下的计算公式式ddxdyrdrd0当当 时时,212ijijrrijjijrr.sin,coslim),(,0ijjijijijDrrrrfdyxf ,|cos , sin,DrrrD.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图, ).()(21 rAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图, ).(0 r Drdrdr

13、rf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积. Drdrd 二重积分化为二次积分的公式）二重积分化为二次积分的公式）区域特征如图区域特征如图).(0 rDoA)(r,2 0例例7 将二重积分将二重积分.y)df(x, D 用极坐标化成累次积分，其中用极坐标化成累次积分，其中D 为为:0| ),(22aaxyxyxD，(1) 圆形域：及曲线由直线xyxy2,)2(，xyx422.822所围成xyx.1, 0)3(所围成及由直线xxyycosar oayxoyxcos4rcos8r442arct

14、an1xycos1r oaxyx22.)2()2(222ayax解解.22,cos0:) 1 (arDDy)df(x, .)sin,cos(cos022ardrrrfdDy)df(x, )2( .)sin,cos(cos8cos42arctan4rdrrrfdDy)df(x, )3( .)sin,cos(cos1040rdrrrfd考虑考虑: 下列各图中域下列各图中域 D 分别与分别与 x , y 轴相切于原点轴相切于原点,试试答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx问 的变化范围是什么?(1)(2)22)2(例例8 求二重积分求二重积分,)(adxdy 23222Dyx.0 ,0|

15、 ),(ayaxyxD其中cosar sinar 4xyoaaD解解cos0232240)( arardrdDyxd)(adxdy2322212322)(adrrdDr22322)(adrrdDrsin0232224)( arardrd402)cos1cos1( daa242.)sin1sin1( daa242sin1sin d2042cos1)(cos d402cos1cos dsin t 22022 tdt220|2tarcsin.4代入上式得Dyx23222)(adxdy 6221aa.6a与求曲面4222zyx例例9所围成的zyx322.0部分的立体体积z解解zyxzyx3, 4222

16、22由, 0432zz解得舍去）(4, 121zz, 322yx从而有, 3D22 yx：.20,30:rDdyxyxVyxD)(314223:2222rdrdrrrD)314(22030:2203022)314(rdrrrd20129d.619例例10 求求,dd22Dyxyxe其中.:222ayxD解解 在极坐标系下在极坐标系下,200:arD原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函数不是初等函数 , 故本题无法用直角2reddrr20d由于故坐标计算.注注:利用例10可得到一个在概率论与数理统计及工程上非常有用的广义积分公式2d02xex事实上, 当D 为 R2 时

17、,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用例10的结果, 得)1 (limd42220aaxexe故式成立 .baxxfd)() )(txtttfd)()(定积分换元法3. 二重积分的一般变量替换公式二重积分的一般变量替换公式 ),(),(:yyxxTDDyx),(满足上在Dyxyx),(, ),() 1 (一阶导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(DyxDJ(3) 变换DDT:那么Dyxyxfdd),(Dyxf),(),(定理定理 ,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的 ,ddJoDoyxDT证证 根据定理条件可知变换根据定理条件可知变换 T 可逆可

18、逆. 用平行于坐标轴的 ,坐标面上在o直线分割区域 ,D任取其中一个小矩T形, 其顶点为),(, ),(10dPP通过变换T, 在 xoy 面上得到一个四边形, 其对应顶点为)3, 2 , 1 , 0(),(iyxPiii,22dd令那么01xx ),(),(xdx).,(, ),(32dPddP),(),(odx.22dd其中oD0Pdd1P2P3PoyxD0P1P2P3P03xx ),(),(xdx);(),(okx01yy )(),(ody同理得03yy ).(),(ody平行四 边形, 故其面积近似为03030101yyxxyyxxddddyxyxddyyxxddJ 当d , d 充分小时,曲边四边形 近似于3210pppp|3010PPPP例如例如, 直角坐标转化为极坐标时直角坐标转化为极坐标时, sin,cosryrx)