材料力学——梁的弯曲应力学习教案

1、会计学1材料力学材料力学(ci lio l xu)梁的弯曲应力梁的弯曲应力第一页，共42页。251 引言 52 平面弯曲时梁横截面上的正应力53 梁横截面上的剪应力54 梁的正应力和剪应力强度条件(tiojin) 梁的合理截面55 非对称截面梁的平面弯曲开口薄壁截面的弯曲中心56 考虑材料塑性时的极限弯矩第五章 弯曲应力 第1页/共41页第二页，共42页。5 5 引言引言(ynyn)(ynyn)1、弯曲构件(gujin)横截面上的（内力）应力内力剪力Q 剪应力t弯矩M 正应力s第2页/共41页第三页，共42页。平面弯曲(wnq)时横截面s 纯弯曲(wnq)梁(横截面上只有M而无Q的情况)平面弯

2、曲(wnq)时横截面t 剪切弯曲(wnq)(横截面上既有Q又有M的情况)2、研究(ynji)方法纵向(zn xin)对称面P1P2例如：第3页/共41页第四页，共42页。 某段梁的内力只有弯矩没有剪力时，该段梁的变形(bin xng)称为纯弯曲。如AB段。PPaaABQMxx纯弯曲(wnq)(Pure Bending):第4页/共41页第五页，共42页。5 52 2 平面平面(pngmin)(pngmin)弯曲时梁横截面上的正应弯曲时梁横截面上的正应力力1.梁的纯弯曲(wnq)实验 横向线(a b、c d）变形后仍为直线，但有转动；纵向(zn xin)线变为曲线，且上缩下伸；横向线与纵向(zn

3、 xin)线变形后仍正交。（一）变形几何规律：（一）变形几何规律：一、一、 纯弯曲时梁横截面上纯弯曲时梁横截面上的正应力的正应力中性层纵向对称面中性轴bdacabcdMM第5页/共41页第六页，共42页。横截面上只有(zhyu)正应力。平面假设：横截面变形后仍为平面，只是(zhsh)绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。（可由对称性及无限分割(fng)法证明）3.推论2.两个概念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。中性轴：中性层与横截面的交线。第6页/共41页第七页，共42页。A1B1O1O4. 几何(j h)方程：(1) . yx abc

4、dABdqxy11111OOBAABABBAx)OO1)qqqyyddd)(第7页/共41页第八页，共42页。 （二）物理（二）物理(wl)关系：关系：假设：纵向纤维互不挤压。于是，任意(rny)一点均处于单项应 力状态。(2) . sEyExxsxsx（三）静力学关系（三）静力学关系(gun x)：0dddszAAAxESAyEAEyAN轴过形心中性)( 0zSz第8页/共41页第九页，共42页。0dd)d(syzAAAyEIAyzEAEyzzAM（对称面）MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22zzEIM1 (3)EIz 杆的抗弯刚度。第9页/共41页第十页，共42页。（四）最大

5、正应力（四）最大正应力(yngl)：zWMmaxs (5)DdDda)1 (32 43maxaDyIWzz圆环bBhH)1 (6 332maxBHbhBHyIWzz回字框第10页/共41页第十一页，共42页。例例1 受均布载荷作用的简支梁如图受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：所示，试求：（1）11截面上截面上1、2两点的正两点的正应力；应力；（2）此截面上的最大正应力；）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；）全梁的最大正应力；（4）已知）已知E=200GPa，求，求11截面截面的曲率的曲率(ql)半径。半径。Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018

6、0zy解：画M图求截面(jimin)弯矩kNm60)22(121xqxqLxM30第11页/共41页第十二页，共42页。Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax12120zykNm5 .678/3608/22max qLM451233m10832. 5101218012012bhIz34m1048. 62/zzIWMPa7 .6110832. 56060 5121zIyMss求应力(yngl)18030第12页/共41页第十三页，共42页。MPa6 .921048. 66041max1zWMsm4 .1941060832. 520011MEIzMPa2 .1041048. 6

7、5 .674maxmaxzWMs求曲率(ql)半径Q=60kN/mAB1m2m11xM+82qLM1Mmax1212018030第13页/共41页第十四页，共42页。5 53 3 梁横截面上的剪应力梁横截面上的剪应力一、一、 矩形矩形(jxng)(jxng)截面梁横截面上的截面梁横截面上的剪应力剪应力1、两点假设(jish)： 剪应力与剪力平行；矩中性轴等距离处，剪应力 相等。2、研究(ynji)方法：分离体平衡。 在梁上取微段如图b； 在微段上取一块如图c，平衡0)(112dxbNNXtdxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图c第

8、14页/共41页第十五页，共42页。dxxQ(x)+d Q(x)M(x)yM(x)+d M(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb图a图b图czzAzAIMSAyIMANdd1szzISMMN)d(2zzzzbIQSbISxMdd1t由剪应力互等zbIQSy1)(ttt)4(2)2(2222yhbyhbyhAyScz第15页/共41页第十六页，共42页。tt5 . 123maxAQ)4(222yhIQz矩tQt方向：与横截面(jimin)上剪力方向相同；t大小：沿截面(jimin)宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。最大剪应力为平均剪应力的1.5倍。二、其它二、其它(qt)(qt)截面梁横截面上

9、的剪截面梁横截面上的剪应力应力1、研究方法与矩形(jxng)截面同;剪应力的计算公式亦为：其中Q为截面剪力；Sz 为y点以下的面积对中性轴之静矩；第16页/共41页第十七页，共42页。2、几种常见截面(jimin)的最大弯曲剪应力 Iz为整个截面(jimin)对z轴之惯性矩；b 为y点处截面(jimin)宽度。工字钢截面：maxtmint;maxA Qtf结论： 翼缘部分tmax腹板上的tmax，只计算腹板上的tmax。 铅垂剪应力主要腹板承受（9597%），且tmax tmin 故工字钢最大剪应力Af 腹板的面积。;maxA Qtf第17页/共41页第十八页，共42页。 圆截面：tt3434

10、maxAQ薄壁圆环：tt22maxAQ槽钢槽钢(co (co n)n)：exyzPQRRzzbIQS，合力为腹板上; t。合力为翼缘上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe QeQeh第18页/共41页第十九页，共42页。5-4 梁的正应力和剪应力强度条件梁的正应力和剪应力强度条件(tiojin) 梁的合理截梁的合理截面面1 1、危险、危险(wixin)(wixin)面与危险面与危险(wixin)(wixin)点分析：点分析：一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘(binyun)上；最大剪应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。QtsssMt一、梁的正应力和剪

11、应力强度条件第19页/共41页第二十页，共42页。2 2、正应力和剪应力强度、正应力和剪应力强度(qingd)(qingd)条件：条件：带翼缘的薄壁截面，最大正应力与最大剪应力的情况与上述(shngsh)相同；还有一个可能危险的点，在Q和M均很大的截面的腹、翼相交处。（以后讲） t tt t zzIbSQmaxmaxmax s ss s zWMmaxmax3 3、强度条件、强度条件(tiojin)(tiojin)应用：依此强度准则可进行三种强应用：依此强度准则可进行三种强度计算：度计算：sMQtts第20页/共41页第二十一页，共42页。4 4、需要校核、需要校核(xio h)(xio h)剪

12、应力的几种特殊剪应力的几种特殊情况：情况：铆接或焊接的组合截面(jimin)，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核剪应力。梁的跨度(kud)较短，M 较小，而Q较大时，要校核剪应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核剪应力。、校核强度：校核强度：设计截面尺寸：设计载荷： ;maxmaxttssmaxsMWz)( ;maxmaxMfPWMzs第21页/共41页第二十二页，共42页。解：画内力图(lt)求危面内力例例2 矩形矩形(bh）截面）截面(jimin)木梁如图，木梁如图，=7MPa，=0. 9 M Pa，试求最大，试求最大正应力和最大剪应力之比正应力和最大剪应力之比,

13、并校核梁的强并校核梁的强度。度。N54002336002maxqLQNm4050833600822maxqLMq=3.6kN/mxM+82qLABL=3mQ2qL2qL+x第22页/共41页第二十三页，共42页。求最大应力并校核(xio h)强度应力(yngl)之比7 .1632maxmaxmaxhLQAWMztsq=3.6kN/mxM+82qLQ2qL2qL+x7MPa6.25MPa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhMWMz0.9MPa0.375MPa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttAQ第23页/共41页第二十四页，共42页。y

14、1y2GA1A2A3A4解：画弯矩图并求危面内力(nil)例例3 T 字形截面的铸铁字形截面的铸铁(zhti)梁受力梁受力如图，铸铁如图，铸铁(zhti)的的L=30MPa，y=60 MPa，其截面形心位于，其截面形心位于C点，点，y1=52mm， y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度。并，试校核此梁的强度。并说明说明T字梁怎样放置更合理？字梁怎样放置更合理？kN5 .10;kN5 . 2BARR)(kNm5 . 2下拉、上压CM（上拉、下压）kNm4BM4画危面应力(yngl)分布图，找危险点P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM第24页/共

15、41页第二十五页，共42页。校核(xio h)强度MPa2 .2810763885 . 2822zCLAIyMsMPa2 .2710763524813zBLAIyMsMPa2 .4610763884824zByAIyMsLLss2 .28maxyyss2 .46maxT字头在上面(shng min)合理。y1y2GA1A2A3A4x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4第25页/共41页第二十六页，共42页。二、梁的合理(hl)截面（一）矩形(jxng)木梁的合理高宽比R北宋李诫于1100年著营造(yngzo)法式 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 ( h/b = ) 英()于1807年著

16、自然哲学与机械技术讲义 一书中指出:矩形木梁的合理高宽比 为刚度最大。时强度最大时, 3 ;, 2bhbhbh第26页/共41页第二十七页，共42页。AQ3433. 1mmaxtt 3231DWz13221.18 6)(6zzWRbhWmmax5 . 1tt)2/( ;,41221 DRaaD时当强度(qingd)：正应力：剪应力：1、在面积(min j)相等的情况下，选择抗弯模量大的截面 sszWM ttzzbIQS* 其它材料(cilio)与其它截面形状梁的合理截面zDzaa第27页/共41页第二十八页，共42页。mtt2max143375. 2 )0.8-(132zzWDW1222167

17、. 1,4)8 . 0(4 DDDDD时当1121212,24 DaaD时当1312467. 1 646zzWabhWmtt5 . 1maxzD0.8Da12a1z第28页/共41页第二十九页，共42页。)(= 3 . 2mmaxfAQtt工字形截面(jimin)与框形截面(jimin)类似。1557. 4zzWW1222222105. 1,6 . 18 . 024 DaaaD时当0.8a2a21.6a22a2z第29页/共41页第三十页，共42页。 对于(duy)铸铁类抗拉、压能力不同的材料，最好使用T字形类的截面，并使中性轴偏于抗变形能力弱的一方，即：若抗拉能力弱，而梁的危险截面处又上侧受

18、拉，则令中性轴靠近上端。如下图：2、根据材料特性(txng)选择截面形状sGz第30页/共41页第三十一页，共42页。（二）采用变截面(jimin)梁 ，如下图：最好(zu ho)是等强度梁，即)()()(maxssxWxMx若为(ru wi)等强度矩形截面，则高为)(6)(sbxMxh同时)(5 . 1maxttxbhQ5 . 1)(tbQxhPx第31页/共41页第三十二页，共42页。5-5 5-5 非对称截面非对称截面(jimin)(jimin)梁的平面弯曲梁的平面弯曲 开口薄壁截面开口薄壁截面(jimin)(jimin)的弯曲中心的弯曲中心轴过形心中性 )( z 0 zS0dd)d(s

19、yzAAAyEIAyzEAEyzzAM0dd)d(szAAAESAyEAEyAN外力要与主轴共线。轴必须为截面主惯性轴、, 0zyIyz几何(j h)方程与物理方程不变。PxyzO第32页/共41页第三十三页，共42页。MEIAyEAEyyAMzAAAzsdd)d(22exdAMAx轴到杆轴的距离依此确定力臂, 0)d(t依此确定(qudng)正应力计算公式。剪应力研究方法(fngf)与公式形式不变。弯曲中心(剪力中心)：使杆不发生扭转的横向(hn xin)力作用点。 （如前述坐标原点O）PxyzO第33页/共41页第三十四页，共42页。槽钢(co n)：非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必

20、须作用在主惯性面内，中性轴为非对称截面梁发生平面弯曲的条件：外力必须作用在主惯性面内，中性轴为形心主轴形心主轴(zhzhu)(zhzhu)，, ,若是横向力，还必须过弯曲中心。若是横向力，还必须过弯曲中心。exyzPPsMQRRzzbIQS，合力为腹板上; t。合力为翼缘上HzIQA; 21t0)d(AxdAM力臂tRHhe Qe第34页/共41页第三十五页，共42页。 zzbIQS : :求求任任意意一一点点剪剪应应力力弯曲弯曲(wnq)(wnq)中心中心的确定的确定: :ACdAM力臂向形心简化)d(:t(1)双对称轴截面(jimin)，弯心与形心重合。(2)反对称截面(jimin)，弯心与反对称中心重合。(3)若截面由两个狭长矩形组成，弯心与两矩形长中线交点重合。(4)求弯心的普遍方法：yCeQMe :求弯心到形心距离CCCQyeC第35页/共41页第三十六页，共42页。ssss5-6 考虑材料考虑材料(cilio)塑性时的极限弯矩塑性时的极限弯矩（一）物理（一）物理(wl)关系为：关系为：sx