1.2第二节数列的极限

1、第二节第二节 数列的极限数列的极限极限概念是由于求某些实际问题的精确解答极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的。而产生的。1、数列极限的定义、数列极限的定义2、收敛数列的性质、收敛数列的性质3、极限存在准则、极限存在准则“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：播放播放刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126 nnA,321nAAAAS2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰

2、，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天截下的杖长为;2122X第二天截下的杖长为;21nnXn天截下的杖长为第2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211 X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122 X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn 天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211 1二、数列的定义二、数列的定义定义定义:按自然数按自然数, 3 , 2 , 1编号依次排列的一列数编号依次排列的一列数 ,21nxxx (1)称为称为无穷数列无穷数列,简称简称数列数

3、列.其中的每个数称为数其中的每个数称为数列的列的项项,nx称为称为通项通项(一般项一般项).数列数列(1)记为记为nx.例如例如;,2 , 8 , 4 , 2n;,21,81,41,21n2n21n注意：注意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取.,21nxxx1x2x3x4xnx2.数列是整标函数数列是整标函数).(nfxn ;,)1( , 1 , 1, 11 n)1(1 n;,)1(,34,21, 21nnn )1(1nnn ,333,33, 3 .)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 nnn播放播放

4、三、数列的极限三、数列的极限问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 是否无限接近于某一是否无限接近于某一确定的数值确定的数值?如果是如果是,如何确定如何确定?nxn. 1)1(1,1无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当nxnnn 问题问题: “无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言如何用数学语言刻划它刻划它. 1nxnnn11)1(1 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:,1001给定给定,10011 n由由,100时时只要只要 n,10011 nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,1000011 nx有有,100001给定给定,10000

5、时时只要只要 n,100011 nx有有, 0 给定给定,)1(时时只要只要 Nn.1成立成立有有 nx定义定义 如果对于任意给定的正数如果对于任意给定的正数 ( (不论它多么不论它多么小小),),总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式 axn都成立都成立, ,那末就称常数那末就称常数a是数列是数列nx的极限的极限, ,或者称数列或者称数列nx收敛于收敛于a, ,记为记为 ,limaxnn 或或).( naxn如果数列没有极限如果数列没有极限,就说数列是发散的就说数列是发散的.注意：注意：;. 1的无限接近的无限接近与与刻划了刻划了不等式不等式

6、axaxnn . 2有关有关与任意给定的正数与任意给定的正数 Nx1x2x2 Nx1 Nx3x几何解释几何解释: 2 a aa.)(,),(,落在其外落在其外个个至多只有至多只有只有有限个只有有限个内内都落在都落在所有的点所有的点时时当当NaaxNnn :定义定义N 其中其中;:每一个或任给的每一个或任给的 .:至少有一个或存在至少有一个或存在 ., 0, 0lim axNnNaxnnn恒有恒有时时使使. 的式子关于的式子，则关于得Nn具体方法：具体方法：”出发解不等式，从结论“对任意给定的axn,0思考：思考：如何根据极限定义验证数列极限？用定义验证数列极限用定义验证数列极限, ,关键是如何

7、由任意给定的关键是如何由任意给定的 00 ，寻找寻找N N！注：注：该定义并未提供如何求数列极限，但可以去验证数列的极限！例例1. 1)1(lim1 nnnn证明证明证证1 nx1)1(1 nnnn1 , 0 任给任给,1 nx要要,1 n只要只要,1 n或或所以所以,1 N取取,时时则当则当Nn 1)1(1nnn就有就有. 1)1(lim1 nnnn即即例例2.lim),(CxCCxnnn 证明证明为常数为常数设设证证Cxn CC ,成成立立 ,0 任给任给所以所以,0 ,n对于一切自然数对于一切自然数.limCxnn 说明说明:常数列的极限等于同一常数常数列的极限等于同一常数.小结小结:

8、用定义证数列极限存在时用定义证数列极限存在时,关键是任意给关键是任意给定定 寻找寻找N,但不必要求最小的但不必要求最小的N., 0 例例3. 1, 0lim qqnn其中其中证明证明证证, 0 任给任给,0 nnqx,lnln qn,lnlnqN 取取,时时则当则当Nn ,0 nq就有就有. 0lim nnq, 0 q若若; 00limlim nnnq则则, 10 q若若,lnlnqn 注注: :.)(0,1Nnnnn，从而确定所要找的，再解不等式且较为简单、使放大后的式子.2提条件的值时，考虑到这个前并在最后确定必须大于某个正数，有时要限定式子简单，、在放大过程中，为使Nn放大的原则：放大的

9、原则：.naxaxnaxnnn适当放大，使得很不方便，因此通常将的式子关于，要得到有时直接解不等式例例4 4.32312limnnn证明证证)31 ( 3)31 (2632312, 0nnnnn由,1 n.32-n31n2, 1时，有当NnNnnn199932.32312limnnn1.唯一性唯一性定理定理1 1 每个收敛的数列只有一个极限每个收敛的数列只有一个极限. .证证,lim,limbxaxnnnn 又又设设由定义由定义,使得使得., 021NN ;1 axNnn时恒有时恒有当当;2 bxNnn时恒有时恒有当当 ,max21NNN 取取时有时有则当则当Nn )()(axbxbann a

10、xbxnn .2 .时才能成立时才能成立上式仅当上式仅当ba 故收敛数列极限唯一故收敛数列极限唯一.四、四、数列极限的性质数列极限的性质例例5.)1(1是发散的是发散的证明数列证明数列 nnx证证,limaxnn 设设由定义由定义,21 对于对于,21,成立成立有有时时使得当使得当则则 axNnNn),21,21(, aaxNnn时时即当即当区间长度为区间长度为1.,1, 1两个数两个数无休止地反复取无休止地反复取而而 nx不可能同时位于不可能同时位于长度为长度为1的的区间内区间内., ,但却发散但却发散是有界的是有界的事实上事实上nx2.有界性有界性定定义义: 对对数数列列nx, 若若存存在

11、在正正数数M, 使使得得一一切切自自然然数数n, 恒恒有有Mxn 成成立立, 则则称称数数列列nx有有界界,否否则则, 称称为为无无界界.例如例如,;1 nnxn数列数列.2nnx 数列数列数轴上对应于有界数列的点数轴上对应于有界数列的点nx都落在闭区间都落在闭区间,MM 上上.有界有界无界无界定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证证,limaxnn 设设由定义由定义, 1 取取, 1, axNnNn时恒有时恒有使得当使得当则则. 11 axan即有即有,1,1,max1 aaxxMN记记,Mxnn 皆有皆有则对一切自然数则对一切自然数 .有界有界故故nx注意：注意：有界

12、性是数列收敛的必要条件有界性是数列收敛的必要条件.推论推论 无界数列必定发散无界数列必定发散. .定理定理3 3 （保号性保号性） .00）（或时，都有，当整数nnxxNnN证证.-, 0limaxNnNNaxnnn时，有当.020;020axaaxann时，当时，当推论推论 )(.00用反证法证明）（或那么aa，那么存在正或且若)0(0,limaaaxnn,2a2a2a2aaxaaxnn，从而，有取,lim00axxxxnnnnn），且（或从某项起有若数列子数列的概念子数列的概念.,:21为原数列的子数列这样得到的一个数列成原数列中的先后次序并保持它们在中，任意抽取无限多项在数列nnxxxx

13、定义定义 ,: 21kknnnnxxxx表示为121,kkknnnnNn且其中：.的一个子数列为nnxxk.,knnxkxxnkknnnkkk显然项第中是项，在原数列中的第在子列表示定理定理4 4.kaxxaxnnn都收敛于的任一子列收敛于数列证证.,0limaxNnNNaxnnn时，当,NknNKkNKknkk时，必有，当取，.limaxaxkknkn推论推论 .发散不相等，则数列两个子列都收敛但极限的某一个子列发散或某若数列nnxx此推论常用于证明某个数列是发散的！例如数列此推论常用于证明某个数列是发散的！例如数列) 1(n四、数列极限的运算法则四、数列极限的运算法则 则，若,limlim

14、byaxnnnn；，；（；（）（)00(limlimlim)3(limlim)lim)2(limlim)lim1nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnybbayxyxbayxyxbayxyx注：注：前两项可推广到前两项可推广到有限有限个个收敛收敛数列的情形！数列的情形！. )21(lim222nnnnn求,lim2lim1lim222nnnnnnn.0000无穷多个收敛无穷多个收敛数列数列 这是错误的这是错误的. . 222221lim)21(lim:nnnnnnnn正确做法.21211lim2) 1(lim2nnnnnn例例6 6五五.小结小结数列数列: :研究其变化规律研究其变化规律

15、;数列极限数列极限: :极限思想极限思想,精确定义精确定义,几何意义几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质: :有界性唯一性保号性有界性唯一性保号性.思考题思考题指出下列证明指出下列证明1lim nnn中的错误。中的错误。证明证明要使要使,1 nn只要使只要使)1ln(ln1 nn从而由从而由2ln)1ln(ln)1ln(1 nn得得, 0 取取1)1ln(2ln N当当 时，必有时，必有 成立成立Nn 10nn1lim nnn思考题解答思考题解答 1nn)1ln(ln1 nn（等价）（等价）证明中所采用的证明中所采用的2ln)1ln(ln)1ln(1 nn实际上就是不等式实际上就是不等式)1

16、ln(ln2ln nnn即证明中没有采用即证明中没有采用“适当放大适当放大” 的值的值nnln从而从而 时，时，2ln)1ln( Nn仅有仅有 成立，成立，)1ln(2ln n但不是但不是 的充分条件的充分条件)1ln(ln nn反而缩小为反而缩小为n2ln一、一、 利用数列极限的定义证明利用数列极限的定义证明: : 1 1、231213lim nnn； 2 2、19.999. 0lim n二、二、 设数列设数列nx有界，又有界，又0lim nny， 证明：证明：0lim nnnyx. .练练 习习 题题1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于

17、不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入1 1、割圆术：、割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合

18、割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割圆术：、割圆术：刘徽刘徽一、概念的引入一、概念的引入“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”1 1、割