与圆有关的阴影面积的计算.

1、辅导材料: 与圆有关的阴影面积的计算准备阶段:1 .圆的面积公式: Sr2.其中r为圆的半径.12 .半圆的面积公式: S半 圆 r .223 .扇形的面积公式: S扇 形 n r .其中r为扇形的半径, n为扇形的半径.36014 .扇形的面积公式（另）: S扇 形12lr .其中r为扇形的半径,l 为扇形的弧长.证明 : S扇形S 扇形2 nr360nr,l1802nr13602nr180l r.5 .关于旋转:（ 1）复习旋转的性质.（ 2）会画出一个图形旋转后的图形（ 3） 旋转的作用: 通过旋转,有时候我们可以把分散的几何条件集中起来,使题目呈现出整体上的特点.该作用也常用于与圆有关

2、的阴影面积的计算.6 .重点介绍: 转化思想在解决数学问题时,把复杂问题简单化,把一般问题特殊化,把抽象问题具体化等的思想方法,叫做转化思想.7 .怎样求与圆有关的阴影的面积?（ 1）利用圆、半圆以及扇形的面积计算公式.（ 2）利用整体与部分之间的关系. 3） 采用整体思想求不规则图形的面积,一般将其转化为规则图形的和差来解决,具体可以通过平移、旋转或割补的形式进行转化.实战阶段: 1.（ 2015.河南）如图（1）所示,在扇形 AOB 中 , AOB=9°0 ,点 C 为 OA 的中点 ,CE OA 交弧 AB 于点 E.以点 O为圆心 ,OC 的长为半径作弧CD 交 OB于点 D

3、.若 OA=2,则阴影部分的面积为在Rt COE 中 , CEO=3°0EOC=6°0AOB=9° 0BOE=3°0在 Rt COE 中 ,由勾股定理得:CE OE2 OC222 123S阴影S COE S扇形 OBE S扇形 OCD解析 : 图（ 1）中阴影所在图形为不规则图形,可以利用整体与部分之间的关系的方法求解,即采用整体和差的方法.解 : 连结 OE. OA=OB=OE CE OACOE 为直角三角形点C 为 OA 的中点11 OC OA OE 1222213029011323603603212 2.（ 2015.贵州遵义）如图（2）所示,在圆

4、心角为90°的扇形OAB 中 ,半径OA=2 cm,C 为弧AB 的中点 ,D、 E 分别是OA、 OB 的中点,则图中阴影部分的面积是 .解 : 连结OC, 并作CM OA 于点 M.点 C 为弧 AB 的中点 , AOB=9°01 AOC= BOC= 1 AOB=4° 5 2 COM 为等腰直角三角形 OM=CM OC=2cm2 CM=OC sin 4522 cm2 D 、 E 分别是OA、 OB 的中点 OD=OE=1 cm DM=OM OD=( 2 1)cm（ 1）三角形全等的判定定理有哪些?（ 2）全等三角形具有怎样的性质?对于第二个问题,全等三角形的面

5、积相等,我们可以借助该性质将三角形的面积等量转化.3）解析 : 本题问题的解决要用到三角形全等的知识,请复习:1DCN=ACB=45°2S阴影S扇形 OBC S COM S CDM S DOE22112222111222212（） cm .222注意 : 若题目对结果无特殊要求,则结果保留,不取具体值. 3.（2015.开封二模）如图（3）所示,在 ABC 中 ,CA=CB, ACB=9°0 ,AB=2.点 D 为 AB 的中点,以点D 为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点 C 恰好在弧EF 上 ,则图中阴影部分的面积为解 : 连结CD.设 DE与 AC交于点

6、M,DF与 BC 交于点 N.ACB=9°0CDE 1=90°CA=CB, 点 D 为 AB 的中点CD AB(等腰三角形“三线合一 ”)CDE 2=90°1= 2 DAM= DCNACB=9°01 CD AB AD 1 2 DE=CD=1在 ADM 和 CDN 中DAM DCN AD CD 21 ADM CDN(ASA) S ADM =S CDN S 四边形DMCN =S CDM +S DCNS acd =S cdm +S adm S 四边形DMCN = S ACD S阴影S扇形 DEF S四边形DMCNS 扇 形 DEF S ACD290121 13

7、602142在求扇形的面积时确定圆心角的度数很重要大多数扇形的圆心角题目会直接给出 ,但有时却需要我们自己求解.见 第 5 题 . 4.（ 2015.洛阳一模）如图（4）所示,在 扇 形 OAB 中 , AOB=9°0 , 半 径OA=6. 将扇形AOB 沿过点 B 的直线折叠 . 点 O 恰好落在弧AB 上点 D 处 ,折痕交OA 于点 C,则图中阴影部分的面积为.解析 : 本题, S阴影S扇形 OAB 2S BOC ,题目所给条件不难求出扇形OAB 的面积,但BOC 的面积不易求得.如果连结 OD,那么OB=OD,再根据对折,得OB=BD, 从而OB=OD=BD, 即BOD为等边

8、三角形.至此 ,问题便很容易解决.解 : 连结 OD.OBOB=ODBOCBDC(由翻折可得)OB=BD, OBC= DBC OB=OD=BD BOD 为等边三角形OBD=6° 0OBC= DBC=3°0在 Rt BOC 中 ,OBC=3°0OC tan OBC tan 30 OBOC 363 OC= 2 3 S阴影 S扇形 OAB 2S BOC90626 2 323602912 3 5.（ 2015.焦作一模）如图（5）所示,在矩形 ABCD 中 ,AB= 3 ,AD=1,把该矩形绕点A 顺时针旋转得到矩形AB C D点 , C 落在AB 的延长线上,则图中阴影

9、部分的面积是.解 : 在 Rt ABC 中 ,由勾股定理得:AC AB 2 BC 2（ 3）2 122 AC=2BCBAC=3°0由旋转的性质得: = BAB =30° S阴影S AB'C ' S扇形 ABB'S ABC S扇形 ABB'3 1 30( 3)22360324 6.( 2014.河南)如图,在菱形ABCD中,AB=1,DAB=6°0.把菱形ABCD 绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB CD,其中点 C 的运动路径为弧CC ,则图中阴影部分的面积为.解 : 由题意可知:A、 D 、 C 三点共线,A、B、 C

10、三点共线,如图所示,设BC 与C D相交于点E.设 D E= x,则 BE= x,CD =2x(为什么 ?) CE=1 x扇形的面积之间的关系为:在 Rt D CE 中 ,由勾股定理得:222D'E2 CE2 D'C222 (1 x)2 (2x)2解之得: x1312 ,x23 1（舍S阴影S扇形OBDS扇形OAC去）D E3 1 , CE= 3 3131 3323 3S D'CED CE 2224得 :AC= 3S扇形ACC ' 2S D'CE30（ 3）22 3 32360423 342 3342 7.（ 2015.新乡一模）如图（7）所示,在 Rt

11、 AOB 中 , AOB=3° 0 , A=90° ,AB=1,将 Rt AOB 绕点O顺时针旋转90°得到Rt COD,则在旋转过程中线段 AB 扫过的面积为.解析 : 本题中阴影部分是由相关图形的旋转形成的,阴影部分的面积与两个解 : 在 Rt AOB 中 ,AOB=3°0 OB=2AB=2由勾股定理得:OA OB2 AB222 123 S阴影S扇形 OBD S扇形 OAC9022 90（ 3）23603 6 0344 8.（ 2014.许昌一模）如图（8）所示,在平面直角坐标系中,已知D 经过原点 O,与 x轴、y轴分别交于A、 B 两点 ,B点的

12、坐标为（0,2 3）,OC 与 D相交于点 C, OCA=3° 0 ,则图中阴影部分的面积为.解析 : 本题将圆的知识点与平面直角坐标系相结合,使得问题的解决更加灵活 . 实际上,平面直角坐标系是研究几何或解析几何的有力工具.S阴影S半圆S AOB222232223径很重要在求扇形的面积时确定扇形的半 9.如图（9）所示,在扇形OAB 中 ,AOB=6° 0 ,扇形半径为4,点 C 在弧解 : 连结 AB.AB 上 ,CD OA,垂足为点D,当OCDAOB=9° 0AB 是 D 的直径OCA=3° 0OBA=3° 0B(0,2 3)OB=2 3

13、解析 : 本题涉及到三角形面积最大的,图中阴影部分的面积为.当直角COD 满足什么条件时,其面积最大,弄清楚这个问题是解决本题问题的关键.设 OA= x,则 AB= 2x解 : 在 Rt COD 中 ,由勾股定理得:在 Rt AOB 中 ,由勾股定理得:OA2 OB 2 AB 2 x2 (2 3)2 (2x)2222OD2 CD2 OC 2 16(OD CD)2 0解之得 : x12, x22（舍去）22OD 2 2OD CD CD 2 0223S AOB23OA=2, AB=422OD 2 CD 2OD CD82显然,当 OD=CD 时 ,取 =号 ,此时CODS阴影S扇形BAB'S

14、扇形BEO'S BO'B'360B)3 3 3 cm228D )3 3 cm28解 : 由题意可知: ABB= 60°, EBO= 15°在 Rt ABD 中 ,由勾股定理得:BD AD2 AB222 22 2 2由正方形的性质得:OB= 2 S BO'B' 1221211)是等腰直角三角形,其面积最大,最大1值为 S COD OD CD 4COD=4° 5 S阴影S扇形 OAC S COD2454436024 10.（ 2015.郑州外国语中学）如图（ 10） 所示,在正方形ABCD 中 ,对角线AC、 BD 相交于点O,

15、 AOB 绕点 B逆时针旋转60°得到BO B,AB 与弧OO 相交于点E,若 AD=2,则图中阴影部分的面积是.22602215( 2)21 3602113127112 11（. 2013.湖北潜江模拟）如图 （ 11） ,在 Rt AB C 中 , C=90° , A=30° , AC=6 cm, CD AB 于 D,以 C 为圆 心 ,CD 为半径画弧,交 BC 于 E,则图中阴影部分的面积为【】12.（2013.洛阳模拟）如图所示,AB 是A)36B）O 的切线,OA=1, AOB=6°0 ,则图中 15.（ 2013.许昌一模）如图所示,在正方

16、形 ABCD 中 ,AB=4,O 为对角线BD的中点,分别以OB、 OD 为直径作O1、O2,则图中阴影部分的面积为（结果保留 ） .C)3 126D）312313（. 2015.新乡二模）如图所示,在菱 16.（ 2015.自贡）如图,AB 是 O 的直径,CD AB, CDB=3°0 ,CD= 2 3 ,则阴影部分的面积为.形 ABCD 中 , B=60° ,AB=2,扇形AEF2,圆心角为60° ,则图中阴影部分的面积是14（. 2013.郑州二模）如图所示,直径AB 为 6 的半圆,将其绕A 点旋转60°,此时点 B 到了点B 处 ,则图中阴影部分 17.（2015.省实验中学）如图所示,在平行四边形ABCD 中 ,AD=2, AB=4, A=30° ,以点A 为圆心 ,AD 的长为半径画弧交AB 于点 E,连结CE,则阴影部分的面积是（结果保留 .）18 .如图,在 ABC 中 ,AB=BC=2,若ABC=9°0 ,则图中阴影部分的面积是19 .如图所示, ABC 中 ,OA=OB=4,A=30° ,AB 与O 相切于点C,则图. 22.如 图 所 示 ,在 等 腰 直 角 ABC中 ,AB=AC=8,