全等三角形的提高拓展经典题教师版

1、全等三角形的提高拓展训练知识点睛全等三角形的性质： 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角(3)有公共边的，公共边常是对应边(4)有公共角的，公共角常是对应角(5)有对顶角的，对顶角常是对应角(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)， 一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角 )要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键全等三角形的判定

2、方法：(1)边角边定理(SAS):两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.(2)角边角定理(ASA):两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.（3）边边边定理（SSS：三边对应相等的两个三角形全等.（4）角角边定理（AAS）:两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（5）斜边、直角边定理（HL）:斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.全等三角形的应用：运用三角形全等可以证明线段相等、角相等、两直线垂直等问题，在 证明的过程中，注意有时会添加辅助线.拓展关键点：能通过判定两个三角形全等进而证明两条线段间的位置关系和大小关系.而证明两条线段或两个角的和、差、倍、分相等是几何证

3、明的基础.例题精讲板块一、截长补短【例11已知 ABC中， A 60o, BD、CE分别平分 ABC和.ACB , BD、CE交于点O ,试判断BE、CD、BC的数量关系，并加以证明.【例2】如图，点M为正三角形ABD的边AB所在直线上的任意一点（点B除外），作DMN 60，射线MN与/ DBA外角的平分线交于点N , DM与MN有怎样的数量关系？【变式拓展训练】如图，点M为正方形ABCD的边AB上任意一点，MN DM且与/ ABC外角的平分线交于点MD与MN有怎样的数量关系?【例3】已知：如图，ABCD是正方形，/ FAD=/FAE.求证：BE+DF=AE.【例4】以ABC的AB、AC为边向

4、三角形外作等边O .求证：OA平分 DOE .ABD、【例5】如图所示，ABC是边长为1的正三角形，BDC是顶角为120的等腰三角形，以DCAB BD ,为顶点作一个60的 MDN，点M、N分别在AB、AC上，求 AMN的局长.【例 6】五边形 ABCDE 中，AB=AE, BC+DE = CD, / ABC+/ AED = 180 ,M求证：AD平分/ CDE板块二、【例7】的度数.全等与角度如图，在 ABC中， BAC 60 , AD是 BAC的平分线，且【例8】在等腰 ABC中，AB AC ,顶角求 BDC .【例9】如图所示，在ABC中，AC BCBAN 50 , ABM 60 ,求

5、NMB.【例10】在四边形ABCD中，已知AB ACAEABC的度数.【例11如图所示，在四边形ABCD中，DAC 12 求ACD的度数.【例12】在正 ABC内取一点D ,使DA DB ,在 BE BA,求 BED .【例13如图,在 ABC中，BAC BCA 44 MAC 16 ,求 BMC的度数.全等三角形证明经典50题（含答案）1 .已知：AB=4, AC=2, D是BC中点，AD是整数,延长AD至I E,使DE=AD,则三角形ADC全等于三角形EBD即 BE=AC=2 在三角形 ABE 中,AB-BEAEAB+BE即:10-22AD10+2 4AD6又AD是整数，则AD=52 .已知

6、：D是AB中点，/ACB=90 ,求证：CD, CAB 36 , ABD 48 , DBC 24 ,ABC外取一点E ,使 DBE DBC ,且AE,M为 ABC内一点！使得！/MCA 30 , BC求AD ABDC二“ C B23.已知：BC=DE , /B=/E, /C=/D, F 是 CD 中点，求证：/ 1=/2证明：连接BF和EFo因为 BC=ED,CF=DF, ZBCF=ZEDFob（所以 三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）。/CF D所以 BF=EF,ZCBF=Z DEFo连接BEo在三角形BEF中,BF二EF。所以 ZEBF=ZBEFo又因为 /ABC=/AED。所以 Z

7、ABE= Z AEBo所以AB=AE。在三角形ABF和三角形AEF中，AB=AE,BF=EF,Z ABF= Z ABE+ Z EBF= Z AEB+ Z BEF= Z AEF。所以 三角形ABF和三角形AEF全等。所以 /BAF=/EAF (/1 = /2)4.已知：/ 1 = /2, CD=DE , EF/AB ,求证：EF=AC证明：过E点，作EG/AC ,交AD延长线于G则/DEG=/DCA, /DGE=/2又 = CD=DE ./ADdGDE (AAS)EG=AC v EF/AB./ DFE= / 11 = /2 ./ DFE= / DGEEF=EGEF=AC5.已知：AD 平分/BA

8、C, AC=AB+BD ,求证：/ B=2/C证明：在AC上截取AE=AB ,连接ED. AD 平分 / BAC丁. / EAD= / BAD又 = AE=AB , AD=AD丁./AED0/ABD (SAS) ./AED= ZB, DE=DBvAC=AB+BDAC=AE+CECE=DE. C=/EDC vZ AED= ZC+Z EDC=2 / C / B=2/C12 .如图，四边形 ABCD中，AB/DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD,且点E在AD 上。求证：BC=AB+DC。证明:在BC上截取BF=BA,连接EF./ ABE= /FBE,BE=BE,WMABE0A FBE(S

9、AS),EFB= / A;AB 平行于 CD,则:/A+/ D=180 ；又/ EFB+/ EFC=180，贝UzEFC=/D;又/ FCE= / DCE,CE=CE,故，FCE A DCE(AAS),FC=CD.所以,BC=BF+FC=AB+CD.13 .已知：AB/ED , /EAB=/BDE, AF=CD , EF=BC ,求证： / F=/CAB/ED,AE/BD 推出 AE=BD,又有 AF=CD,EF=BC所以三角形AEF全等于三角形DCB所以:/C=/F证明：设线段AB,CD所在的直线交于E,（当ADBC时，E点是射线AB,DC的交点）。则： AED是等腰三角形。所以：AE=DE

10、而 AB=CD所以：BE=CE （等量加等量，或等量减等量）所以：4BEC是等腰三角形所以：角B=i1C.15. P是/ BAC 平分线 AD 上一点，ACAB，求证：PC-PBAC-AB作B关于AD的对称点B 因为AD是角BAC的平分线，B 在线段AC上（在AC中间，因为AB较短） 因为 PCPB +BC,PCPB B C,而BC=AC-AB=AC-AB,所以 PC-PB AACD AECD 都面积相等。24. (7 分)如图， ABC 中，/ BAC=90 度，AB=AC直线CE交BA的延长线于F.是/ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于求证：BD=2CE.证明：延长BA、CE

11、,两线相交于点Fv BEXCE ./ BEF=/ BEC=90在zBEF和4BEC中/FBE=/CBE, BE=BE, / BEF= / BEC.BEFABEC(ASA)EF=EC. CF=2CE vZ ABD+ / ADB=90 , ZACF+ / CDE=90又. / ADB= ZCDE ./ABD= /ACF在AABD和AACF中/ ABD= / ACF, AB=AC, / BAD= / CAF=90.ABDAACF(ASA)BD=CFBD=2CE25、（10分）如图：DF=CE , AD=BC , /D=/C。求证：AEDBFC。26、（10分）如图：AE、BC交于点M, F点在AM上

12、，BE / CF,BE=CF。求证：AM是AABC的中线。证明：v BE | CF. ./E=/CFM, /EBM=/FCMv BE=CF.BEMACFMBM=CMAM是AABC的中线.27、（10分）如图：在 ABC中，BA=BC, D是AC的中点。求证：BDXACo三角形ABD和三角形BCD的三条边都相等，它们全等，所以角 们的和是180度，所以都是90度，BD垂直AC28、（10分）AB=AC , DB=DC , F是AD的延长线上的一点求证：BF=CF证明：在 ABD与4ACD中AB=ACBD=DCADB和角CDB相等，它AD=AD.ABDAACD ./ADB= / ADC ./ BD

13、F=/FDC在4BDF与4FDC中BD=DCZ BDF= ZFDCDF=DF/.FBDAFCDBF=FC29、（12分）如图：AB=CD , AE=DF , CE=FB 0 求证：AF=DE 。因为AB=DCAE=DF,CE=FBCE+EF=EF+FB所以三角形ABE二三角形CDF因为 由DCB二角ABFAB=DC BF=CE三角形ABF二三角形CDE 所以AF=DEAB /30公园里有一条“ Z字形道路ABCD,如图所示，其中CD,在AB, CD, BC三段路旁各有一只小石凳 E, F, M,且BE = CF, M在BC的中点,试说明三只石凳E, F, M恰好在一条直线上证：v AB平行CD

14、 （已知）./B=/C （两直线平行，内错角相等）.M在BC的中点（已知）EM=FM （中点定义）在4BME和4CMF中BE=CF （已知）/B=/C （已证）EM=FM （已证） .BME 全等与ACMF （SAS） . / EMB= / FMC （全等三角形的对应角相等） 丁. / EMF= / EMB+ / BMF= / FMC+ / BMF= / BMC=180 （等式的性质） .E, M, F在同一直线上 31.已知：点 A、F、E、C在同一条直线上， AF = CE, BE / DF , BE = DF.求证：ABEACDF.证明：v AF=CE . AF+EF=CE+EF . A

15、E=CF v BE/DF丁. / BEA= / DFC又 = BE=DF /ABE CDF (SAS)32 .已知：如图所示，AB = AD, BC=DC, E、F分另是DC、BC的中点，求证：AE=AF。连2g BD,得到等腰三角形ABD和等腰三角形BDC,由等腰两底角相等得：角ABC=i! ADC在结合已知条件证得：ADEAABF得 AE=AF33 .如图，在四边形 ABCD中，E是AC上的一点，/ 1 = /2, /3=/4,求证：/5=/6.因为角1 二角2/ 3=/4所以角ADC= ABC.又因为AC是公共边，所以AAS=三角形ADC全等于三角形ABC.D所以BC等于DC,角3等于角

16、4,EC=EC三角形DEC全等于三角形BEC所以/ 5= / 634 .已知 AB/DE, BC/ EF, D, C 在 AF 上，且 AD=CF,求证：ABCDEF.因为D,C在AF上且AD=CF所以AC=DF又因为AB平行DE , BC平行EF所以角A+角EDF,角BCA=ij F （两直线平行，内错角相等）然后SSA （角角边）三角形全等35 .已知：如图，AB=AC, BD?AC, CE?AB,垂足分别为 D、E, BD、CE相交于点F,求证：BE=CD.所以 /EBC=/DCBBE证明：因为AB=AC,因为 BDXAC, CEXAB所以 /BEC=/CDBBC=CB （公共边）则有三

17、角形EBC全等于三角形DCB所以BE = CD36、如图，在 ABC中，AD为/ BAC的平分线,求证：DE=DF.AAS 证AD ADF37 .已知：如图，AC BC 于 C, DE AC 于 E , AD AB 于 A , BC =AE .若 AB = 5，求 AD 的长?角 C=t E=90 度角 B= EAD=90 度-角 BACBC=AEABCADAEAD=AB=538 .如图：AB=AC , MEXAB, MFXAC,垂足分别为 E、F,ME=MF 。求证：MB=MC证明v AB=AC.ABC是等腰三角形. B=/CX v ME=MF , BEM和 CEM是直角三角形 .BEM 全

18、等于 CEMMB=MC40.在 ABC 中，ACB 90 , AC BC ,直线 MN 经过点 C ,且 AD MN 于 D , BE MN于E .当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ADC* CEB ;DE AD BE ;(1)中的结论还成立吗？若成立，请给出证明;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时, 若不成立，说明理由.(1)证明：=/ ACB=90 ,(2) .ACD+/ BCE=90 ,(3)而 ADLMN 于 D, BEXMN 于 E,(4) . ADC= / CEB=90 , / BCE+/ CBE=90 ,(5) . ACD= /CBE.(6)在 RtADC 和 R

19、tCEB 中， / ADC= / CEB/ACD= / CBE AC=CB ,(7) a RtAADCRtACEB (AAS),(8) a AD=CE , DC=BE,(9) . . DE=DC+CE=BE+AD ;(2)不成立，证明：在AADC 和ACEB 中，/ADC= / CEB=90 /ACD=/CBE AC=CB ,.ADCACEB (AAS), . AD=CE , DC=BE , . DE=CE-CD=AD-BE ;41.如图所示，已知 AE AB, AFLAC, AE=AB , AF=AC求证：(1) EC=BF; (2) ECXBF(1)证明；因为AE垂直AB(2)所以角 EA

20、B=ij EAC+角 CAB=90 度(3)因为AF垂直AC(4)所以角 CAF=ij CAB+角 BAF=90 度(5)所以角 EAC=i! BAF(6)因为 AE=AB AF=AC(7)所以三角形EAC和三角形FAB全等(8)所以 EC=BF(9)角 ECA= F(10) (2)延长FB与EC的延长线交于点G(11)因为角ECA=ij F(已证)(12)所以角 G=i! CAF(13)因为角CAF=90度(14)所以EC垂直BF42.如图：BEXAC, CFAB, BM=AC , CN=AB。求证：(1) AM=AN ; (2) AMXANo证明：NA(1) v BEXAC, CFAB丁.

21、 / ABM+ / BAC=90 , / ACN+ / BAC=90 ./ABM= /ACNv BM=AC, CN=AB.ABMANACAM=AN(2),.ABMANAC. / BAM= / N. / N+ / BAN=90/ BAM+ / BAN=90即 / MAN=90 .AM LAN43 .如图，已知/ A=/D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC/ EF连接BF、CE,证明 ABF全等于 DEC (SAS),然后通过四边形BCEF对边相等的证得平行四边形 BCEF从而求得BC平行于EF44 .如图，已知AC / BD , EA、EB分别平分/ CAB和/ DBA ,CD过点

22、E,则AB与AC+BD相等吗？请说明理由在AB上取点N，使得AN=AC/ CAE= / EAN ,AE为公共边，所以三角形CAE全等三角形EAN所以/ ANE= /ACE又AC平行BD所以/ ACE+ /BDE=180而/ ANE+ /ENB=180所以/ ENB= /BDE/ NBE= / EBNBE为公共边，所以三角形EBN全等三角形EBD所以BD=BN所以 AB=AN+BN=AC+BD45、（10分）如图,已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE/CF.证明：,. AD是中线BD=CDv DF=DE , / BDE= Z CDF .-.BDEACDF ./ BED= /CFDBE | CF46、（10分）已知：如图，AB二 求证：AB / CD .证明：v DEXAC, BFXAC, ./DEC= / AFB=90 , 在 RtA DEC 和 RtBFA 中, RtA DEC RtA