高中数学2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系课件新人教A版必修a

1、2.1.2 空间中直线与直线之间的位空间中直线与直线之间的位置关系置关系 自自 学学 导导 引引(学生用书学生用书P26) 1.了解空间两条直线的位置关系了解空间两条直线的位置关系.2.理解并掌握公理理解并掌握公理4,等角定理等角定理,初步学会应用它们来证明简单初步学会应用它们来证明简单的几何问题的几何问题.3.了解异面直线所成的角了解异面直线所成的角,会用图形表示两条异面直线会用图形表示两条异面直线.4.用平移法求两条异面直线所成的角用平移法求两条异面直线所成的角,初步体会把空间问题转初步体会把空间问题转化为平面问题的数学思想化为平面问题的数学思想.课课 前前 热热 身身(学生用书学生用书P

2、26) 1.空间两条直线的位置关系空间两条直线的位置关系:_ _ _.2.平行公理平行公理(公理公理4):平行于同一条直线的两条直线平行于同一条直线的两条直线_.可用符号表示为可用符号表示为_.3.等角定理等角定理:空间中如果两个角的两边分别对应空间中如果两个角的两边分别对应_,那那么这两个角么这两个角_.4.不同在不同在_一个平面内的两条直线叫做异面直线一个平面内的两条直线叫做异面直线.相交相交平行平行异面异面互相平行互相平行若若ab,bc,则则ac平行平行相等或互补相等或互补任何任何5.直线直线a,b是异面直线是异面直线,经过空间任一点经过空间任一点O作直线作直线a b,使使_,_,我们把

3、直线我们把直线a与与b所成的所成的_,叫做异面直线叫做异面直线a与与b所成的角所成的角.其范围是其范围是_.当异面直当异面直线线a b所成角为所成角为_时时,就说异面直线互相垂直就说异面直线互相垂直,记作记作_.aabb锐角或直角锐角或直角(0,2直角直角ab名名 师师 讲讲 解解 (学生用书学生用书P26) 1.不要将平面几何定理随意搬用于空间不要将平面几何定理随意搬用于空间课本在本节中介绍公理课本在本节中介绍公理4之前引用了平面几何中的相应命之前引用了平面几何中的相应命题题:“在同一平面内在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行如果两条直线都和第三条直线平行,那那么这两条直线也互相平行

4、么这两条直线也互相平行.”这种这种“平行的传递性平行的传递性”在空在空间也是成立的间也是成立的.又如又如,在平面几何中在平面几何中,顺次连结四边形各边的顺次连结四边形各边的中点中点,可以得到一个平行四边形可以得到一个平行四边形;同样同样,顺次连结空间四边形顺次连结空间四边形各边的中点各边的中点,也可以得到一个平行四边形也可以得到一个平行四边形.从上面的这些例从上面的这些例子可以看出子可以看出,有些平面几何的定理可以推广到空间图形中有些平面几何的定理可以推广到空间图形中来来,这种方法叫类比法这种方法叫类比法,类比法是人类发现真理的一种重要类比法是人类发现真理的一种重要方法方法.但类比法稍不注意有

5、时就会出差错但类比法稍不注意有时就会出差错.例如例如,在平面几何中在平面几何中,两条直线不相交就平行两条直线不相交就平行,而在空间可能是而在空间可能是两条异面直线两条异面直线.又如又如“在平面几何中在平面几何中,垂直于同一直线的两垂直于同一直线的两直线互相平行直线互相平行”,而在空间而在空间,垂直于同一条直线的两条直线垂直于同一条直线的两条直线或是平行直线或是平行直线,或是相交直线或是相交直线,或是异面直线或是异面直线.一般来说一般来说,要把关于平面图形的结论推广到空间图形要把关于平面图形的结论推广到空间图形,必须经必须经过证明过证明,绝不能单凭自己的主观猜测绝不能单凭自己的主观猜测.2.如何

6、理解异面直线所成的角如何理解异面直线所成的角由于两异面直线不在同一平面内由于两异面直线不在同一平面内,因此采用过空间任一点因此采用过空间任一点O,分别作两条异面直线的平行线分别作两条异面直线的平行线,就形成了一组相交直线所就形成了一组相交直线所成的角成的角,由等角定理知由等角定理知,两条异面直线所成的角两条异面直线所成的角,只与两直线只与两直线的相对位置有关的相对位置有关,而与点而与点O位置的选择无关位置的选择无关,正因如此正因如此,在具在具体找角时体找角时,点点O往往可以在两条异面直线中的一条上选取往往可以在两条异面直线中的一条上选取,这是研究异面直线所成的角时经常采用的方法这是研究异面直线

7、所成的角时经常采用的方法.3.如何求异面直线所成的角如何求异面直线所成的角求两异面直线所成的角的一般步骤求两异面直线所成的角的一般步骤:(1)作作:根据所成角的定义根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角用平移法作出异面直线所成的角;(2)证证:证明作出的角就是要求的角证明作出的角就是要求的角;(3)计算计算:求角的值求角的值,常利用解三角形常利用解三角形.可用可用“一作一作”“”“二证二证”“”“三计算三计算”来概括来概括.平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别要注意识别这种情况这种情况.在初中只学习了解直角三角形在

8、初中只学习了解直角三角形,而两异面直线所成角一般而两异面直线所成角一般是放在斜三角形中是放在斜三角形中,因此受到解三角形的限制因此受到解三角形的限制,在本章中仅仅知道两在本章中仅仅知道两异面直线所成角即可异面直线所成角即可,不必在此过多纠缠不必在此过多纠缠,将来会在选修中学习两异将来会在选修中学习两异面直线所成角的求法面直线所成角的求法.典典 例例 剖剖 析析 (学生用书学生用书P27) 题型一题型一 平行公理的应用平行公理的应用例例1:已知正方体已知正方体ABCDA1B1C1D1,E F分别为分别为AA1 CC1的的中点中点,求证求证:BFD1E是平行四边形是平行四边形.分析分析:因为平行四

9、边形是平面图形因为平行四边形是平面图形,只要证明一组对边平行且只要证明一组对边平行且相等相等,或证两组对边分别平行即可或证两组对边分别平行即可.证明证明:如图所示如图所示,取取BB1的中点的中点G,连结连结GC1,GE.F为为CC1的中点的中点,BG FC1.四边形四边形BFC1G是平行四边形是平行四边形,BF GC1.又又EG A1B1,A1B1 C1D1,EG C1D1,四边形四边形EGC1D1是平行四边形是平行四边形.ED1 GC1.BF ED1.四边形四边形BFD1E是平行四边形是平行四边形. 规律技巧规律技巧:空间几何问题空间几何问题,常转化为平面几何问题来作答常转化为平面几何问题来

10、作答,正方正方体作为一种典型的立体几何模型体作为一种典型的立体几何模型,常是解答立体几何问题常是解答立体几何问题的有效工具的有效工具.变式训练变式训练1:如图如图,已知在四面体已知在四面体ABCD中中,ACBD,E F G H分别是棱分别是棱 AB BC CD DA的中点的中点.求证求证:四边形四边形EFGH是矩形是矩形.证明证明:EF是是ABC的中位线的中位线,EFAC,且且同理同理,GHAC,且且.GHEF,且且GH=EF,四边形四边形EFGH是平行四边形是平行四边形.又又EFAC,FGBD,而而ACBD.EFFG,四边形四边形EFGH是矩形是矩形.1.2EFAC12GHAC题型二题型二

11、等角定理的应用等角定理的应用例例2:已知已知E E1分别是正方体分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱的棱AD A1D1的中点的中点.求证求证:BEC=B1E1C1.分析分析:解答本题要先证明角的两边分别平行解答本题要先证明角的两边分别平行,然后应用等角定然后应用等角定理得出结论理得出结论.证明证明:如图如图,连接连接EE1.E1 E分别为分别为A1D1,AD的中点的中点,A1E1 AE.A1E1EA为平行四边形为平行四边形,A1A E1E.又又A1A B1B,E1E B1B,四边形四边形E1EBB1是平行四边形是平行四边形.E1B1EB,同理同理E1C1EC.又又C1E1B1与与CEB方向

12、相同方向相同,C1E1B1=CEB. 规律技巧规律技巧:证明角的相等问题证明角的相等问题,等角定理及其推论是较常用的等角定理及其推论是较常用的方法方法.另外另外,通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的通过证明三角形的相似或全等也可以完成角的相等的证明相等的证明,如本例还可通过证明如本例还可通过证明B1C1E1与与BCE全等全等来证明角相等来证明角相等.变式训练变式训练2:填空填空:(1)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,并且方向并且方向相同相同,那么这两个角那么这两个角_.(2)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行如果一个角的两边和另一个角

13、的两边分别平行,并且方向并且方向相反相反,则这两个角则这两个角_.(3)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,其中一组其中一组方向相同方向相同,另一组方向相反另一组方向相反,那么这两个角那么这两个角_.(4)如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两那么这两组相交直线所成的角组相交直线所成的角_.相等相等相等相等互补互补相等或互补相等或互补题型三题型三 异面直线所成的角异面直线所成的角例例3:如图所示如图所示,A点是点是BCD所在平面外一点所在平面外一点,AD=BC,E F分别是分别是AB CD的中点的

14、中点,当当时时,求异面直求异面直线线AD和和BC所成的角所成的角.22EFAD解解:如图如图,设设G为为AC的中点的中点,连结连结EG FG.E,F分别为分别为AB CD的中点的中点,EGBC,且且BC;FGAD,且且又又AD=BC,EG与与GF所成的锐角所成的锐角(或直角或直角)即为即为AD与与CB所成的角所成的角.在在EFG中中,由于由于,又又,EG2+FG2=EF2,即即EGFG.EGF=90.故故AD与与BC所成角为所成角为90.1;2EGBC1.2FGAD1.2EGFGAD12EGFGAD22EFAD规律技巧规律技巧:求异面直线所成的角求异面直线所成的角,通常把异面直线平移到同一通常

15、把异面直线平移到同一个三角形中去个三角形中去,通过解三角形求得通过解三角形求得,但要注意异面直线所成但要注意异面直线所成角的范围是角的范围是(0,.2变式训练变式训练3:空间四边形空间四边形ABCD中中,AB=CD,AB与与CD成成30角角,E F分别是分别是BC AD的中点的中点,求求EF与与AB所成的角所成的角.变式变式训练训练3:空间四边形空间四边形ABCD中中,AB=CD,AB与与CD成成30角角,E F分别是分别是BC AD的中点的中点,求求EF与与AB所成的角所成的角.解解:如下图所示如下图所示,取取BD的中点的中点G,连结连结EG,FG,E F分别是分别是BC AD的中点的中点,

16、EGCD,GFAB,且且EGF(或其补角或其补角)为直线为直线AB与与CD所成的角所成的角.EGF=30.又又AB=CD,EG=GF.在等腰三角形在等腰三角形EGF中中,EFG=75即为即为EF与与AB所成的角所成的角.EF与与AB所成角为所成角为75.11,.22EGCD GFAB易错探究易错探究例例4:分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是分别和两条异面直线相交的两条直线的位置关系是( )A.相交相交 B.平行平行C.异面异面D.相交或异面相交或异面错解错解:C错因分析错因分析:本题中没有限制交点的个数本题中没有限制交点的个数,因此应分两种情况解因此应分两种情况解答答.当有四个交点时

17、当有四个交点时,这两条直线异面这两条直线异面;当有三个交点时当有三个交点时,这两这两条直线相交条直线相交,如下图所示如下图所示.错解中只考虑了有四个交点的情错解中只考虑了有四个交点的情形形.正解正解:D技技 能能 演演 练练(学生用书学生用书P28) 基础强化基础强化1.若若AOB=A1O1B1,且且OAO1A1,OA与与O1A1的方向相同的方向相同,则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( )A.OBO1B1且方向相同且方向相同B.OBO1B1C.OB与与O1B1不平行不平行D.OB与与O1B1不一定平行不一定平行解析解析:可借见长方体找出反例可借见长方体找出反例.答案答案:D2.在正方体

18、在正方体ABCD-A1B1C1D1中中,与直线与直线BD异面且成异面且成60角的角的面对角线有面对角线有( )A.1条条 B.2条条C.3条条D.4条条解析解析:画图易知画图易知,它们是它们是AD1 AB1,CB1,CD1共四条共四条.答案答案:D3.“a,b是异面直线是异面直线”是指是指:ab=,且且a b;a平面平面,b平面平面,且且ab=;a平面平面,b平面平面,且且=;a平面平面,b平面平面;不存在平面不存在平面,使使a ,且且b成立成立.上述说法中上述说法中( )A.正确正确 B.正确正确C.正确正确D.正确正确解析解析:说法等价于说法等价于a与与b既不相交既不相交,又不平行又不平行

19、,所以所以a与与b为异面为异面直线直线.正确正确,说法等价于说法等价于a与与b不同在任何一个平面内不同在任何一个平面内,即即a b异面异面,正确正确.答案答案:D4.一条直线和两条异面直线的一条平行一条直线和两条异面直线的一条平行,则它和另一条的位置则它和另一条的位置关系是关系是( )A.平行或异面平行或异面B.相交或异面相交或异面C.异面异面D.相交相交答案答案:B5.在空间在空间,下列命题中正确的个数为下列命题中正确的个数为( )有两组对边相等的四边形是平行四边形有两组对边相等的四边形是平行四边形;四边相等的四边形是菱形四边相等的四边形是菱形;平行于同一条直线的两条直线平行平行于同一条直线

20、的两条直线平行;有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.A.1B.2C.3D.4解析解析: 不正确不正确, 正确正确.因此选因此选B.答案答案:B6.右图是正方体的平面展开图右图是正方体的平面展开图,在这个正方体中在这个正方体中,BM与与ED平行平行;CN与与BE是异面直线是异面直线;CN与与BM成成60角角;DM与与BN垂直垂直.以上四个命题中以上四个命题中,正确命题的序号是正确命题的序号是( )A.B.C.D.解析解析:把展开图还原为正方体便知把展开图还原为正方体便知, 正确正确.答案答案:C7.设设a,b,c表示直线表示直线,给出四个论给出四个论

21、断断:ab;bc;ac;ac.以其中任意两个为条件以其中任意两个为条件,另外的某一个为结论另外的某一个为结论,写出你认为正确的一个命题写出你认为正确的一个命题_. 8.如图所示如图所示,M N分别是正方体分别是正方体ABCD-A1B1C1D1中中BB1 B1C1的中点的中点.(1)则则MN与与CD1所成角为所成角为._(2)则则MN与与AD所成的角为所成的角为._6045解析解析:(1)由图易知由图易知,MNAD1,ACD1构成正三角形构成正三角形.AD1与与CD1成成60角角,MN与与CD1成成60角角.(2)AD1与与AD成成45角角,而而MNAD1,MN与与AD成成45角角.能力提升能力

22、提升9.如图所示如图所示,在空间四边形在空间四边形ABCD中中,AD=BC=2,E F分别是分别是AB CD的中点的中点.若若求求AD BC所成的所成的角角.2,EF 解解:取取BD的中点的中点H,连结连结EH FH,因为因为E是是AB的中点的中点,且且AD=2,EHAD,EH=1.同理同理FHBC,FH=1,EHF是异面直线是异面直线AD BC所成的角所成的角,又因为又因为EFH是等腰直角三角形是等腰直角三角形,EF是斜是斜边边,EHF=90,即即AD BC所成的角是所成的角是90.2,EF 10.如图如图,直线直线a,b是异面直线是异面直线,A B C为直线为直线a上三点上三点,D E F是直线是直线b上三点上三点,A B C D E分别为分别为AD DB BE EC CF的中点的中点.求证求证:(1)ABC=CDE;(2)A B C D E共面共面.证明证明:(