高一数学基本初等函数教案

1、§3.1.1指数（第12课时）第一课时一、复习提问：什么是平方根？什么是立方根？一个数的平方根有几个，立方根呢？归纳：在初中的时候我们已经知道：若x2a，则x叫做a的平方根.同理，若x3a，则x叫做a的立方根.根据平方根、立方根的定义，正实数的平方根有两个，它们互为相反数，如4的平方根为2，负数没有平方根，一个数的立方根只有一个，如一8的立方根为一2；零的平方根、立方根均为零.二、新课讲解类比平方根、立方根的概念，归纳出n次方根的概念.n*n次方根：一般地，若xa,则x叫做a的n次方根（throot）,其中n>1,且nN，当n为偶数时，a的n次方根中，正数用na表示，如果是负数

2、，用na表示，na叫做根式.n为奇数时，a的n次方根用符号Va表示，其中n称为根指数，a为被开方数.艮：当n为偶数时，一个数的n次方根有多少个？当n为奇数时呢？a的n次方根有一个，为萌a的n次方根有两个，为naa的n次方根只有一个，为naa的n次方根不存在类比平方根、a为正数:a为负数:立方根,n为奇数,n为偶数,n为奇数,n为偶数,零的n次方根为零，记为n00举例：16的4次方根为2,27的5次方根为5一27等等，而27的4次方根不存在.小结：一个数到底有没有n次方根，我们一定先考虑被开方数到底是正数还是负数，还要分清n为奇数和偶数两种情况.根据n次方根的意义，可得：（na）na（；a）na

3、肯定成立,表示an的n次方根，等式a一定成立吗？如果不一定成立，那么等于什么？通过探究得到：n为奇数，an为偶数，|a|a,a0a,a0如3(3)33_273,4(8)4|8|8小结：当n为偶数时，nan化简得到结果先取绝对值，再在绝对值算具体的值，这样就避免出现错误:例题：求下列各式的值(1)(1)3(8)3(2),(10)24(3)4(ab)2分析:当n为偶数时，应先写",孑|a|,然后再去绝对值思考:孑(n.a)n是否成立，举例说明.课堂练习：1.求出下列各式的值(1)7(2)73(3a3)3(a1)：(3a3)42.若a22a1a1,求a的取值范围3计算38亍4(32)43(

4、2、3)3三归纳小结：1.根式的概念：若n>1且nN*，则x是a的n次方根,n为奇数时,x=na,n为偶数时，xna；2.掌握两个公式:n为奇数时,(Va)n,n为偶数时,Va|a|a(a0)a(a0)第二课时提问：1初中时的整数指数幕，运算性质？anaaaa,a01(a0),00无意义1an-n(a0)amnmnm、nmnaaa；(a)an、mmn(a)a(ab)n(有理数，无理数统称实数)2.观察以下式子，并总结出规律：10 5产5(T?a2a7什么叫实数?8a?124a124(a3)4a3a75(W10a7(分数指数幕小结：当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以写成分数作

5、为指数的形式,形式)根式的被开方数不能被根指数整除时，根式是否也可以写成分数指数幕的形式如：23a2a3(a0)1一bb2(b0)5VCc4(c0)m即：naman(a0,nN*,n1)为此，我们规定正数的分数指数幕的意义为：man:am(a0,m,nN*)正数的定负分数指数幕的意义与负整数幕的意义相同m1*即：anm(a0,m,nN)an规定：o的正分数指数幕等于0，0的负分数指数幕无意义.说明：规定好分数指数幕后，根式与分数指数幕是可以互换的，分数指数幕只是根式的一种新的写法,n111而不是amamam(a0)由于整数指数幕，分数指数幕都有意义，因此，有理数指数幕是有意义的，整数指数幕的运

6、算性质，可以推广到有理数指数幕，即：(1)rasaars(a0,r,sQ)(2)(ar)Sars(a0,r,sQ)(3)(ab)rrrab(Q0,b0,rQ)若a>0,P是一个无理数，则P该如何理解？为了解决这个问题，引导学生先阅读课本P62P62.即：、2的不足近似值，从由小于.2的方向逼近、2,2的过剩近似值从大于、2的方向逼近,2.所以，当.2不足近似值从小于.2的方向逼近时，52的近似值从小于52的方向逼近52.当2的过剩似值从大于.2的方向逼近,2时，52的近似值从大于52的方向逼近52,(如课本图所示)所以，52是一个确定的实数.一般来说，无理数指数幕ap(a0,p是一个无理

7、数)是一个确定的实数，有理数指数幕的性质同样适用于无理数指数幕无理指数幕的意义，是用有理指数幕的不足近似值和过剩近似值无限地逼近以确定大小思考：23的含义是什么？由以上分析，可知道，有理数指数幕，无理数指数幕有意义，且它们运算性质相同，实数指数幕有意义，也有相同的运算性质，即:rsrs/aaa(a0,rR,sR)(ar)sars(a0,rR,sR)(ab)rarbr(a0,rR)3例题(1)(P60,例2)求值222解：83(23)23224-2-2(1)11 252(52)25251-5 (-)5(2-)521(5)3216324(3)2327 (匕)4(2)4(2)32781338(2)用

8、分数指数幕的形式表或下列各式(a>0)1a2解：a3.、aa3a317a22分析:8a3412(a)2a空先把根式化为分数指数幕，再由运算性质来运算补充练习：1计算:(2：1空的结果4n812.若a33,a10384,求a3(並)7n3的值a3第三课时教学设想：1 复习分数指数幕的概念与其性质2 例题讲解例1计算下列各式(式中字母都是正数)211115(1) (2a3b2)(6a'b3)(3a6b6)13(2) (m4n8)8（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的整数幕的运算性质及运算规律扩

9、充到分数指数幕后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幕的乘方进行计算例2计算下列各式（1）（325,125）4252a（2）=（a>0）a.3a2分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幕再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幕后再由运算法则计算小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数

10、，也不能既有分母，又含有负指数.课堂练习：化简：29（1）c、9）3（3102）2:1002（2）32；2322（3）3.1.2指数函数及其性质（2个课时）第一课时一教学设想：1. 情境设置在本章的开头，问题（1）中时间x与GDP值中的y1.073x（xx20）与问题1中时间t和C-14含量P的对应关系P=（-）530'，请问这两个函数有什么共同特征.这两个函数有什么共同特征1丄1t把P二（）573。变成p（丄）573°t，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用yax（a>0且a工1来表示）二讲授新课x是自变量，函数的定义域为R.指数函数的定义

11、提问:在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)y2x2(2)y(2)x(3)y2x(4)yx(5)y2x(6)y4x2(7)yxx(8)y(a1)x(a>1，且a2)般地，函数yax（a>0且a工1）叫做指数函数，其中xa>0,x是任意一个实数时，a是一个确定的实数，所小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为以函数的定义域为实数集R.卄当x0时,ax等于0右a0,当x0时,ax无意义1（2）x，先时，对于x=6，x11等等，在实数范围内的函数值不存在8若a=1,y1x1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足yax（a0,且a1）的形式才能称为1指数函数，a为常数，象

12、y=2-3x,y=2x,yxx,y3x5,y3x1等等，不符合yax（a0且a1）的形式，所以不是指数函数.我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究.下面我们通过1函数y2x的图象和函数y（）x的图象来对比研究指数函数图象。1从图中我们看出y2%与y$)x的图象有什么关系？1通过图象看出y2x与y(q)x的图象关于y轴对称,实质是y2x上的点(-x,y)1与y=(2)x上点(-x,y)关于y轴对称.1讨论：y2x与yq)x的图象关于y轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.从图上看yax(a&

13、gt;1)与yx问题2:根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性问题3:指数函数yax(a>0且a工1),当底数越大时，函数图象间有什么样的关系图象特征函数性质a>10vav1a>10vav1向x轴正负方向无限延伸函数的定义域为R图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为R+函数图象都过定点(0,1)0“a=1自左向右，图象逐渐上升自左向右，图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1x>0,ax>1x>0,axv1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象

14、限内的图象纵坐标都大于1xxv0,av1xxv0,a>15禾U用函数的单调性，结合图象还可以看出:(1)在a,b上,f(x)=ax(a>0且a工1)值域是f(a),f(b)或f(b),f(a);(3)对于指数函数(2)若x0,则f(x)1;f(x)取遍所有正数当且仅当xR;f(x)ax(a>0且a丰1),总有f(1)a;(4)当a>1时，若x-ivx2，贝Uf(x1)vf(x2)；例题:例1：已知指数函数f(x)ax(a>0且a工1)的图象过点(3,n),求f(0),f(1),f(3)的值.1分析：要求f(0),f(1),f(3)的值，只需求出a,得出f(x)=(

15、B)x,再把0,1,3分别代入x，即可求得f(0),f(1),f(3).提问：要求出指数函数，需要几个条件？1补充练习：1、函数f(x)(-)x的定义域和值域分别是多少？2、当x1,1时,函数f(x)3x2的值域是多少？例2:求下列函数的定义域：42Ix(1)y2x4(2)y(三严3x分析：类为ya(a1,a0)的定义域是R,所以，要使(1)，(2)题的定义域，保要使其指数部分有意义就得.第2课时教学过程：1、复习指数函数的图象和性质2、例题例1:比较下列各题中的个值的大小(1)1.72.5与1.73(2)0.80.1与0.80.2解法1:用数形结合的方法，如第(3)1.70.3与0.93.1

16、1)小题，用图形计算器或计算机画出y1.7x的图象，在图象上找出横坐标分别为2.5,3的点，显然,3的点在横坐标为2.5的点的上方，所以图象上横坐标就为x1.72.51.73.解法2:用计算器直接计算：1.72.53.771.734.91所以，1.72'51.73解法3:由函数的单调性考虑x253因为指数函数y1.7在R上是增函数，且2.5V3,所以，1.7'1.7仿照以上方法可以解决第(2)小题.注：在第(3)小题中，可以用解法1，解法2解决，但解法3不适合.由于1.70'3=0.93'1不能直接看成某个函数的两个值，因此，在这两个数值间找到1，把这两数值分别

17、与1比较大小，进而比较1.70.3与0.93-1的大小.思考：1、已知aO.80.7,bO.80.9,c1.20.8,按大小顺序排列a,b,c.112. 比较a3与a2的大小(a>0且a丰0).指数函数不仅能比较与它有关的值的大小，在现实生活中，也有很多实际的应用例2截止到1999年底，我们人口哟13亿，如果今后，能将人口年平均均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)？分析：可以先考试一年一年增长的情况，再从中发现规律，最后解决问题：1999年底人口约为13亿经过1年人口约为13(1+1%)亿经过2年人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%尸亿经

18、过3年人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13(1+1%)3亿经过x年人口约为13(1+1%)x亿经过20年人口约为13(1+1%)20亿解：设今后人口年平均增长率为1%，经过x年后，我国人口数为y亿，则y13(11%)x20当x=20时，y13(11%)16(亿)答：经过20年后，我国人口数最多为16亿.小结：类似上面此题，设原值为N，平均增长率为P，则对于经过时间x后总量yN(1p)x,像yN(1p)x等形如ykax(KR，a>0且a丰1)的函数称为指数型函数.思考：探究：(1) 如果人口年均增长率提高1个平分点，利用计算器分别计算20年后，33年后的我国人口数.(2) 如果年平

19、均增长率保持在2%，利用计算器20202100年，每隔5年相应的人口数.(3) 你看到我国人口数的增长呈现什么趋势？(4) 如何看待计划生育政策？3. 课堂练习(1)右图是指数函数yaxybxyxcydx的图象，判断a,b,c,d与1的大小xdx(2) 设yia3x1,y2a2x,其中a>0,a丰1，确定x为何值时，有：y1y2y1>y?3(3) 用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的，写出存留污垢y与漂洗次数x的函数关系式，若要使4存留的污垢，不超过原有的1%,则少要漂洗几次§322对数321对数（第一课时）一教学过程：1提出问题思考：y131.01x中，哪一年的人口数要达

20、到10亿、20亿、30亿，该如何解决？182030即:1.01x,1.01x,1.01x,在个式子中，X分别等于多少？131313象上面的式子，已知底数和幕的值，求指数，这就是我们这节课所要学习的对数（引出对数的概念）1、对数的概念一般地，若axN（a0,且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作xlogaNa叫做对数的底数，N叫做真数.举例：如：4216,则2log416，读作2是以4为底，16的对数.111422，则一log42，读作一是以4为底2的对数.22提问：你们还能找到那些对数的例子2、对数式与指数式的互化在对数的概念中，要注意：（1）底数的限制a>0,且a丰1（2）axN

21、logaNx指数式对数式幕底数jat对数底数指数jxt对数幕JNt真数说明：对数式logaN可看作一记号，表示底为a（a>0,且a工1）,幕为N的指数工表示方程axN（a>0,且a丰1）的解.也可以看作一种运算，即已知底为a（a>0，且a丰1）幕为N,求幕指数的运算.因此，对数式logaN又可看幕运算的逆运算.例题：例1将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式(1)54=645(2)261164(3)丁573(4)log11642(5)log100.012(6)loge102.3033.对数的性质：提问：因为a>0,a工1时,xaNxlogaN则由1、a0=12、a1=

22、a如何转化为对数式负数和零有没有对数?根据对数的定义，alogaN=?由以上的问题得到 :a°1,a1a（a>0,且a丰1） /a>0，且a丰1对任意的力，log10N常记为lgN.恒等式：alogaN=N4、两类对数以10为底的对数称为常用对数，log10N常记为lgN.以无理数e=2.71828为底的对数称为自然对数，logeN常记为InN.说明：在例1中，log10O.O1应改为lg0.01,loge10应改为ln10.例2:求下列各式中x的值(1)log64x23(2)叽86(3)lg100x(4)lne2x分析：将对数式化为指数式，再利用指数幕的运算性质求出x.

23、练习：1.将下列指数式与对数式互化，有x的求出x的值1(1)52(4)(1)x642.求alogablogbClogcN的值(a,b,c(2)log虑4x(5)lg0.0001xR+,且不等于1,N>0).:丄27lne5x3计算3叽5、3也5的值.4归纳小结：对数的定义abNblogaN（a>0且a工1）ri的对数是零，负数和零没有对数对数的性质Wlogaa1a>0且a工1、alogaNN对数（第二课时）教学过程1.设置情境复习：对数的定义及对数恒等式logaNb>0,且a工1,N>0),指数的运算性质m、nmn2讲授新课探究：在上课中,(a)a我们知道，对数式

24、可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道amanamn，那mn如何表示，能用对数式运算吗?如:amanamn,设Mam,Nan。于是MNamn,由对数的定义得到MammlogaM,NannlogaNMNamnmnlogaMNlogaMlogaNlogaMN（放出投影）即：同底对数相加，底数不变，真数相乘提问：你能根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质吗？（让学生探究，讨论）如果a>0且a工1,M>0,N>0，那么(1)logaMNlogaMlogaN(2).MlogayaNlogaMlogaN(3)logaM

25、nn叽M(nR)证明:(1)令Mamn,Na口M贝U：一mnaamna又由MlogamlogaM,n即:logaMlogalogaNloga(3)n0寸,令NlogaMn,则MNa7bnlogaM,则MbanbanbMaR当n=0时,即loglogaMlogaN显然成立logaMnnlogaM提问：1.在上面的式子中，为什么要规定1.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗?例题：1.判断下列式子是否正确,(1)logaxlogayloga(xy)(3)(5)(logaX)nnlogax(7)nlogax用logax,(1)loga$z分析:(1)a>0，且a丰1,M>0,N>

26、;0?(2)logaX(4)logaxy>0且a丰1,x>0,x>y，则有logayloga(xy)logaXlogay(6)gxg1xlogay，logaz表示出（1）（2）小题，并求出（3）、（4）小题的值.(2)loga利用对数运算性质直接计算:(3)logz(4725)(4)lg5100loga'logaxyzlogalogaX2®loga匹loglogaZlogaXlogaylogaZaX2loga、yloga3z2(2)(3)(4)11=2logax-logay-logaz237575log2(42)log24log221451922lg5100

27、lg105-5点评：让学生完成P79练习的第1，2，3题提出问题：你能根据对数的定义推导出下面的换底公式吗?a>o,且a丰1,c>o,且e丰1,b>0此题关键是要记住对数运算性质的形式，要求学生不要记住公式lOgablog*logca先让学生自己探究讨论，教师巡视，最后投影出证明过程设Mlogca,Nlogcb,则a11且aMc,所以cN(aM)NNaMb即:M3,又因为Mlogca所以：煙卫logablogca小结：以上这个式子换底公式，换的底C只要满足C>0且cm1就行了，除此之外，对C再也没有什么特定的要求.提问：你能用自己的话概括出换底公式吗？说明：我们使用的计

28、算器中，“log”通常是常用对数.因此，要使用计算器对数，一定要先用换底公式转化为常用对数如:log23lg3lg2即计算3log2的值的按键顺序为:“log”t“2”再如：在前面要求我国人口达到18亿的年份,就是要计算18Xlog1.01石所以Xlog1.011813lg1.01lg18lg13lg1.011.25531.1390.043=32.883733(年)§322对数函数及其性质(第一、二课时)一教学过程1设置情境考古学家利用logTP估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P,通过关系式，都有唯叫一确定的年代t与之对应同理，对于每一个对数式yloga中的x，任取一

29、个正的实数值，y均有唯一的值与之对应，所以yloga关于x的函数.2探索新知一般地，我们把函数ylogax(a>0且a工1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0,+m)提问：(1).在函数的定义中，为什么要限定a>0且a工1.(2).为什么对数函数ylogax(a>0且a工1)的定义域是(0,+).组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解例题1：求下列函数的定义域2(1)ylogax(2)yloga(4x)(a>0且a丰1)分析：由对数函数的定义知：x2>0；4x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为

30、x2>0，即x工0,所以函数ylogax的定义域为x|x0.(2)因为4x>0，即xV4，所以函数yloga(4x)的定义域为x|xV4.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P81表23，并根据此表用描点法画出函数ylog2x的图象，再画出ylog。/的图象.x12124681216y10122.5833.584注意到：ylogixlog2X，若点（x,y）在yIog2x的图象上，则点（x,y）在ylog1x的图象22上.由于（x,y）与（x,y）关于x轴对称，因此，ylogjX的图象与ylog2x的图象关于x轴对称2所以，由此我们可以画出ylog1x的图象

31、.由上述图象可知，对数函数的性质如下:a>10vav1图象性质(1) 定义域(0,+8)；(2) 值域R;(3) 过点(1,0),即当x=1,y=0;（4）在（0,+8）上是增函数在（0,+8）是上减函数例题训练：1比较下列各组数中的两个值大小（1）log23.4,log28.5（2）logo.31.8,logo.32.7（3）loga5.1,loga5.9（a>0,且a工1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成：（1）解法1:用图形计算器或多媒体画出对数函数ylog2X的图象在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，log23.4log28.5解法2

32、:由函数ylog2x在R+上是单调增函数，且3.4v8.5，所以log23.4log28.5.解法3:直接用计算器计算得：log23.41.8,log28.53.1（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，ylogax在（0,+m）上是增函数，且5.1v5.9.所以，loga5.1loga5.9所以，loga5.1loga5.9解法2:转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一，令b,loga5.1,则a"15.1,令loga5.9,则5.9,则则5.9当a>1时，yax在R上是增函数，且5.1v5.

33、9所以，bvb，即loga5.1vloga5.9当0vav1时，yax在R上是减函数，且5.1>5.9所以，bvb，即loga5.1>loga5.9说明：先画图象，由数形结合方法解答练习1已知函数yf(2x)的定义域为-1,1,则函数yf(log2X)的定义域为2. 求函数y2log2x(x1)的值域.3. 已知logm7vlogn7v0,按大小顺序排列m,n,0,1114. 已知0vav1,b>1,ab>1.比较loga-,logab,logb的大小bb对数函数(第三课时).教学过程：1. 复习(1) 函数的概念(2) 用列表描点法在同一个直角坐标点中画出y2X与yl

34、og2x的函数图象.'2. 讲授新知Xx-3-2-10123y1814121248ylog2xx-3-2-10123y1818丄21248图象如下:2X探究：在指数函数y2X中，x为自变量，y为因变量，如果把y当成自变量，x当成因变量，那么x是y的函数吗？如果是，那么对应关系是什么？如果不是，请说明理由在指数函数y2X中，x是自变量，y是x的函数(xR,yR)，而且其在R上是单调递增函数.过y轴正半轴上任意一点作x轴的平行线，与y2x的图象有且只有一个交点.由指数式与对数式关系,X/口y2得xlog2y，即对于每一个y，在关系式xlog2y的作用之下，都有唯一的确定的值x和它对应,所以，可以把y作为自变量，x作为y的函数，我们说xlog2y是y2x(xR)的反函数从我们的列表中知道，y2x与xlog2y是同一个函数图象3引出反函数的概念当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称