高中数学高考导数题型分析及解题方法

1、导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值,二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。函数的最大值和最小值。1.f(x)X33x22在区间1,1上的最大值是222已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c=633函数y13xx有极小值i,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线y4xX在点1,3处的切线方程是yX242若曲线f(x)xx在p点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为(1,0)43若曲线yx的一条切线I与直线x4y4.求下列直线的方程：(1)曲线

2、yx3/1在p(-1,1)处的切线；解:(1)点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/80垂直，则I的方程为4xy3°(2)曲线yx2过点p©,5)的切线；3x22xky/|x13-21所以切线方程为y1x1,即xy2°y/2x2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(x°，yo)，则y°x°又函数的导数为所以过A(x°,yo)点的切线的斜率为kylxxo2x°,又切线过A(x°,yo)、P(3,5)点，所以有2x°y°5x°3，由联立方程组得,x°y

3、°x°y°25，即切点为(1,1)时，切线斜率为k12x02;当切点为(5,25)时，切线斜率为k22x010;所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)或y2510(x5),即y2x1或y10x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值321已知函数f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数yf(x)在3,1上的最大值；(川)若函数yf(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围解.(1)由f(X)x2ax2bxc,求导数

4、得f(x)3x22axb.过yf(x)上点P(1,f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).1.而过yf(x)上P1,f的切线方程为y3x32ab3即2ab0故ac3ac3.yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4a12由得a=2,b=4,c=5-f(x)x32x24x5.2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).3x2时，f当2当2x1时,f(x)3(x)0.0；当2f(x)极大9x3时,f(x)0；f(2)13又f(1)4,f(x)在3,1上最大值是13。(3)y=f(x)在2,1上单调递增，又2f(x)3x2axb，由知2a+b=0。2

5、依题意f(x)在2,1上恒有f(x)>0，即3xbxb0.xb1时,f(x)minf(1)3bb0,b6当6;xb2时,f(x)minf(2)122bb0,b当6261时,f(x)min12bb2胡0,则0b6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【°,)(1)求函数yf(x)的表达式;(2)求函数yf(x)的单调区间和极值;(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间m3，n上的值域为4,16，试求m、n应满足2f(x)3x2axb的条件.函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的,所

6、以，函数f(x)在区间3,nm上的值域为44m,164m(m0).而f(3)2044m20，即m4.曰是，函数f(x)在区间3,n4上的值域为20,0令f(x)0得x由f(x)的单调性知，1n42，即综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n6疋：由题意得，1,1是3x22axb0的两个根，解得，a0,b再由f(2)4可得c2.f(x)x33x2f(x)3x233(x1)(x1)当x1时,f(x)0.当x1时，f(x)0.当1x1时，f(x)0;当x1时，f(x)0.当x1时，f(x)0.函数f(X)在区间(,1上是增函数;解：3在区间上是减函数;在区间1，)上是增函数.3设函数f(x)x(

7、xa)(xb).(1)若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为2,且f(x)在x1处取极值,求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解:(1)f(x)3x2(ab)xab.由题意f5,f0，代入上式，解之得：a=1，b=1.(2)当b=1时，令f(x)°得方程3x22(a1)xa0.2因4(aa1)°,故方程有两个不同实根xi，x2.不妨设xix2,由f(x)3(xXi)(XX2)可判断f(x)的符号如下：当xXi时，f'(x)>0；当xixX2时，f'(x)vo；当xX2时，f'

8、;(x)>0因此Xi是极大值点，x2是极小值点.，当b=i时，不论a取何实数，函数f(X)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象i.如右图：是/(x)的图象如右图所示，则fD(A)(B)(C(D)y丄x34xi的图像为2.函数3(A)题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数f(x)1322x2ax3axb,0a1.3(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当xa1,a2时，恒有1f(x)1a，试确定a的取值范围f(x)4ax23a=(x3a)(xa)，令f(x)0得花a,X23ax(-m,a)a(ai,3a)3a(3a,+7f(x)-0+0-f(x)极

9、小/极大f(x)在(a,3a)上单调递增,在(-m,a)和(:3a,+8)上单调递减Xa时，f极小(x).43ba3x3a时,f极小(x)b(2)f(x)2x4ax3a2.-0a1,对称轴x2aa1,f(x)在a+1,a+:2上单调递减fMax(a1)24a(a1)3a22a1fmin2(a2)4a(a列表如下:22)3a4a4依题1f(x)11fmin1a即|2a1|a,|4a4|4a解得51，又0aa的取值范围是4,1)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范

10、围。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b-2雯-笃+b=0由f(3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x2(,3)232(3,1)1(1,+)f(x)+0一0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(一，一3)与(1,+)，递减区间是(一3,1)22(2)f(x)=x32x22x+c,x一1,2，当x=3时，f(x)=27+c为极大值，而f(2)=2+c,贝Uf(2)=2+c为最大值。要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)=2+c,解得c1或c2题型六：利

11、用导数研究方程的根1.已知平面向量=(3,1).1、.3=(2,T).(1)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b,>=-ka+tb,或丄扌,试求函数关系式k=f(t);据(1)的结论，讨论关于t解:(1)v”丄4"4=0的方程f(t)k=0的解的情况.即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.整理后得-k2+t-k(t2-3)ab+(t2-3)2=0=0,2=4,2=1,上式化为-4k+t(t2-3)=0即k=4t(t2-3)(2)讨论方程14t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个是f'(t)=34

12、 (t2-1)=34 (t+1)(t-1).t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+m)f'(t)+0-0+F(t)/极大值极小值/f(t)的变化情况如下表:令f'(t)=0.解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f'、丄当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出：11(1)当k>2或kv2时，方程f(t)k=0有且只有一解;11当k=2或k=2时，方程f(t)k=0有两解；11当2vkv2时，方程f(t)k=0有三解.题型七：导数与不等式的

13、综合31设a°,函数f(x)Xax在1，)上是单调函数.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设x°>1,f(x)>1,且f(f(x°)x°，求证：f(x°)x°.22解:(1)yf(x)3xa，若f(x)在1，上是单调递减函数，则须y°，即a3x-这样的实数a不存在.故f(X)在1，上不可能是单调递减函数若f(x)在1，上是单调递增函数，则a<3x2,由于x%，故3x3.从而°<aw3.(2)方法1、可知f(X)在1上只能为单调增函数.若1<x°f(x°),则f(X

14、°)f(f(x°)x°矛盾，若1wf(x°)x°,则f(f(x°)f(x°),即x°f(x°)矛盾，故只有f(x°)x°成立.方法2:设f(x°)u,则f(u)x°3x°ax°3u,uaux°,两式相减得(x；u3)a(x°u)ux°(x°u)(x：x°u2u1a)°,x°>1,u>1,2x°x°u2u3,又°a32x°x&#

15、176;u2u1a°2.已知a为实数，函数f(x)(x2l)(xa)(1)若函数f(x)的图象上有与X轴平行的切线，求a的取值范围(2)若f'(1)0,(I)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的%、X2(1,0)，不等式If(xi)f(x2)I16恒成立解：f(x)x3ax2|af'(x)3x2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线,f'(x)0有实数解4a2a292，所以(a的取值范围是(f'(1)0,2af'(x)3x213(x2)(x1)由f'(x)0,xf'(x)0,1xf(X)的单调递增区间是1),(12,);单调

16、减区间为1,f(易知f(x)的最大值为1)256,f(x)的极小值为f(1)4916，又f(0)2Mf(x)在1，0上的最大值2749m8，最小值16对任意x2(1,0)，恒有If(xjf(x2)|Mm2784916516解：设001为Xm，则1x4题型八：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点0到底面中心由题设可得正六棱锥底面边长为：&1）282xx?,（单位：m）800x故底面正六边形的面积为:3/3.36T(-.82xx2)2=(82xJ,(单位:m2帐篷的体积为:卑1(82xx

17、2)G(x1)133(16312xx)（单位:求导得V（x）亠1223x2)。令V(x)解得x2（不合题意，舍去），x2,2时，V'(x)0，V（x）为增函数;4时，V'(x)0，V（x）为减函数。2时，V（x）最大。答：当001为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为13m32统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量关于行驶速度X（千米/小时）的函数解析式可以表示为:133xx128000808(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？

18、最少为多少升?解：（I）当X40时,100汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时,要耗没（128000403408)2.517.580（升）。（II）当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h（x）升,依题意得h（x）(亠x3旦x128000808)型丄x2x128015(0x120),4xh'(x)莎33800x80“c厂(0x640xx120).令h'(x)0,得x80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h'(x)0,h(x)是增函数。当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在

19、(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合1.设平面向量2)，bG，222右存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使2xa(tk)b,ysatb且xy,(1) 求函数关系式Sf(t)；(2) 若函数Sf(t)在1上是单调函数，求k的取值范围。Jib?Jra1712IL/lJlask)2stIL/l2LBb2ILAu/lf2IL/lJx又Jla1UH因为在t%上恒成立。故k的取值范则在h上有f(t)0或f(t)0由f

20、(t)203tk0k223tk(3t)mink3由f(t)03t2k0k3t2o(2)f(t)3tk且f(t)在1，上是单调函数,上3t2是增函数，所以不存在k,使k3t2在1,围是k3。导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值,二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。函数的最大值和最小值。1.f(x)X33x22在区间1,1上的最大值是222已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c=633函数y13xx有极小值i,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程1曲线

21、y4xX在点1,3处的切线方程是yX242若曲线f(x)xx在p点处的切线平行于直线3xy0，则P点的坐标为(1,0)43若曲线yx的一条切线I与直线x4y4.求下列直线的方程：(1)曲线yx3/1在p(-1,1)处的切线；解:(1)点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/80垂直，则I的方程为4xy3°(2)曲线yx2过点p©,5)的切线；3x22xky/|x13-21所以切线方程为y1x1,即xy2°y/2x2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(x°，yo)，则y°x°又函数的导数为所以过A(x°,yo

22、)点的切线的斜率为kylxxo2x°,又切线过A(x°,yo)、P(3,5)点，所以有2x°y°5x°3，由联立方程组得,x°y°x°y°25，即切点为(1,1)时，切线斜率为k12x02;当切点为(5,25)时，切线斜率为k22x010;所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)或y2510(x5),即y2x1或y10x25题型三：利用导数研究函数的单调性，极值、最值321已知函数f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+1(I)若函数f(x)在x2处有极值，

23、求f(x)的表达式；(n)在(I)的条件下，求函数yf(x)在3,1上的最大值；(川)若函数yf(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围解.(1)由f(X)x2ax2bxc,求导数得f(x)3x22axb.过yf(x)上点P(1,f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).1.而过yf(x)上P1,f的切线方程为y3x32ab3即2ab0故ac3ac3.yf(x)在x2时有极值,故f(2)0,4a12由得a=2,b=4,c=5-f(x)x32x24x5.2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).3x2时，f当2当2x1时,f(x)3(x)

24、0.0；当2f(x)极大9x3时,f(x)0；f(2)13又f(1)4,f(x)在3,1上最大值是13。(3)y=f(x)在2,1上单调递增，又2f(x)3x2axb，由知2a+b=0。2依题意f(x)在2,1上恒有f(x)>0，即3xbxb0.xb1时,f(x)minf(1)3bb0,b6当6;xb2时,f(x)minf(2)122bb0,b当6261时,f(x)min12bb2胡0,则0b6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【°,)(1)求函数yf(x)的表达式;(2)求函数yf(x)的单调区间和极值;(3)若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间m3，n上的值域为4

25、,16，试求m、n应满足2f(x)3x2axb的条件.函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的,所以，函数f(x)在区间3,nm上的值域为44m,164m(m0).而f(3)2044m20，即m4.曰是，函数f(x)在区间3,n4上的值域为20,0令f(x)0得x由f(x)的单调性知，1n42，即综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3n6疋：由题意得，1,1是3x22axb0的两个根，解得，a0,b再由f(2)4可得c2.f(x)x33x2f(x)3x233(x1)(x1)当x1时,f(x)0.当x1

26、时，f(x)0.当1x1时，f(x)0;当x1时，f(x)0.当x1时，f(x)0.函数f(X)在区间(,1上是增函数;解：3在区间上是减函数;在区间1，)上是增函数.3设函数f(x)x(xa)(xb).(1)若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为2,且f(x)在x1处取极值,求实数a，b的值；(2)当b=1时，试证明：不论a取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解:(1)f(x)3x2(ab)xab.由题意f5,f0，代入上式，解之得：a=1，b=1.(2)当b=1时，令f(x)°得方程3x22(a1)xa0.2因4(aa1)°,故方程有两个不同实根x

27、i，x2.不妨设xix2,由f(x)3(xXi)(XX2)可判断f(x)的符号如下：当xXi时，f'(x)>0；当xixX2时，f'(x)vo；当xX2时，f'(x)>0因此Xi是极大值点，x2是极小值点.，当b=i时，不论a取何实数，函数f(X)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象i.如右图：是/(x)的图象如右图所示，则fD(A)(B)(C(D)y丄x34xi的图像为2.函数3(A)题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数f(x)1322x2ax3axb,0a1.3(1)求函数f(x)的单调区间、极值(2)若当xa1,a

28、2时，恒有1f(x)1a，试确定a的取值范围f(x)4ax23a=(x3a)(xa)，令f(x)0得花a,X23ax(-m,a)a(ai,3a)3a(3a,+7f(x)-0+0-f(x)极小/极大f(x)在(a,3a)上单调递增,在(-m,a)和(:3a,+8)上单调递减Xa时，f极小(x).43ba3x3a时,f极小(x)b(2)f(x)2x4ax3a2.-0a1,对称轴x2aa1,f(x)在a+1,a+:2上单调递减fMax(a1)24a(a1)3a22a1fmin2(a2)4a(a列表如下:22)3a4a4依题1f(x)11fmin1a即|2a1|a,|4a4|4a解得51，又0aa的取

29、值范围是4,1)2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b-2雯-笃+b=0由f(3)=93,f(1)=3+2a+b=0得a=f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:x2(,3)232(3,1)1(1,+)f(x)+0一0+f(x)极大值极小值所以函数f(x)的递增区间是(一，一3)与(1,+)，递减区间是(一3,1)22(2)f(x)=x32x22x+c,

30、x一1,2，当x=3时，f(x)=27+c为极大值，而f(2)=2+c,贝Uf(2)=2+c为最大值。要使f(x)c2(x1,2)恒成立，只需c2f(2)=2+c,解得c1或c2题型六：利用导数研究方程的根1.已知平面向量=(3,1).1、.3=(2,T).(1)若存在不同时为零的实数k和t，使x=a+(t23)b,>=-ka+tb,或丄扌,试求函数关系式k=f(t);据(1)的结论，讨论关于t解:(1)v”丄4"4=0的方程f(t)k=0的解的情况.即a+(t2-3)b(-ka+tb)=0.整理后得-k2+t-k(t2-3)ab+(t2-3)2=0=0,2=4,2=1,上式化

31、为-4k+t(t2-3)=0即k=4t(t2-3)(2)讨论方程14t(t2-3)-k=0的解的情况，可以看作曲线1f(t)=4t(t2-3)与直线y=k的交点个是f'(t)=34 (t2-1)=34 (t+1)(t-1).t(-m,-1)-1(-1,1)1(1,+m)f'(t)+0-0+F(t)/极大值极小值/f(t)的变化情况如下表:令f'(t)=0.解得t1=-1,t2=1.当t变化时，f'、丄当t=1时，f(t)有极大值，f(t)极大值=2.1当t=1时，f(t)有极小值，f(t)极小值=21函数f(t)=4t(t2-3)的图象如图1321所示，可观察出

32、：11(1)当k>2或kv2时，方程f(t)k=0有且只有一解;11当k=2或k=2时，方程f(t)k=0有两解；11当2vkv2时，方程f(t)k=0有三解.题型七：导数与不等式的综合31设a°,函数f(x)Xax在1，)上是单调函数.(1) 求实数a的取值范围；(2) 设x°>1,f(x)>1,且f(f(x°)x°，求证：f(x°)x°.22解:(1)yf(x)3xa，若f(x)在1，上是单调递减函数，则须y°，即a3x-这样的实数a不存在.故f(X)在1，上不可能是单调递减函数若f(x)在1，上是单调

33、递增函数，则a<3x2,由于x%，故3x3.从而°<aw3.(2)方法1、可知f(X)在1上只能为单调增函数.若1<x°f(x°),则f(X°)f(f(x°)x°矛盾，若1wf(x°)x°,则f(f(x°)f(x°),即x°f(x°)矛盾，故只有f(x°)x°成立.方法2:设f(x°)u,则f(u)x°3x°ax°3u,uaux°,两式相减得(x；u3)a(x°u)ux°

34、;(x°u)(x：x°u2u1a)°,x°>1,u>1,2x°x°u2u3,又°a32x°x°u2u1a°2.已知a为实数，函数f(x)(x2l)(xa)(1)若函数f(x)的图象上有与X轴平行的切线，求a的取值范围(2)若f'(1)0,(I)求函数f(x)的单调区间(n)证明对任意的%、X2(1,0)，不等式If(xi)f(x2)I16恒成立解：f(x)x3ax2|af'(x)3x2函数f(x)的图象有与x轴平行的切线,f'(x)0有实数解4a2a292，所

35、以(a的取值范围是(f'(1)0,2af'(x)3x213(x2)(x1)由f'(x)0,xf'(x)0,1xf(X)的单调递增区间是1),(12,);单调减区间为1,f(易知f(x)的最大值为1)256,f(x)的极小值为f(1)4916，又f(0)2Mf(x)在1，0上的最大值2749m8，最小值16对任意x2(1,0)，恒有If(xjf(x2)|Mm2784916516解：设001为Xm，则1x4题型八：导数在实际中的应用1.请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如右图所示)。试问当帐篷的顶点0到底面中心由

36、题设可得正六棱锥底面边长为：&1）282xx?,（单位：m）800x故底面正六边形的面积为:3/3.36T(-.82xx2)2=(82xJ,(单位:m2帐篷的体积为:卑1(82xx2)G(x1)133(16312xx)（单位:求导得V（x）亠1223x2)。令V(x)解得x2（不合题意，舍去），x2,2时，V'(x)0，V（x）为增函数;4时，V'(x)0，V（x）为减函数。2时，V（x）最大。答：当001为2m时，帐篷的体积最大，最大体积为13m32统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量关于行驶速度X（千米/小时）的函数解析式可以表示为:133xx1280

37、00808(0x120).已知甲、乙两地相距100千米。（I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?解：（I）当X40时,100汽车从甲地到乙地行驶了402.5小时,要耗没（128000403408)2.517.580（升）。（II）当速度为X千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了100小时，设耗油量为h（x）升,依题意得h（x）(亠x3旦x128000808)型丄x2x128015(0x120),4xh'(x)莎33800x80“c厂(0x640xx120).令h'(x)0,得

38、x80.当x(0,80)时，h(x)0,h(x)是减函数；当x(80,120)时，h'(x)0,h(x)是增函数。当x80时，h(x)取到极小值h(80)11.25.因为h(x)在(0,120上只有一个极值，所以它是最小值。答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升。当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25升。题型九：导数与向量的结合1.设平面向量2)，bG，222右存在不同时为零的两个实数s、t及实数k，使2xa(tk)b,ysatb且xy,(1) 求函数关系式Sf(t)；(2) 若函数Sf(t)在1上是单调函数，求k

39、的取值范围。Jib?Jra1712IL/lJlask)2stIL/l2LBb2ILAu/lf2IL/lJx又Jla1UH因为在t%上恒成立。故k的取值范则在h上有f(t)0或f(t)0由f(t)203tk0k223tk(3t)mink3由f(t)03t2k0k3t2o(2)f(t)3tk且f(t)在1，上是单调函数,上3t2是增函数，所以不存在k,使k3t2在1,围是k3。导数题型分析及解题方法一、考试内容导数的概念，导数的几何意义，几种常见函数的导数；两个函数的和、差、基本导数公式，利用导数研究函数的单调性和极值,二、热点题型分析题型一：利用导数研究函数的极值、最值。函数的最大值和最小值。1

40、.f(x)X3x?2在区间1,1上的最大值是222 已知函数yf(x)x(xc)在x2处有极大值，则常数c=633 函数y13xx有极小值i,极大值3题型二：利用导数几何意义求切线方程31曲线y4xx在点1,3处的切线方程是yX242若曲线f(x)xx在p点处的切线平行于直线3xy0，则p点的坐标为(1,0)43若曲线yx的一条切线I与直线x4y4.求下列直线的方程：32彳(1)曲线yxX1在p(-1,1)处的切线；解.(1)点P(1,1)在曲线yx3x21上，y/80垂直，则1的方程为4xy3°2(2)曲线yx过点P(3,5)的切线；2/3x22xkyz|x13-21所以切线方程为

41、y1X1，即xy2°y/2x2(2)显然点P(3,5)不在曲线上，所以可设切点为A(xo，yo)，则y°x°又函数的导数为所以过A(x°，yo)点的切线的斜率为ky|x勺2x0,又切线过A(x°，yo)、P(3,5)点，所以有2x°也壬x°1或x°5xo3，由联立方程组得，y°1y°25，即切点为(1,1)时，切线斜率为k12xo2；当切点为(5,25)时，切线斜率为k22xo1o；所以所求的切线有两条，方程分别为y12(x1)或y2510(x5),即y2x1或y10x25题型三：利用导数研究函

42、数的单调性，极值、最值321已知函数f(x)xaxbxc,过曲线yf(x)上的点P(1,f(1)的切线方程为y=3x+i(I)若函数f(x)在x2处有极值，求f(x)的表达式；(n)在(i)的条件下，求函数yf(x)在3,1上的最大值；(川)若函数yf(x)在区间2,1上单调递增，求实数b的取值范围解：(1)由f(x)x3ax2bxc,求导数得f(x)3x22axb.过yf(x)上点P(1，f(1)的切线方程为：yf(1)f(1)(x1),即y(abc1)(32ab)(x1).1.而过yf(x)上P1,f的切线方程为y3x32ab3故ac3即2ab0ac3.yf(x)在x2时有极值,故f(2)

43、0,4a12由得a=2,b=4,c=5.f(x)x32x24x5.2(2)f(x)3x4x4(3x2)(x2).3x2时，f当2当x1时,f(x)3(x)0;当22x时，f(x)30；0.f(x)极大f(2)13又f(1)4,f(x)在3,1上最大值是13。(3)y=f(x)在2,1上单调递增，又f(x)3x22axb,由知2a+b=0。依题意f(x)在2,1上恒有f(x)>0，即3xbxb0.xb1时,f(x)minf(1)3bb0,b6当6;xb2时,f(x)minf(2)122bb0,b当6261时,f(x)min12bb0,则0b6.当b12综上所述，参数b的取值范围是【

44、6;,)322.已知三次函数f(x)xaxbxc在x1和x1时取极值，且f(2)4(1) 求函数yf(x)的表达式；(2) 求函数yf(x)的单调区间和极值；若函数g(x)f(xm)4m(m0)在区间m3，n上的值域为4,16，试求m、n应满足的条件.解:(1)2f(x)3x2axb2由题意得，1，1是3x2axb0的两个根，解得，a0,b3.3再由f(2)4可得C2.f(x)X3x2.(2)f(x)3x233(x1)(x1),当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当1x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0函数f(x)在区间(，1上是增函数；在区间hl上是减函数；

45、在区间1，)上是增函数.函数f(x)的极大值是f(1)0，极小值是f(1)4.函数g(x)的图象是由f(x)的图象向右平移m个单位，向上平移4m个单位得到的,所以，函数f(x)在区间3，nm上的值域为44m，164m(m0).而f(3)2044m20，即m4.于是，函数f(x)在区间3，n4上的值域为20,0.令f(x)0得x1或x2.由f(x)的单调性知，42，即3n6.综上所述，m、n应满足的条件是：m4，且3(n(6.3.设函数f(x)x(xa)(xb)(1)若f(x)的图象与直线5xy80相切，切点横坐标为2,且f(x)在x1处取极值,求实数a，b的值;(2)当b=1时，试证明：不论a

46、取何实数，函数f(x)总有两个不同的极值点.2解:(1)f(x)3x2(ab)xab.由题意f5,f0，代入上式，解之得：a=1，b=1.(2)当b=1时，令f(x)0得方程3x2(a1)xa0.24(aa1)0,故方程有两个不同实根XiX-4不妨设xix2，由f(x)3(xxi)(xX2)可判断f(x)的符号如下：当xXi时，f(x)>0；当XixX2时，f(x)V0；当xX2时，f(x)>0因此Xi是极大值点，x2是极小值点.，当b=i时，不论a取何实数，函数f(X)总有两个不同的极值点。题型四：利用导数研究函数的图象(X)的图象如右图所示，则i.如右图：是f(x)的导函数,0

47、a(A)(B)(D)4xi的图像为i3y_x(x)的图象只可能是(y2函数3(A)64-2f(x)=3x2x2=(3x+2)(x1),函数f(x)的单调区间如下表:题型五：利用单调性、极值、最值情况，求参数取值范围1设函数f(x)1322x2ax3axb,0a1.3(1)求函数f(x)的单调区间、极值1,a2时，恒有1f(x)1a，试确定a的取值范围22解:(1)f(x)x4ax3a=(x3a)(x列表如下：a)，令f(x)0得捲a,X23ax(-o,a)a(a,3a)3a(3a,+o)f(x)-0+0-(2)若当xa极小极大df(x)f(x)在(a,3a)上单调递增，在(-oo玄)和(3a,

48、+8)上单调递减xa时,f极小(x)b4a33,x3a时,f极小(x)(2)f(x)24ax3a/0a1,.对称轴x2aa1f(x)在a+1,a+2上单调递减2fMax(a1)4a(a1)3a22a1min(a2)24a(a2)3a24a4依题1f(x)1|fmin1a即|2a1|a,|4a4|4a解得51，又oaa的取值范围是4,1)22.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=3与x=1时都取得极值(1)求a、b的值与函数f(x)的单调区间(2)若对x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围。解：(1)f(x)=x3+ax2+bx+c,f(x)=3x2+2ax+b2 123 )=94a+b=03(1)=