高数期末考试题

1、往届高等数学期终考题汇编2009-01-122一解答下列各题（6*10分）:11.求极限limxln（1ex）.2.设y=xjx2+a2+a2Inlx+Jx2+a2J,求dy.2 23.设丿x=2tt，求l_y.3 2y=3t-13dx4.判定级数'e二卫，_o的敛散性.n1n5.求反常积分OarCSin'xdx.JxQX)6.求ixarctanxdx.7.0,sinx-sin3xdx.儿x今8.将f(x)=<兀2在0,2<xS间.!-二，二I上展为以2二为周期的付里叶级数，并指出收敛于fx的区9. 求微分方程ydx亠（x2-4x）dy=0的解.10. 求曲线xy=

2、1与直线x=1,x=2,y=0所围平面图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积二.（8分）将fxln4x-5展开为x-2的幕级数,并指出其收敛域.二.（9分）在曲线y=sinx20_x一1上取点Aa,sina2,0_a_1,过点A作平行于ox轴的直线L,由直线L,oy轴及曲线y=sinx20=x=a所围成的图形记为0,由直线L,直线x=1及曲线y二sinx2ax"1所围成的图形面积记为S2，问a为何值时，SS1S2取得最小值.四.（9分）冷却定律指出，物体在空气中冷却的速度与物体和空气温度之差成正比，已知空气温度为30C时，物体由100C经15分钟冷却至70C，问该物体冷却至40C需要多少

3、时间？五.（8分）（学习工科数学分析的做（1）,其余的做（2）(1)证明级数7x2e*x在0,：）上一致收敛n=0（2）求幕级数（T）：2一1x2n的收敛域及和函数.n2n六.（6分）设fxpc2a,b试证存在-a,bl,使：fxdx=b-afg丄b-a3fV.2丿242008.1.15x4解答下列各题（6*10分）:1.计算极限limxx2.0sinx2x2.设y=e-xlog2xarctan,求dy.5c+门求d2y0Ct£,求2丿3.设丿x=lncost,y=sint-tcost;dx2:?n4. 判定级数a乱的敛散性n吕n2：lnx5. 计算反常积分葺dx.1x6. 计算不定

4、积分2xsipxdx.'cosx1dx7. 计算定积分竺石.右（1+ex21,0兰x1ri8. 求函数f（x）=在02上展成以4为周期的正弦级数.2,1£X£29. 求微分方程1ydxxy2y3d=0的通解.2210. 求由曲线y=x7及y=3x5所围成的图形绕ox轴旋转一周而成的旋转体的体积.二. （9分）证明：当x一0时,有（1+xfbln（1+x）1】十14xarctanx2ln（1+x2）.三. （9分）设抛物线y二ax2bxa:0通过点M1,3,为了使此抛物线与直线y=2x所围成的平面图形的面积最小，试确定a和b的值.四. （8分）设一车间空间容积为100

5、00立方米,空气中含有0.12%的二氧化碳（以容积计算）,现将含二氧化碳0.04%的新鲜空气以1000立方米每分钟的流量输入该车间，同时按1000立方米的流量抽出混合气体，问输入新鲜空气10分钟后，车间内二氧化碳的浓度降到多少？°°+1五. （8分）求幕级数7xn的收敛域及其和函数.n2nn!六. （6分）设函数fx在x=0的邻域内有连续的一阶导数，且lim二aa0,证明：7_1nJf-条件收敛n4n2007年1月一.计算下列各题(6*10分):x1计算极限lime旦17x-arctanx2.设y=arcsin、1-x2,求dy.t丄2edu.x=3.设丿eysint-y1

6、求dy=0.dxx=0n4.判定级数一心4+3的敛散性5.计算反常积分6设lnx1x2为fx的原函数，求.xxdx.1,7.将fX=b,JI0乞x;2展开成以2二为周期的傅立叶正弦级数,并求此级数分别nr:x虫黒.2亠35在x和x两点的收敛值.228.将函数fx=lnx展开为x-2的幕级数，并指出其收敛域79求微分方程x1y：2y"x11的通解.2210.求抛物线X=5y与x=1y所围图形的面积.（9分）若函数f(x)=«1t2edtcosx.a,x=°；在x=0点可导.求a和0.x=0.19三. （9分）在曲线y=e以x_0上求一点x0,e0，使得过该点的切线与

7、两个坐标轴所围平面图形的面积最大，并求出此最大面积.四（8分）半径为R的半球形水池充满水，将水从池中抽出，当抽出的水所作的功为将水全部抽出所作的功的一半时，试问此时水面下降的深度H为多少？ooDO1五. （8分）求幕级数二nn1xn的和函数并求出级数二nnTn的和.ndnT2六. （6分）已知函数fx在0上可导，且f0=1并满足等式1xxfxfxftdt=O,求fx并证明eEfxlx_0.x+102006年1月计算下列各题（6*10分）:tanxsinx1.Iimx3“X、2.设y=arctantan,求dy.(2'(_xe,x21,3.设f(x)=«x:0n2,求fx-1d

8、x.x_04.判定级数-的敛散性.2nln丿5. 设y=yx由方程y=tanxy所确定，求y.U+ex26. 计算不定积分贡dx.'1+e7. 将f（x）=2+x,x乏L兀，兀】展成以2兀为周期的傅立叶级数8. 将函数fx二二展成x-4的幕级数,并指出收敛区间.x2+3x+29. 求微分方程xy"-3y二x4ex的通解.10. 设曲线y=ax2a0,x_0与y=1-x2交于点A,过坐标原点O和点A的直线与曲线y=ax2围成一个平面图形.问：当a为何值时，该图形绕x轴旋转一周所产生的旋转体体积最大？.（8分）证明不等式：当x0时，x-辽1-，0：1.x221.（9分）.设fxe

9、dt,求oxfxdx.四. （9分）.一物体在某一介质中按x二ct3作直线运动，已知介质的阻力与物体速度的平方成正比，计算物体由x=0移动到x二a时克服阻力所作的功.近1五. （9分）求级数-的和.n/n+1Bn六. （5分）.设fx0,xa,b1,证明：I2.丿(ba)afxdx上d.22005年1月15日一解答下列各题(6X10分)exsinxx(x+1)计算极限limxsinx设y=今Jx2+1+*ln(x+(x2+1)，求dy.2”设f(x)=wx,x兰x0在X。处可导，求常数a和b.ax+b,xax0«1fAn判定级数的敛散性.若收敛，是条件收敛还是绝对收敛？n经3n设y二

10、yx由方程y=1-ln（xy）ey所确定，求y.x3A设f（x）连续,且满足f（tdt=X.求f（26）=?.求fx=2x3-3x2-12x1的极值.dx计算不定积分Jf2.xP4Tn2x计算定积分0arctanUxdx.2求由曲线y=x1,直线y=0,x=0,x=1所围成的平面图形绕y轴旋转一周所产生的旋转体的体积.*3（8分）试证明不等式x二x0,时，tanxx23“1（9分）将函数fx2展成x-3的幕级数，并指出收敛区间.2x2+x3（9分）已知fx在x=12的邻域内可导，且limfx=0,limfx二？005xT211221.2.3.4.5.6.7.8.9.10.四.12f(ududt

11、求极限xlim123oO五. （8分）求幕级数an一xn的收敛域及和函数n=en!六. （6分）设fx在b,1上连续，在0,1内可导，且0x乞1,f0=0i213证明fxdx-f3xdx002004年1月、解下列各题b+2Xa/rilIVmoHX设y=xe»求不定积分求不定积分求定积分(sinx)2x，求yxarctanxdx1dxx(x21)exdx求由曲线1y=llnx|,x=-,x=e及x轴围成的图形的面积。e判定级数cOzn=1x8、将f(x)二03的敛散性edt展开为x的幕级数，并求收敛域。古八的收敛域及和函数。cO求幕级数7-n£1610、曲线y=1x,(x0)

12、上哪一点的法线在y轴上的截距最小3二、证明：当时，sinx2x1三、设某产品的成本函数为C=aqbqc，需求函数为q(d-p)，其中C为成本，q为e需求量(也是产量)，p为单价，a,b,c,d,e都是正常数，且db。求(1)利润最大时的产量及最大利润；(2)需求价格弹性；(3)需求价格弹性的绝对值小于1时的产量。上x轴旋转一周，得一旋转体，若把它在x=0与之间部分的体积记为V)，1x试求limV()五、设f(x)为a,b上连续，且f(x)0,求证：在(a,b)内存在一点'，在匕4bJf(x)dx=4Jfxd)xa5"2003年1月、解下列各题1-XmoHXxe设y二y(x)由

13、方程y二cos(xy)x确定，求y.1-asin2x-b设y=【2n判定级数v欝的敛散性n吕nx=t+2+sint设曲线方程为y=t+cOSt设f(x)在点X。处有f(X。)=fx0在x=0点连续，试确定a,b的值x=0，求此曲线在x=2点处的切线方程(x°)=0，而(x)在x°点及其邻域有定义且有界，试证明函数F(xHf(x)(x)在点X。处可导，并求F(x°)8、将f(x)二0计算不定积分0_x_2展开成周期为2二的付立叶正弦级数jix:22xxe,rdx1-2ex4一计算定积分(exdx10、求由y=lnx,y=0x=2所围成的平面图形绕y轴旋转所成的立体的

14、体积二、证明：当0：x时，sinxtanx2x2A厂的.,5倍，水厂C设在离A厂多远处才使三、A，B两厂在直河岸的同侧，A沿河岸，B离岸4公里，A与B相距5公里，今在河岸边建一水厂C，从水厂C到B厂每公里水管材料费是两厂所耗总的水管材料费最省？QO四、试求幕级数v-n-xn的收敛域及和函数心2五、设f(x)为a,=)上单减连续函数，有F(x)x1f(t)dt，证明当xa时，F(x)为X_aa单调减函数1六、设f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且°f(t)dt=0，证明：存在一点三(0,1),使得2f()f()=0x七、已知可导函数f(x)满足f(x)cosx20f(t)si

15、ntdt=xT，求f(x)2002年1月、试解下列各题(每小题5分，共25分)1.求极限lim、n.n-2n1。n_)：:2设f(X)二11+ex0严0，研究f(x)在点X二0处的左连续性与右连续性。-05计算定积分32-arctan(lnx)，求y。4.求函数y=x-3x-9x14的单调区间。ln5xxe2e-1dx。-0二、解下列各题2设函数1(每小题5分，共25分)。1.求极限lim(sinx)lnx1；d2yy=y(x)由方程y=1+xey所确定，求一ydx3.求积分.3sinxcosx,2dx;1cosx4求极限liox=0x22sintdtJ0limx'.0t2(t-sin

16、t)dt5试判定级数7(-1)三、(7分)求积分四、(7分)将函数_n°吕的敛散性,(arccosx)2dx。Hf(x)=0若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?JI|x|辽，展开成以2二为周期的傅里叶级数，其中H为31|x|-二2常数。五、(7分)将函数2展开成X-1的幕级数，并指出收敛区间。xx613兀(7分)试证明不等式sinxxx，其中0：x：62(8分)一容器由抛物线y=x2绕y轴旋转而成，其容积为72二m3，其中盛满水，水的比重为1,现将水从容器中抽出64二m3，问需作多少功？八、(8分)设水以匀速注入右图所示的罐中，直至将将水罐注满。f(x)二六、七、但应画出曲线凹凸性1)

17、画出水位高度随时间变化的函数y=y(t)的图形(不要求精确图形,并表示出拐点)2) y=y(t)何处增长的最快，何处最慢？并估计这两个增长率的比值。1试证存在一点匚三(0,1)，使f)二九、(6分)设函数f(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，并且满足f(1)_3otf(x)dx=0,f心寸。2000年1月、求解下列各题：(每小题6分，共60分)1.设y=x6(x31)3(x2)2，求y。2.求极限lim11I。ex-1x3将f(X)=丿1,|x|兰1展开成以4为周期的傅里叶级数。0,凶X伍24.试求过点M0(-1,1)且与曲线2ex2cosy-1=0上点0,i的切线相垂直的直线方<

18、3丿程。21-cosx10.判别级数antan-的敛散性。2n5.设f(t)=limt、一,(xt丿7设D是由曲线y=1sinX与三条直线绕ox轴旋转一周所得旋转体积。2xt_tf0(e-e)dt&求极限lim。16将f(x)展开为X-1的幕级数。x(x+1)x=0,x=y=0所围成的曲线梯形，求D9.求不定积分arctan'dx。'Jx(1+x)二、(8分)求不定积分2(xlnx)dx。三、(8分)求定积分x、2ax-x2dx。(a0)四、(8分)设f(x)g(x)_e=10g(0)-1°1)求f(x)；2)讨论f(x)在(五、(8分)试确定a的值，使曲线y

19、成图形面积最小。(其中(a0)。x-0，其中g(x)有二阶连续导数。且g(0)=1,x=0上的连续性。二a(1-x2)与该曲线在(-1,0)及(1,0)两点处的法线所围n二六、(8分)设an二0x|sinx|dx,(n=1,2,)求极限lim鱼电.冷严2222n)、填空题1.1叫(13x)2sinx3设4.设5.设二、选择题A)2.X3.若A)4.设A)98年1月2.'x=f(t)_兀f(e3t-1)2x2=0(t+2t+3)dt，则limf（X）07ann=0的°,则dxy=x-2sinx在0,上的最小值为2t=0f(x)-f(X-：)cOXn在x-1条件收敛，则7an（x

20、-1）n的敛区为x；0时,无穷小n=0112sin2是（）xx无穷大C）有界但不是无穷小2sinx,1的（）间断点1心|x|B）可去C）无穷D）振荡变量B)D）无界但不是无穷大=0是f(X)A）跳跃f（x）是导函数是sinx，贝Uf（x）有一个原函数为1sinxB）（x2-1）2f（x）二|x-1|0不连续1-sinxC)1cosxX=1X=1B）连续但不可导5.设S(x)是f(X)=£31X2S（-3）等于（）JiA)14三、设y=y（x）由)D)1-COSXD）可导且导数连续C）可导但导数不连续31<_2的以2为周期的傅里叶正弦级数的和函数，则<31C)-(1)4d2

21、yxey二1所确定，求一ydx2B)1D)-1Ox=0四、计算JJJ°1-sinxdx。五、计算lnx_dx。L六、计算七、证明：当x1时,ln(x1)x。lnxx1八、讨论十、求由十一、设t3(x1)Jx2匚2x"ann!、-(a0)的敛散性。nanx2y2乞2x与y_x所围图形绕直线x=2旋转一周所得旋转体的体积。f(x)在a,b上具有二阶导数，且f(a)=f(b)=0,f(a)f(b)0,证明：存在(a,b)和(a,b)使f()=0及f()=0。99年1月、填空题1.limexarctanx=x.设目二xln(x.1x2)，则y二3.设y=y(x)由xsinyyex=