高等数学中有理分式定积分解法总结

1、由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q(x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法拆项法凑微分法定积分Px两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式PxQx与分母多项式Qx之间无公因式，当分子多项式Px的次数小与分母多项式Qx，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项式与一个真分式之和的形式3x42x2例1.1Jdxx1223xx12x解原式3x2dx12x2x2xdx2x42dx213x2dx3x2dxdxdx1

2、1x211Zdx-dx1原式2x2x213x22dxx212x2dx3二dxx212dxarctanxC-x34arctanxxC3总结：解被积函数为假分式的有理函数时,用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分.对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如:x21dx1dxx21x21Qx=QixQ2x，且Qix,Rx对于真分式QV，若分母可分解为两个多项式乘积Q2x无公因式，则可拆分成两个真分式之和:R上zll，上述过程称为QxQ2x把真分式化为两个部分分式之和.若Qx或Q2x再分解为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、P2x式的积分容

3、易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分类型一cx例2.1.13x12dxx解原式二x33x23x12dxx=xdx1 2=一x213dx3dxx13x3Inx4dxx类型二例2.2.1总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幕函数,然后利用常见积分公式进行运算kcxmdxaxb2xdxx2解令x+2=t，则xt2，有dxdt2十,t2原式=3dxtt24t4亠t3dt11=dt4-2dt4tt2=Int+4-$+Ctt1t3dt总结：当被积函数形如时kcxmaxbdx,将其用换元法转换为(axb)kcxm-dx,再按照后者解

4、法求解类型三PxIdxax2bxc例2.3.1原式=2xdt1、2设x-1=tant,x=tant+1,dx=settdt上式=31+tant22settdtsett32tant3tant3tant1,xdtset2t312=sintcost3sintcost3sintcostdt231costcostdcost+sin2tdt4dtcos2tdt=-In12cost+cost+2t+2sintcost2上式WInxQtant=x-1.22x2x22x2例2.3.22%1dxx2x312x22=乙dxx2x32dx2x22x32x3-2-dx2=-Inx2+C;对于形如ax2bx+c时，总结：

5、当被积函数分母含有ax2+bx+c时，可以用凑微分法进行积分可将其变形为T2x+1或者是1-T2x,然后利用三角函数恒等变形sin2x+cos2x=1和1+tan2x=set2x将T2x降次，便于计算3.以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例3.122x+3dxx3x10解法122x+3dxx3x10二飞dx23x10x23x10=Inx23x10+C解法22*+3dxx3x102x+32x+3_AB=+x3x10x+5x2x5x2=ABx5B2A11x5x2x5x2原式=-dxx5x2=Inx3x10+C总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化为部分分式之和的形

6、式，然后用基本积分公式进行运算x22x1x2xdx1原式=22x1二dxx2x1d2x1-2x12x12dx12x12dx2x2x121x2-dx34=ln2x1-丄“x22+丄arctan3xi+C总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换x3x1x2dx1dxx2x22x1dx-2x22x22x1-dxdxx22x1dx|x11lx1x1CInx22x1d总结：此题能够得出一个重要结论,分母因式分解要求为各个因式之间无公约数,以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分例如利用三角函数的万能公式，将被积函数中含有三角函数的分式函数，例：1+sinxdx.例如被积函数中含有sinx1cosxVaxb或axb时用换元法将根号去掉，例：dx,一.虽然形式各Vcxdxjlx1xl种各样，但只要熟练