高数辅导之专题二十：交错级数、任意项级数的敛散性判别法

1、专题二十基础知识定理 1(交错级数的莱布尼兹定理)若交错级数(1)nun(n1,2,3,)n1满足：(1)unun1(n1,2,3,)(2)limun0n则(1)nun收敛，且(1)nunu1。n1n1注：交错级数(1)nun收敛要求数列un单调递减且趋向于零。n1对于任意项级数un，引入绝对值级数的概念：级数n1由定理 2 知收敛级数un分为两种：n12)绝对收敛：要求|un|。n1总结：判定级数un的敛散性，可按如下步骤进行：n11)首先讨论limun。若limun不存在或limun0，级数nnn转入第二步。|un|称为un的绝对值级数。n1n1定理 2 若级数|un|收敛，则n1un亦收

2、敛。n11)条件收敛：要求un收敛，|un|发散。n1n1n1un发散；若limun0，nn1nan1n(2)其次讨论|Unn1|的敛散性，可运用正项级数的一系列敛散性判别法。若|Un|收敛,n1则Un绝对收敛；若n1|Un|发散，转入第三步。n1（3）最后讨论Un的敛散性，可能用到交错级数的莱布尼兹定理。1Un收敛，则1Unn1条件收敛；若Un发散，当然Un发散。例题1.设为常数, 判定级数sinna2-n1n1的敛散性。n解：nsinna21nIsinna2nsinna由于|-n12，n收敛, 由比较判别法知级数Sinna收敛（绝对收敛），而11n为一发散的p级数，故却呼n2.若级数n1n

3、(2)n6a收敛，求a。解:(2)n1nn6n6na16n发散。一n(2)n1n6na16nnl)n1收敛(|31） ， 故发散, 从而a0。1)nn1(2)n6nn1n1(11-收敛，而-1nn1n（倘若a0，则1收敛，矛盾）n1nan1n3.判定级数(1)n1(n3n1解：令an：31，则an1)的敛散性。0，且aneln1In:3由比较判别法的极限形式知5.对常数p，讨论级数(1)n1何时绝对收敛何时条件收敛何时发散In3=In311)，(nnnnan发散，级險数(1)n1an不n14.判定级数(1)n159的敛散性。1(2n)!解：令an1)嚅，由于an1lim|亠naanlim(n1

4、)!(n1)!(2n)!n(2n2)!n!n!由比值判别法知limn(n1)2(2n1)(2n2)|an|收敛，故原级数1)n1L绝对收敛。(2n)!解：令an，an0，则annp绝对收敛。 级2数(1)n1an为交错级数，an单调递减且liman0,由交错级数的莱n1n1发散，故发散,ninninn1布尼兹定理知(1)n1(n31)收敛。故级数1(1)n1(n31)条件收敛。n1np1(2n1n12nnp12n2F面分三种情形说明:(1)当p11丄)时f收敛，由比较判别法的极限形式知2np22n2an收敛,n1原级数n1)1n1n绝对收敛。np(2)当p1一发散，由比较判别法的极限形式知n1

5、p2n2an发散,n1原级数(n11)1n1n不绝对收敛。np两种小情形:(i)当0-)时,2liman0。令n由于且xp1f(x)f(x)xp(.x1xp1(、x1lim(pxX2、x1)所以x充分大时f(x)单调增，于是n充分大时,尼兹定理知原级数1)n1n1pn收敛,np(ii)当p0时,n充分大时,limannx)(x0)x)(p2；1)an、 、n6设a00，an0,1,2,单调减少，由交错级数的莱布f(n)从而条件收敛。0，原级数(1)n1厂1nn1、nnp，讨论级数(1)n1.、2an是绝对收敛、n11(2n1nn12ao，归纳假设0an1a*,则2an12a.，Aliman1n

6、lim.2annlimann2 niman7.(1)判定级数(1)的敛散性。n1n条件收敛还是发散2an12an，亦即anan1，数列an单调递增。a122，归纳假设an2，则an12an222，数列a.有上界。由单调有界定理知数列务收敛，设limannA，对等式an1,2一a；两边取极限有解之得A2。令bn2an，由于bn1lim-nbnlimn22anan1limn2、2an；2anlimn4(2an)(2an)(2,2an)limn12v2an(2)若当 n时,an与未等价无穷小,(1)nan是否一定收敛若n1解：a00，a120由比值判别法知收敛，证明之；若不一定收敛，举一发散的例子。

7、(1)nn1n解：(1)数列单调递减且收敛于 0,由交错级数的莱布尼兹定理知交错级数(1)nn1n收敛。(2)不一定收敛。1ann111)，则an，且nn(1)nann11)n(1、n1)n1)n(1)n收敛,n1n1一发散，故n1nn1(1)nan发散。8.设级数an条件收敛，极限limnn1an1anr存在，求r的值，并举出满足这些条件的例子。解：因级数an条件收敛，故级数n1an不可能是正项级数或负项级数(因为正项级数或n1负项级数只有可能发散或绝对收敛)。由limnanar知lim|IIr|。下面分三种情形nan说明:(1)若|r|1，则由比值判别法知|an|收敛，故an绝对收敛，与题设条件矛盾。故n1n1|r|1。(2)若|r|1，limn詈|r|1，当n充分大时，数列|an|单调递增，故lim|an|0，n从而limann0，故ann1发散, 与题设条件矛(3)若 rlim也nan1，当n充分大时，an与an1同为正或同为负，级数an不可n1能条件收敛。综上得r如级数n1(1)n条件收敛，且nbn收敛，故原级数(1)n*12an绝对收敛。1n1limnlim：nn1习题i