第五章卡平方（）测验

1、第五章第五章 卡平方卡平方( )测验测验2 第一节第一节 卡平方卡平方( )的定义和分布的定义和分布第二节第二节 次数资料的次数资料的 测验测验2 2 第一节第一节 卡平方卡平方( )的定义和分布的定义和分布2 2 所谓所谓 ，是指相互独立的多个正态离差平方值的总和，是指相互独立的多个正态离差平方值的总和，即：即：iiiiiiniyuuuuu222222212)(71) 其中，其中，yi 服从正态分布服从正态分布 ， 为标准正态离差。为标准正态离差。 )，(2iiNiiiiyu/ )( yi不一定来自同一个正态总体，即不一定来自同一个正态总体，即 及及 可以是不可以是不同正态分布的参数。若通常

2、所研究的对象属同一个总体，同正态分布的参数。若通常所研究的对象属同一个总体，则则 ， ，从而，从而iiii22iiy(72)2 抽样分布的密度函数为抽样分布的密度函数为)2(2)()(221)2(222/ef/ / 累积分布函数为累积分布函数为 2)()()()(222222dfPFppp 分布的自由度为独立的正态离差的个数，此处分布的自由度为独立的正态离差的个数，此处 v =n ，其分布图形为一组具不同自由度，其分布图形为一组具不同自由度 v 值的曲线值的曲线(图图7.1)。 值最小为值最小为0，最大为，最大为+，因而在坐标轴的右面。，因而在坐标轴的右面。 自由度小时呈偏态，随着自由度增加，

3、偏度降低，至自由度小时呈偏态，随着自由度增加，偏度降低，至+时，呈对称分布。时，呈对称分布。 该分布的平均数为该分布的平均数为 v ，方差为，方差为2v。220246810120.00.10.20.30.40.50.6)(2f图图7.1 不同自由度的不同自由度的 分布曲线分布曲线 21352 若所研究的总体若所研究的总体 不知，而以样本不知，而以样本 代替，则代替，则y22222222) 1()(1ssnyyyyii(73) 此时独立的正态离差个数为此时独立的正态离差个数为n1个，故个，故 v =n1。 与与u、t、F统计数的比较：统计数的比较： 2l按定义按定义 ，当只有，当只有1个正态离差

4、时个正态离差时 ,22iiu22u2usytl ，当，当s的自由度无限增大时的自由度无限增大时 ，2uyt此时此时 的的 v =1。2l ，当，当 的自由度无限增大时的自由度无限增大时 ，2221/ssF 22s/22221 sF v 为为s12的自由度。的自由度。 K.Pearson(1900)根据根据 的上述定义从属性性状的的上述定义从属性性状的分布推导出用于次数资料分布推导出用于次数资料(亦称计数资料亦称计数资料)分析的分析的 公式：公式：22iEEO22)(74) 上式中上式中O为观察次数，为观察次数，E为理论次数，为理论次数，i=1，k为为计数资料的分组数，自由度为计数资料的分组数，

5、自由度为 v ，依分组数及其相互独，依分组数及其相互独立的程度决定，这种形式的立的程度决定，这种形式的 分布图形与图分布图形与图7.1相同。相同。2 值是多项值是多项 ui2 或或 (OE)2/E 之和，之和， 具有可加性。具有可加性。22第二节第二节 次数资料的次数资料的 测验测验一、适合性一、适合性 测验的方法测验的方法二、各种遗传分离比例的适合性测验二、各种遗传分离比例的适合性测验三、独立性测验三、独立性测验2 2 一、适合性一、适合性 测验的方法测验的方法2 例例:玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一对相对性状。玉米花粉粒中形成淀粉粒或糊精是一对相对性状。淀粉粒遇碘呈蓝色反应，因而可以用碘

6、试法直接观察花粉淀粉粒遇碘呈蓝色反应，因而可以用碘试法直接观察花粉粒的分离现象。某项实验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂交粒的分离现象。某项实验观察淀粉质与非淀粉质玉米杂交的的F1代花粉粒，经碘处理后有代花粉粒，经碘处理后有3437粒呈蓝色反应，粒呈蓝色反应，3482粒粒呈非蓝色反应。根据遗传学理论可假设玉米花粉粒碘反应呈非蓝色反应。根据遗传学理论可假设玉米花粉粒碘反应为为1 1，由此可以计得，由此可以计得3437+3482=6916粒花粉中，蓝色粒花粉中，蓝色反应与非蓝色反应的理论次数应各为反应与非蓝色反应的理论次数应各为3459.5粒。设以粒。设以O代代表观察次数，表观察次数，E代表理论次数，可

7、将上列结果列成表代表理论次数，可将上列结果列成表7.2。表7.2 玉米花粉粒碘反应观察次数与理论次数碘反应观察次数(O)理论次数(E)OE(OE)2/E蓝色3437(O1)3459.5(E1)22.50.1463非蓝色3482(O2)3459.5(E2)22.50.1463总数6919691900.2926 此处要推论是否符合此处要推论是否符合1 1分离，只要看观察次数与理分离，只要看观察次数与理论次数是否一致，故可用论次数是否一致，故可用 测验，可分为四个步骤：测验，可分为四个步骤：2 （1）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差）设立无效假设，即假设观察次数与理论次数的差异由抽样误差所

8、引起，即异由抽样误差所引起，即H0：花粉粒碘反应比例为：花粉粒碘反应比例为1 1与与HA：花粉粒碘反应比例不成：花粉粒碘反应比例不成1 1。 （2）确定显著水平）确定显著水平 =0.05。 （3）在无效假设为正确的假定下，计算超过观察）在无效假设为正确的假定下，计算超过观察 值值的概率，这可由的概率，这可由 计得计得 值后，按自由度值后，按自由度查附表查附表6得到。试验观察的得到。试验观察的 值愈大，观察次数与理论次值愈大，观察次数与理论次数之间相差程度也愈大，两者相符的概率就愈小。数之间相差程度也愈大，两者相符的概率就愈小。iEEO22)(222 （4）依所得概率值的大小，接受或否定无效假设

9、）依所得概率值的大小，接受或否定无效假设 在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。在实际应用时，往往并不需要计算具体的概率值。 若实得若实得 时，则时，则H0发生的概率小于等于发生的概率小于等于 ，属小，属小概率事件，概率事件，H0便被否定；便被否定； 若实得若实得 时，则时，则H0被接受。被接受。 22,22, 例如表例如表7.2资料，资料， 查附表查附表6，当，当 时时 =3.84 ，实得，实得 =0.2926小于小于 ，所以接受，所以接受H0。即认为观察次数和理。即认为观察次数和理论次数相符，接受该玉米论次数相符，接受该玉米F1代花粉粒碘反应比率为代花粉粒碘反应比率为1 1的的假设。

10、假设。 k.EEO122292601463014630)(1121 k20.05,1220.05,1 然而按然而按 的定义的定义 分布是连续性的，而次数资料则是间断性的。由间断性资分布是连续性的，而次数资料则是间断性的。由间断性资料算得的料算得的 值有偏大的趋势值有偏大的趋势(尤其在尤其在 时时)，需作连续性矫，需作连续性矫正。其方法是：在度量观察次数相对于理论次数的偏差时，正。其方法是：在度量观察次数相对于理论次数的偏差时，将各偏差的绝对值都减将各偏差的绝对值都减1/2，即，即|OE|1/2。矫正后的。矫正后的 用用 表示，即表示，即iiiiiiniyuuuuu222222212)(2221

11、22CE/E|OC22)21(712)如表如表7.2资料的资料的 值为：值为：2C27980139901399053459)21522(53459)21522()21(2222. ./|.|./|.|E/E|OC =0.2798仍然小于仍然小于 =3.84，结论与前相同。，结论与前相同。2 这是因样本较大，故这是因样本较大，故 与与 值的相差不大。值的相差不大。 20.05,122C122 一般一般 的样本，尤其是小样本，在计算的样本，尤其是小样本，在计算 值时必须值时必须作连续性矫正，否则所得作连续性矫正，否则所得 值偏大，容易达到显著水平。值偏大，容易达到显著水平。对对 2的样本，都可以不

12、作连续性矫正。的样本，都可以不作连续性矫正。 当当 30时，时， 分布已近于对称，而分布已近于对称，而 的分布是的分布是正态的，具平均数正态的，具平均数 和标准差和标准差1。 因而，当因而，当 30时可采用正态离差时可采用正态离差u测验代替测验代替 测验测验，即，即 22212 2如如u1.64，即表示实得，即表示实得 值有显著性。值有显著性。1221)122(22yu2二、各种遗传分离比例的适合性测验二、各种遗传分离比例的适合性测验 例例7.5 大豆花色一对等位基因的遗传研究，在大豆花色一对等位基因的遗传研究，在F2获得表获得表7.3所列分离株数。问这一资料的实际观察比例是否符合于所列分离株

13、数。问这一资料的实际观察比例是否符合于3 1的理论比值。的理论比值。表表7.3 7.3 大豆花色一对等位基因遗传的适合性测验大豆花色一对等位基因遗传的适合性测验花色F2代实际株数(O)理论株数(E)OE| OE |1/2(|OE|1/2)2/E紫色208216.758.758.250.3140白色8172.258.758.250.9420总数28928901.2560 H0：大豆花色：大豆花色F2分离符合分离符合3 1比率；比率；HA：不符合：不符合3 1比比率。率。 显著水平显著水平 =0.05。 由于该资料只有由于该资料只有k=2组，组， ，故在计算，故在计算 值时值时需作连续性矫正。需作

14、连续性矫正。11 k2E/E|OC22)21( 由由 可得：可得：2560194200314002572)50758(75216)50758(222.|-.|.|-.|- C 查附表查附表6 6， 。现。现 故应接故应接受受H0，说明大豆花色这对性状是符合，说明大豆花色这对性状是符合3 1比率，即符合一对比率，即符合一对等位基因的表型分离比例。等位基因的表型分离比例。84321050.，.21 ,05. 0225601 .C 分离比例一类的适合性测验计算分离比例一类的适合性测验计算 时，也可以不经过时，也可以不经过计算理论次数，而直接得出计算理论次数，而直接得出2Cna|-|A-C3)23(2

15、2(713) 其中，其中，A和和a分别为显性组和隐性组的实际观察次数；分别为显性组和隐性组的实际观察次数；n=A+a，即总次数。本例资料代入，即总次数。本例资料代入(713)(713)有：有： 25601867)235(2893)2813208(222.|-| C与与(712)(712)算得的算得的 值相同。值相同。2C 对于仅划分为两组对于仅划分为两组(如显性与隐性如显性与隐性)的资料，如测验其与的资料，如测验其与某种理论比率的适合性，则其某种理论比率的适合性，则其 值皆可用类似值皆可用类似(713)的简式的简式求出。这些简式列于表求出。这些简式列于表7.4。2C2c表7.47.4 测验两组

16、资料与某种理论比率符合度的 值公式理论比率理论比率( (显性显性隐性隐性) ) 公式公式1 1(|A-a|-1)2/n2 1(|A-2a|-1.5)2/2n3 1(|A-3a|-2)2/3n15 1(|A-15a|-8)2/15n9 7(|7A-9a|-8)2/63n13 3(|3A-13a|-8)2/63nr 1|A-ra|-(r+1)/22/rn 例例7.6 7.6 两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，两对等位基因遗传试验，如基因为独立分配，则则F2代的四种表现型在理论上应有代的四种表现型在理论上应有9 3 3 1的比率。有的比率。有一水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品一

17、水稻遗传试验，以稃尖有色非糯品种与稃尖无色糯性品种杂交，其种杂交，其F2代得表代得表7.57.5结果。试检查实际结果是否符合结果。试检查实际结果是否符合9 3 3 1的理论比率。的理论比率。表7.5 F2代表型的观察次数和根据9 3 3 1算出的理论次数表现型稃尖有色非糯稃尖有色糯稻稃尖无色非糯稃尖无色糯稻总数观察次数(O)491769086743理论次数(E)417.94139.31139.3146.44743OE73.06-63.31-49.3139.560 首先，按首先，按9 3 3 1的理论比率算得各种表现型的理的理论比率算得各种表现型的理论次数论次数E， 如稃尖有色非糯稻如稃尖有色非

18、糯稻 E=743(9/16)=417.94， 稃尖有色糯稻稃尖有色糯稻 E=743(3/16)=139.31，。 H0：稃尖和糯性性状在：稃尖和糯性性状在F2的分离符合的分离符合9 3 3 1； HA：不符合：不符合9 3 3 1。 显著水平：显著水平： =0.05。 然后计算然后计算 值值2696924446563931139)3149(31139)3163(94417067322222. 因本例共有因本例共有k=4组，故组，故 =k-1=3。查附表。查附表6， , ,现实得现实得 , ,所以所以否定否定H0，接受接受HA，即该水稻稃尖和糯性性状在，即该水稻稃尖和糯性性状在F2的实际结果不符

19、的实际结果不符合合9 3 3 1的理论比率。的理论比率。815723050.，.23 ,05. 02696.92 这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，这一情况表明，该两对等位基因并非独立遗传，而可能为连锁遗传。而可能为连锁遗传。 测验实际结果与测验实际结果与93319331理论比率的适合性，也可不经理论比率的适合性，也可不经过计算理论次数而直接用以下简式过计算理论次数而直接用以下简式nnaaaa9)933(16242322212(714) 上式中的上式中的a1、a2、a3、a4分别为分别为9 3 3 1比率中各项比率中各项表现型的实际观察次数，表现型的实际观察次数，n为总次数。为总次数。

20、 如本例，可由如本例，可由(714)算得：算得： 706927437439)869903763491(1622222. 前面的前面的 =92.696=92.696，与此，与此 =92.706=92.706略有差异，系前略有差异，系前者有较大计算误差之故。者有较大计算误差之故。22实际资料多于两组的实际资料多于两组的 值通式则为：值通式则为：nnmaii222(715)上式的上式的mi为各项理论比率，为各项理论比率，ai为其对应的观察次数。为其对应的观察次数。如本例，亦可由如本例，亦可由(715)算得算得70692743743)161 (86743)163(90743)163(76743)169

21、(49122222./与此一致。与此一致。三、三、 独立性测验独立性测验2 应用应用 进行独立性测验的无效假设是：进行独立性测验的无效假设是：H0：两个变数相互独立，对：两个变数相互独立，对HA：两个变数彼此相关。：两个变数彼此相关。 计算过程计算过程: (1)将所得次数资料按两个变数作两向分组，排列成相依将所得次数资料按两个变数作两向分组，排列成相依表；表； (2)根据两个变数相互独立的假设，算出每一组格的理论根据两个变数相互独立的假设，算出每一组格的理论次数；次数； (3)由由 算得算得 值。值。iEEO22)(2 这个这个 的自由度随两个变数各自的分组数而不同，设的自由度随两个变数各自的

22、分组数而不同，设横行分横行分r组，纵行分组，纵行分c组，则组，则 =(r1)(c1)。当观察的当观察的 时，便接受时，便接受H0，即两个变数相互独立；，即两个变数相互独立；当观察的当观察的 时，便否定时，便否定H0，接受，接受HA，即两个变数，即两个变数相关。相关。222，22， 独立性测验方法的各种类型独立性测验方法的各种类型 一、一、22表的独立性测验表的独立性测验 二、二、2C表的独立性测验表的独立性测验 三、三、rc表的独立性测验表的独立性测验1 1、22表的独立性测验表的独立性测验1 1、22表的独立性测验表的独立性测验 2 22相依表是指横行和纵行皆分为两组的资料。在相依表是指横行

23、和纵行皆分为两组的资料。在作独立性测验时，其作独立性测验时，其 =(21)(21)=1，故计算，故计算 值时值时需作连续性矫正。需作连续性矫正。 例例7.8 7.8 调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理调查经过种子灭菌处理与未经种子灭菌处理的小麦发生散黑穗病的穗数，得相依表的小麦发生散黑穗病的穗数，得相依表7.77.7，试分析种子，试分析种子灭菌与否和散黑穗病穗多少是否有关。灭菌与否和散黑穗病穗多少是否有关。表7.7 防治小麦散黑穗病的观察结果处处 理理 项项 目目发发 病病 穗穗 数数未发病未发病穗数穗数总总 数数种子灭种子灭菌菌 26( 34.7) 50( 41.3) 76种子未种子未灭

24、菌灭菌 184(175.3) 200(208.7)384总总 数数 210 250460 假设假设H0：两变数相互独立，即种子灭菌与否和散黑穗病：两变数相互独立，即种子灭菌与否和散黑穗病病穗多少无关；病穗多少无关；HA：两变数彼此相关。：两变数彼此相关。 显著水平显著水平 =0.05。 根据两变数相互独立的假定，算得各组格的理论次数。根据两变数相互独立的假定，算得各组格的理论次数。 如种子灭菌项的发病穗数如种子灭菌项的发病穗数O1=26，其理论次数，其理论次数E1=(21076)/460=34.7，即该组格的横行总和乘以纵行总和，即该组格的横行总和乘以纵行总和再除以观察总次数再除以观察总次数(

25、 (下同下同) )；同样可算得同样可算得 O2=50 的的 E2=(25076)/460=41.3； O3=184的的E3=(210384)/460=175.3； O4=200的的E4=(250384)/460=208.7。以上各个以上各个E值填于表值填于表7.77.7括号内。括号内。26747208)507208200(3175)503175184(341)5034150(734)5073426(22222.|.|.|.| .|.|.|.|CE/E|OC22)21(以上各个以上各个E值代入值代入 有有 这里这里 =(21)(21)=1，查附表，查附表6 6， ，现，现实得实得 ，故，故P0.

26、05，应否定应否定H0。即种子灭。即种子灭菌与否和散黑穗病发病高低有相关，种子灭菌对防治小麦菌与否和散黑穗病发病高低有相关，种子灭菌对防治小麦散黑穗病有一定效果。散黑穗病有一定效果。84321050.，.21 ,05. 022674 .C 22表的独立性测验也可不经过计算理论次数而直接得表的独立性测验也可不经过计算理论次数而直接得到到 值。值。22表的一般化形式如表表的一般化形式如表7.87.8。按表中的符号按表中的符号2C表7.8 22表的一般化形式a11a12R1a21a22R2C1C2n(716)如本例各观察次数代入如本例各观察次数代入(716)可得：可得：与前面结果相同。与前面结果相同

27、。267425021038476460)24605018420026(22./|C21212211222112)2(RRCCnn/|aaa|aC2 2、2C表的独立性测验表的独立性测验 2C表是指横行分为两组，纵行分为表是指横行分为两组，纵行分为C3组的相依表组的相依表资料。资料。 在作独立性测验时，其在作独立性测验时，其 =(21)(c1)=c1。由于。由于c3, ,故不需作连续性矫正。故不需作连续性矫正。 例例7.9 进行大豆等位酶进行大豆等位酶Aph的电泳分析，的电泳分析，193份野生大份野生大豆、豆、223份栽培大豆等位基因型的次数列于表份栽培大豆等位基因型的次数列于表7.9，试分析，试分析大豆大豆A