专题质数那些事含答案

1、专题01质数那些事阅读与思考一个大于 1 的自然数如果只能被 1 和本身整除，就叫作质数（也叫素数）；如果能被 1 和本身以外的自然数整除，就叫作合数；自然数 1 既不是质数，也不是合数，叫作单位数.这样，我们可以按约数个数将正整数分为三类：关于质数、合数有下列重要性质：1 .质数有无穷多个，最小的质数是 2,但不存在最大的质数，最小的合数是 4.2 .1 既不是质数，也不是合数；2 是唯一的偶质数.3 .若质数p|ab,则必有p|a或p|b.4 .算术基本定理：任意一个大于 1 的整数 N 能唯一地分解成k个质因数的乘积（不考虑质因数之间的顺序关系）：N=P1alF2a2LPak，其中RP2

2、LR,Pi为质数，4为非负数（i=1,2,3,，k）.正整数 N 的正约数的个数为（1+a1）（1+a1）（1+a1）,所有正约数的和为（1+P,+-+Pa1）（1+P2+Pa2）（1+Pk+Pak）.例题与求解【例 1】已知三个质数a,b,c满足 a+b+c+abc=99,那么abbcca的值等于（江苏省竞赛试题）解题思想：运用质数性质，结合奇偶性分析，推出a,b,c的值.【例 2】若p为质数，p3+5 仍为质数，则p5+7 为（）A.质数 B.可为质数，也可为合数C.合数 D.既不是质数，也不是合数（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思想：从简单情形入手，实验、归纳与猜想.【例 3】求这样的质数，

3、当它加上 10 和 14 时，仍为质数.（上海市竞赛试题）解题思想：由于质数的分布不规则，不妨从最小的质数开始进行实验，另外，需考虑这样的质数是否唯,按剩余类加以深入讨论.【例 4】将 1,2,，2004 这 2004 个数随意排成一行，得到一个数n,求证：n一定是合数.若n是大于 2 的正整数，求证：2n1 与2n+1 中至多有一个质数.求 360 的所有正约数的倒数和.（江苏省竞赛试题）解题思想：将 1 到 2004 随意排成一行，由于中间的数很多，不可能一一排出，不妨找出无论怎样排，所得数都有非 1 和本身的约数；只需说明2n1 与2n+1 中必有一个是合数，不能同为质数即可；逐个求解正

4、约数太麻烦，考虑整体求解.112【例 5】设x和y是正整数，xwy,p是奇质数，并且，求 x+y的值.xyp解题思想：由题意变形得出p整除x或y,不妨设xtp.由质数的定义得到 2t1=1 或 2t1=p.由xWy及 211为质数即可得出结论.【例 6】若一个质数的各位数码经任意排列后仍然是质数，则称它是一个“绝对质数”如 2,3,5,7,11,13（31）,17（71）,37（73）,79（97）,113（131,311）,199（919,991）,337（373,733）,都是质数,求证：绝对质数的各位数码不能同时出现数码 1,3,7,9.（青少年国际城市邀请赛试题）解题思想：一个绝对质数

5、如果同时含有数字 1,3,7,9,则在这个质数的十进制表示中，不可能含有数字 0,2,4,5,6,8,否则，进行适当排列后，这个数能被 2 或 5 整除.能力训练A级2.22.222221 .右a,b,c,d为整数，abcd=1997,则abcd=.2.在 1,2,3,， n 这个 n 自然数中， 已知共有p个质数，q个合数，k个奇数，m 个偶数，则（qm)+(p-k尸33 .设a,b为自然数，满足 1176a=b，则a的最小值为（“希望杯”邀请赛试题）6114 .已知p是质数，并且p+3 也是质数，则p48 的值为（北京市竞赛试题）5 .任意调换 12345 各数位上数字的位置，所得的五位数

6、中质数的个数是（）A.4B.8C.12D.06 .在 2005,2007,2009 这三个数中，质数有（）A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个（“希望杯”邀请赛试题）7 .一个两位数的个位数字和十位数字变换位置后，所得的数比原来的数大 9,这样的两位中，质数有（）A.1 个 B.3 个 C.5 个 D.6 个（“希望杯”邀请赛试题）8 .设p,q,r都是质数，并且p+q=r,pq.求p.9 .写出十个连续的自然数，使得个个都是合数.（上海市竞赛试题）10 .在黑板上写出下面的数 2,3,4,，1994,甲先擦去其中的一个数，然后乙再擦去一个数，如此轮流下去，若最后剩下的两个数互质，则

7、甲胜；若最后剩下的两个数不互质，则乙胜，你如果想胜，应当选甲还是选乙？说明理由.（五城市联赛试题）11 .用正方形的地砖不重叠、无缝隙地铺满一块地，选用边长为xcm 规格的地砖，恰用n块，若选用边长为ycm 规格的地砖，则要比前一种刚好多用 124 块，已知x,y,n都是正整数，且（x,y）=1,试问这块地有多少平方米？（湖北省荆州市竞赛试题）B级12 若质数m,n满足 5m+7n=129,则 m+n的值为pqpq儿13.已知p,q均为质数，并且存在两个正整数m,n,使得p=m+n,q=mxn,则上一的mn值为.14自然数a,b,c,d,e都大于 1,其乘积abcde=2000,则其和 a+b

8、+c+d+e的最大值为,最小值为.（“五羊杯”竞赛试题15 机器人对自然数从 1 开始由小到大按如下的规则染色：凡能表示为两个合数之和的自然数都染成红色，不合上述要求的自然数都染成黄色，若被染成红色的数由小到大数下去，则第 1992 个数是.（北京市“迎春杯”竞赛试题）115.若a,b均为质数，且满足a+b=2089,则 49b-a=.A.0B,2007C.2008D.2010（“五羊杯”竞赛试题）2一26.设a为质数，并且 7a+8 和 8a+7 也都为质数，记x=77a+8,y=88a+7,则在以下情形中，必定成立的是（）A.x,y 都是质数 B.x,y 都是合数C.x,y一个是质数，一个

9、是合数 D.对不同的a,以上皆可能出现（江西省竞赛试题）2.22.2abcd,求证：a+b+c+d一定是合数.（北京市竞赛试题）8 .请同时取六个互异的自然数，使它们同时满足：6 个数中任意两个都互质；7.设a,b,c,d是自然数，并且6 个数任取 2 个，3 个，4 个，5 个，6 个数之和都是合数，并简述选择的数符合条件的理由.9 .已知正整数p,q都是质数，并且 7p+q与pq+11 也都是质数，试求pqqp的值.(湖北省荆州市竞赛试题)10 .41 名运动员所穿运动衣号码是 1,2,，40,41 这 41 个自然数，问：(l)能否使这 41 名运动员站成一排，使得任意两个相邻运动员的号

10、码之和是质数？(2)能否让这 41 名运动员站成一圈，使得任意两个相邻运动员的号码之和都是质数？若能办到，请举出一例；若不能办到，请说明理由.专题01质数那些事例 134区 J2C区 J33 符合要求提示：当 p=3k+1 时，p+10=3k+11,p+14=3(k+5),显然 p+14 是合数，当 p=3k+2 时，p+10=3(k+4)是合数，当 p=3k 时，只有 k=1 才符合题意.4(1)因 1+2+2004=1X2004X(1+2004)=1002X2005 为 3 的倍数，故无论怎样交换这 2004 个2数的顺序，所得数都有 3 这个约数.(2)因 n 是大于 2 的正整数，则2

11、nQ7,2n1、212n+1 是不小于 7 的三个连续的正整数，其中必有一个被 3 整除，但 3 不整除2n,故2n1 与2n+1 中至多有一个数是质数.b,d1，d2,d3,，dn为 a 的正约数从小到大的排列，于是1中各分数分母的最小公倍数dn=a,故dnb11701义(1+5)=1170.-=3一.a3604y22xy、，一=一，倚x+y=k.(k 为正整数),可得 2xy=kp,所以 p 整除 2xy 且 p 为奇质数,xypxv2或 2t1=p.右 2t1=,得 t=1,x=y=p,与 xwy 矛盾；右 2t1=p，贝 1=一,(3)设正整数 a 的所有正约数之和为dn=a.由于Sd

12、1d2d3S=S=dndn1dnd1d1d2dndndnb右*=一，而aa=360=23325,故 b=(1+2+22+23)(1+3+32)整除 x 或 y,不放设x=tp,贝 1tp+y=2ty,得 y=tp2t-为整数.又 t 与 2t1 互质，故 2t-1 整除 p,p 为1质数，所以 2t-1=12xy=p(x+y).;p 是奇质数，则 x+y 为偶数，x、y 同奇偶性，只能同为 xy=-p-y 必有某数含因y31,或y1xy62xy2x16x,或32y15y30(舍)数 p.令 x=ap,ay=apy,2ay=ap+y.y=ap,故 a,2a1 互质，2a1 整除 p,又 p 是质

13、数,22a1贝 12a1=p,a=,故 x=-22/2.x+y=ppW=3_2221,3,7,9 的绝对质数.因为k0=7931,k、=1793,k2=9137,ka=7913,k4=7193,k5=1937,k6=7139 除以 7 所得余数分别为 0,1,2,3,4,5,6.故如下 7 个正整数:NoC1C2Cn47931=LL104ko,N1CCCn41793=LL104k1,N6C1C2Cn47139=LL104k6,其中，一定有一个能被 7 整除，则这个数就不是质数，故矛盾.A级1.19982.13.634.20005.D6,A7,B8 .由 r=p+q 可知 r 不是最小的质数，则

14、为奇数，故 p,q 为一奇一偶，又因为 py(x,y)=1./22、.，22222,._,(x,y)=1(xy,y)=1 得xyI124222-124=2x31,xy=(x+y)(xy)p=pp12例 6 设 N 是一个同时含有数字10.选甲.提示：相邻的两个自然数总是互质数,把相邻自然数两两分为一组,这两数总是互质的，（2,3）,(4,5),(6,7),，(1992,1993)此时 n=124y2=9Q0 xy2_222 S=nx=900X16=230400cm=23,04m。B级1 .19 或 25231提示：q=mn,则 m、n 只能一个为 1,另一个为 q.33 .133234.200

15、1115.B 提不：唯有 a=2,b=2089-2=2089-2048=41 是质数，符合题意.2、，.、一21.226.A 提不：当 a=3 时，符合题意；当 aw3 时，a被 3 处余 1,设a=3n+1,则 7a+8=21n+15,8a+7=24n+15,它们都不是质数，与条件矛盾.故 a=3.222222227.a-a,bb,c-c,dd 都是偶数，即 M=abcd(a+b+c+d)是偶数.因为22222222222222ab=cd,所以abcd=2(ab)是偶数，从而有 a+b+c+d=abcd2 2-M=2(ab)M,它一定是偶数，但 a+b+c+d2,于是 a+b+c+d 是个合

16、数.8,取六个数 ai=ix(1X2X3X4X5X6)+1(i=1,2,，6),则其中任意两个数都是互质的，事实上，假设a2与 a5不互质，设 d 是 a2与 a5的最大公约数，则 d 必是(52)X1x2X3X4X5X6,即 3X1X2X3X4X5x6 的一个因子，但从a2=2X1X2X3x4X5x6+1 知，d 不整除 m,这与假设 d 是 a2与 a5的最大公约数矛盾，故 a2与 a5互质.9 .由 pq+1111 且 pq+11 是质数知，pq+11 必为正奇数，从而 p=2 或 q=2.若 p=2,此时 7p+q 及 2q+11 均为质数.设 q=3k+1,则 q+14=3(k+5)不是质数;设 q=3k+2,则 2q+11=3(2k+5)不是质数，因此 q应为 3k 型的质数，当然只能是 q=3.(2)若q=2,此时 7p+q 与 2P+11 均为质数，设 p=3k+1,则 7p+2=3(7k+3)不是质数;设 p=3k+2,则 2p+11=3(2k+5)不是质数，因此，p 应为 3k 型的质数，p=3.综合(1),(2)知 p=3,q=2 或 p=2,q=3,所以 pq十 qp=17.10.(1)能办到提示：注意到 41 与 43 都是质数，据题意，要使相邻两数的和