不定积分换元法

1、二、第二类换元法二、第二类换元法第二节一、第一类换元法一、第一类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 换元积分法 第四四章 第二类换元法第二类换元法第一类换元法第一类换元法xxxfd)()(uufd)(基本思路基本思路 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()( ( )FxC)(d)(xuuuf)()(xuCuF)d(dFxx ( )( )fxx则有一、第一类换元法一、第一类换元法定理定理1.,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()(uufd)()(xu)(d)(xxf(也称也称即xxxfd)()(凑微分法凑微分法)机动

2、 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1 1 求求sin2.xdx解解（一）（一）sin2xdxsin2)2d(xx1cos2;2xC 解解（二）（二）sin2xdx2 sin cosxxdx2 sin(si)nxdx2ux令原式1sin2udu1cos2uC cos2xC 12机动 目录 上页 下页 返回 结束 2sin;xC解解（三）（三）sin2xdx2 sin cosxxdx2 cos)cos(xdx 2cos.xC sinux令原式2 udu2uCcosux2 udu 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2 求求1.32dxx解解132dxx

3、1(313222 ) dxxx112duu1ln |2uC1ln |32 |.2xC()f axb dx1( )u ax bf u dua一般地一般地32ux() ()f axb d axb1321()322dxx=1a机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3 3 求求1.(12ln )dxxx解解1(12ln )dxxx1()12l2 nn11l2dxxxuln21 112duu1ln |2uC1ln |12ln|.2xC22)(1d1axxa例例. 求求.d22xax解解:22dxax21uuda1Cuaarctan1Caxa)arctan(1想到公式想到公式21duuCu arctan

4、)(ax机动 目录 上页 下页 返回 结束 xua2d11 ( )xaxaa说明：熟悉第说明：熟悉第一类换元法之一类换元法之后，就没有必后，就没有必要写出中间变要写出中间变量的代换过程量的代换过程P160, 公式公式(18) SCU例例3. 求).0(d22axax21duu想到Cu arcsin解解:2)(1daxax2)(1)(daxaxCax arcsin22dxax机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160, 公式公式(21) SCU例例4. 求.dtanxx解解:xxxdcossinxxcoscosdCx cosln?dcotxxxxxsindcosCx sinlnxxsinsin

5、dxxdtan机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似P160, 公式公式(14, 15) SCUln secxCCaxaxaln21例例5. 求求.d22axx解解:221ax )(axax)()(axaxa21)11(21axaxa 原式原式 =a21axxaxxdda21axax)(da21ax lnax lnCaxax)( d机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160, 公式公式(19,20) SCU常用的几种凑微分形式常用的几种凑微分形式: xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnx

6、dn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cosxfxcosd机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfxtandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(ln xfxlnd机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求.d3xxex解解: 原式原式 )3d(323xexCex332例例8. 求求.dsec6xx解解: 原式原式 =xdxx222sec) 1(tanxtandxxxtand) 1tan2(tan24x5tan51x3ta

7、n32xtanC机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9. 求.1dxex解法解法1xex1dxeeexxxd1)1 (xdxxee1)1 (dxCex)1ln(解法解法2 xex1dxeexxd1xxee1)1 (dCex)1ln()1(ln)1ln(xxxeee两法结果一样两法结果一样机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxsin11sin1121例例10. 求求.dsecxx解法解法1 xxdsecxxxdcoscos2xx2sin1sinddsin xxsin1ln21Cxsin1lnCxxsin1sin1ln21机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxtansec解法解法 2 xx

8、dsecxxdsecxxtansec )tan(secxxxxxxxxdtansectansecsec2)tan(secdxx Cxxtansecln同样可证xxdcscCxxcotcscln或xxdcscCx2tanln(P199 例例18 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 P160, 公式公式(16, 17) SCU222d)(2123xax例例11. 求求.d)(23223xaxx解解: 原式原式 =23)(22ax22dxx21222)(aax21)(2122ax)(d22ax 23)(2222axa)(d22ax 22ax 222axaC机动 目录 上页 下页 返回 结束 )2c

9、os2cos21 (241xx 例例12 . 求求.dcos4xx解解:224)(coscosxx 2)22cos1(x)2cos21 (24cos141xx)4cos2cos2(212341xxxxdcos4xxxd)4cos2cos2(21234141xd23)2d(2cosxx)4(d4cos81xxx83x2sin41x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例13. 求.d3cossin22xxx解解:xx3cossin22221)2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin24141241)8cos1 (81xxx2cos2sin2)4cos1

10、(81x原式 =xd41)8d(8cos641xx)2(sind2sin221xx)4d(4cos321xxx41x8sin641x2sin361x4sin321C机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考：思考：34sincosd .xx x34tansecd .xx x46tansecd .xx xxxexex111xexexxxdd xexxd) 1(例例14. 求求.d)1 (1xexxxx解解: 原式原式=xexxxxd)1 () 1(xexe)1 (1xxxexe)(d)111(xxxexexex)1 (1xxxxxexexexe)(dxxexexlnxex1lnCCexxxx1ln

11、ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析分析: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1515 求求解解21.4arcsin2dxxx21d4arcsin2xxx21d21arcsin22xxx1d(arcsin)2arcsin2xxln arcsin.2xC机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解2cos1,xu ( )1,f uu ( )1f uu du21,2uuC21( ).2f xxxC例例14 设设 求求22(sin)cos,fxx( )f x2sin,ux令例例15. 求.d)()()()()(32xxfxfxfxfxf 解解: 原式原式xxfxfxfxfxfd)()()(

12、1)()(2 Cxfxf2)()(21)()(d(xfxf机动 目录 上页 下页 返回 结束 )()(xfxf22( )( )( ) ( )d( )( )f xfxfx f xxfxfx小结小结常用简化技巧:(1) 分项积分:(2) 降低幂次:(3) 统一函数: 利用三角公式 ; 配元方法(4) 巧妙换元或配元等xx22cossin1; )2cos1 (sin212xx; )2cos1 (cos212xx万能凑幂法xxxfnnd)(1nnnxxfd)(1xxxfnd1)(nxnnxxfnd)(11机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用积化和差; 分式分项;利用倍角公式 , 如cos3 cos

13、2 dxx xex13, P164, SCU思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xxxd4)4(2224d)5(xx24d)6(xxxxx4)4(d22221)(1)d(xx22214)4(dxxxxd441241xx2121xd2)2(4x)2(dx机动 目录 上页 下页 返回 结束 xxxd) 1(1102. 求求.) 1(d10 xxx提示提示:法法1法法2法法3 ) 1(d10 xxx10)x ) 1(d10 xxx) 1(1010 xx ) 1(d10 xxx)1 (d1011xxx101x10d x10110(x

14、10dx101作业 目录 上页 下页 返回 结束 二、第二类换元法二、第二类换元法机动 目录 上页 下页 返回 结束 第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则得第二类换元积分法 .难求，uufd)(CxF)()()()(ttft定理定理2 . 设设)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtdd)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct

15、)(1xt)(1d)()(xttttf机动 目录 上页 下页 返回 结束 则有换元公式例例16. 求. )0(d22axxa解解: 令令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例17. 求. )0(d22aaxx解解: 令令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasecttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdt

16、tdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa1CP160, 公式公式(22) SCU例例18. 求. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC机动 目录 上页 下页 返回 结束 22ax axa可以可以不管不管具体具体形式形式P160, 公式公式(22) SCU,时当ax令,u

17、x,au 则于是22daxx22dauuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以不管具体形式原式21) 1(22ta221a例例19. 求求.d422xxxa解解: 令令,1tx 则则txtdd21原式ttd12122 2(1)da ttt 42112tta Cata2223) 1(23Cxaxa32223)(23) 1(d22ta机动 目录 上页 下页 返回 结束 解法一：三角代换解法一：三角代换解法二：倒代换解法二：倒代换小结小结:1. 第二类换元法常见类型第二

18、类换元法常见类型: ,d),() 1 (xbaxxfn令nbxat,d),()2(xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()3(22xxaxf令taxsin或taxcos,d),()4(22xxaxf令taxtan,d),()5(22xaxxf令taxsec机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节讲第四节讲31.(1)dxxx根式代换根式代换Ex21, P167, SCU(14)tan dxx (15)cot dx x (16)sec dx x (17)csc dx x Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln机动 目录 上页 下页 返回 结束

19、2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 (P205, P160(SCU)(7) 分母中因子次数较高时分母中因子次数较高时, 可试用可试用倒代换倒代换 ,d)()6(xafx令xat 221(18)d xax221(20)dxax221(21)dxxa221(19)dxxaCaxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22221(22)dxxaCaxx22ln机动 目录 上页 下页 返回 结束 222221(23)darcsin22axaxxx axCa22(24)dxax22222ln |22xaxaxxaC机动 目录 上页 下页 返回 结束 川大教材

20、没有川大教材没有公式公式(24).32d2 xxx解解: 原式原式xxd2) 1(122)2() 1( dx21arctan21xC(P205 公式 (20) )机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例20. 求求例例21. 求求.94d2xxI解解:221d232xIx219ln24xxC(P206 公式 (23) )例例22. 求求.1d2xxx解解: 原式原式 =22)()()(d21x(P206 公式 (22) )2521xCx512arcsin机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例23. 求求.1d2xex解解: 原式原式xxee21dCexarcsin(P206 公式 (22)

21、)根式代换；三角代换例例24. 求.d222 axxx解解: 令,1tx 得原式ttatd1221) 1(d2122222tataaCtaa11222Cxaax222机动 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换ttttd)1(12132例例25. 求求.2) 1(d23xxxx解解: 原式原式1) 1() 1(d23xxx令tx11tttd122tttd11)1 (22tt d12ttd112tttarcsin121221Ct arcsinCxxxx1121) 1(221arcsin22例16 目录 上页 下页 返回 结束 三角代换1. 已知,1d)(25Cxxxfx求.d)(xxf解解: 两边求导两边求导, 得得)(5xfx,12x