动点产生的等腰三角形

1、中考问题之一因动点产生的等腰三角形这个动点【压轴题型概述】本专题专门探求图形在变化过程中，符合等腰三角形的点的存在性问题可以在x轴、y轴上，也可以在正、反比例函数、一次函数、二次函数上；可能是一个点在运动，也有可能两个点同时运动；所以这类题目的解答要根据运动本身的特点，写出符合这个特点的点的坐标或求出线段的长度.等腰三角形的题目范围较广，题型很多.数形结合，可以直观地找到解题的捷径；代数方法、几何方法各有千秋，灵活应用才能事半功倍.这部分考题在中考试卷中的比例很大，约占30吐右.【策略分级细述】1 .怎样设动点的坐标(1)若动点在x轴上，因为横坐标x在变化，纵坐标y没有变化，始终等于0,所以可

2、设动点坐标为(x,0);若动点在y轴上，横坐标x没有变化，始终等于0,纵坐标y在变化，所以可设动点坐标为(0,y).3(2)右动点在函数y=f(x)上，则横坐标设为x,纵坐标设为f(x).例如，点A在反比仞函数y=-x的图像上，设A(x,y),因为y=1点B在一次函数y=2x2上，直接设B(x,2x2).2.等腰三角形要分类讨论如图1-1,一个三角形为等腰三角形时，存在三种情况：AB=ACAB=BCBC=AC所以要分类进行讨论.,所以用3来代替v,这种情况一般就直接设A(x,-)；又如：xxx3.坐标系中三角形边长的表示如图1-2,若三角形AOB的三个顶点在平面直角坐标系中，设A(刀，yO,B

3、(x2,y2)则AB两点间的距离公式为：AB=(*12)2+(丫1寸2)2.用同样的方法，把其他两条边的距离也写出来，OA=4x2+y12,OB=1x2+y22.然后按照图1-1的方法，让三条边两两相等，解方程即可我们来具体的解一道反比例函数图像上求等腰三角形的题例1.如图1-3,在直角坐标系xOy中，反比例函数y=8图像上的点A、B的坐标分别为(2,nj、x(n,2)，点C在x轴上，且ABC等腰三角形，求点C的坐标.分析：1 .反比例函数y=8图像上的A、B点，满足这个解析式，所以把A、B点的坐标分别代入，求出这x两个点的坐标.2 .如图1-4,点C在x轴上，所以设C(x,0).3 .为了方

4、便起见，讨论前可以利用两点间的距离公式，分别把AB,BCCA的长度写出来.4 .根据等腰三角形存在三种情况：分别对AB=ACAB=BCBC=AC进行讨论.解：因为A(2,m)、B(n,2)在y=8上，所以m=8,2=-,解得：m=4,n=4,所以A(2,4)、x2nB(4,2).因为点C在x轴上，所以设C(x,0),贝UAB=丹(4J)2+(2T)2=22,AC=(x-)2+42=Mx2Tx+20,BC=(xT)2+22=Mx2Tx+20.若ABM等腰三角形，分三种情况讨论： AB=AC艮口x2Tx+20=2/，整理得x2x+12=0,因为0,所以方程无实数根，这种情况不存在. AB=BC艮口

5、.x2Tx+20=2/，整理得x28x+12=0,解得x1=2,x2=6,所以C(2,0)(如图1-4);C(6,0)(因为A、B、C三点在一条直线上，不能构成三角形，如图1-5,所以舍去). BC=AC艮口Rx2Tx+20=.x2Tx+20,解得：x=0,所以C(0,0)(如图1-6).所以这样的点C有两个，C(2,0)或(0,0).例1有两个固定的点在反比例函数上，动点在x轴上，探求符合条件的等腰三角形的点的存在性.接卜来我们再来探讨正、反比例函数上的两个点和y轴上的点构成的等腰三角形的问题图1-7例2.如图1-7,点A(32)是正比例函数和反比例函数的交点，AB_Ly轴于点B,OB=2A

6、B(1)求正比例函数和反比例函数的解析式；(2)求正比例函数和反比例函数的另一个交点C的坐标；(3)在y轴上是否存在一点D,使ACA;等腰三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由.分析：1. 从点A(m2),ABy轴可得：OB=2,因为OB=2ABi所以AB=1,所以A(1,2)把A点的坐标分别代入所设的正比例函数和反比例函数解析式中，即可求得(1).2. 一般地，求两个函数的交点坐标，可以把这两个函数联立方程组，解这个方程组得到的x,y就是它们的交点坐标.但是此题也可以利用正比例函数和反比例函数的特殊性：它们的交点关于原点对称，得到C点坐标.3. 因为点D在y轴上，设出D点坐标

7、，按照等腰三角形存在的三种情况：AC=ADAC=CDAD=CD进行分类讨论.解：(1)因为ABLy轴于点B,OB=2AB,点A(m2)所以OB=2,AB=1,所以A(1,2),一，.一一一一一.k一一因为A(1,2)在y=kx(kw0)上，所以k=2,所以y=2x.又因为A(1,2)在丫=-(kw0)上，所x以k=2,所以y=-.x(2)因为A(1,2),正比例函数和反比例函数的交点关于原点对称，所以C(1,2).(3)存在.因为点D在y轴上，所以设D(0,y),则AC=41+1),(2+2)2=2乖，AD=W+(y)2,CD=()，(y+2)2若ACM等腰三角形，分三种情况讨论： AC=AD

8、即2/=MT+(y，)2,整理得y2Ty15=0,解得y=2Vw,所以D(0,2+19)或(0,2/19) AC=CD即2m=()2+(y+2)2,整理得y2+4y15=0,解得y=一259,所以D(0,2+屏)或(0,19). AD=CD艮NT+(y)2=4(-1)2+(y+2)2,解得y=0,此时点D与原点重合，舍去.所以这样的点D有四个，D(0,2+屈),(0,2/19),(0,2+屏),(0,2719).这一道题的方法和例1一样，但是计算的难度加大，解一元二次方程用到了公式法1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】4.已知：如图，抛物线的解析式为y=-x2+2x+2的顶点坐标为点P

9、,点A的坐标为（一1,1）,点B的坐标为（1,m,且mc3,若ABP等腰三角形，求点B的坐标.（第4题）5.如图，已知：抛物线y=-2x2+x+4与轴交于点C,与x轴交于点AB,平彳f于x轴的动直（第5题）线l与该抛物线交于点P,与直线AC交于点F,点D的坐标为（2,0）.问：是否存在这样的直线l,使得OD厚等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.1.1因动点产生的等腰三角形4.动点移动的路程如图1-8,点P由点C向点A移动，速度是每秒1cni设运动的时间为t秒，则路程C鼻速度x时间=1xt=t;点Q由点B向点C移动，速度是每秒2cm设运动的时间为t秒，则路程BQ=2Xt=

10、2t.动点的移动，是中考经常会碰到的类型，要熟练的掌握它例3.如图1-9,在直角梯形ABCW,AD/BC/C=90,BC=12,AD=18,AB-10.动点P、Q分别从点D、B同时出发，动点P沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q在线段BC上以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点Q运动到点C时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).射线PQ与射线AB相交于点E,AAEP能否为等腰三角形？如果能，求出t的值；如果不能，请说明理由.分析：1 .路程=速度X时间，动点P移动的路程DP=2t,动点Q移动的路程BQ=t2 .直角梯形作高，构造矩形和直角三角形，利用矩形的对边相等或勾股定理

11、找到等量关系3 .动点P沿射线DA的方向运动，所以要分点P在线段DA上，和点P在DA的延长线上两种情况分别讨论4 .当点P在线段DA上，AEF等腰三角形的三种情况要根据三种不同的情况，灵活的采用不同的方法求出t的值5 .当点P在DA的延长线上时，可利用等边对等角，对顶角，平行来找到等量关系求之解：直角梯形ABC珅,AD/BC/C=90,BC=12,AD=18,AB=10,DP=2t,BQ=t.动点P沿射线DA的方向运动，所以分两种情况：(1)点P在线段DA上时：若4BDG;等腰三角形，则分三种情况讨论： 如图1-10,AE=AP,因为DP=2t,AD=18,所以AP=182t,又因为AE=AP

12、,所以/APE=/E,梯形AD/BC/APE=/BQE所以/BQE=/E,所以BE=BQ=t,AE=10+1,所以182t=10+t,解得t=8.3 如图1-11,EP=AE彳PMLBC于M彳#CM=DP=2t,BC=12,BQ=t,所以MQ=12Tt,又因为PQ=AB=10,PM=CD=8,所以MQ=6,所以123t=6,解得t=2. 如图1-12,AP=EP,所以/A=/E,因为AD/BG/EBQ=/A,所以/EBQ=/E,所以EQ=BQ=t,又因为A鼻182t,所以PE=182t,PQ=182tt=183t,MQ=123t,在RtPQ帅,(183t)2=(12Tt)2+8；解得：t=29

13、.9(2)点P在DA勺延长线上时：如图4,AP=2t8=AE所以/AEP=/P,因为AD/IBC,/BQ号/P,因为/AEP=/BEQ所以28/BQE=/BEQ所以BQ=BE=t,所以AE=10t,即2t8=10t,解得：t=下3综上所述，AEP能构成等腰三角形，此时t=8,2,29,28.393在解等腰三角形的题目时，一般情况下是分类讨论两条边相等，但有时利用等腰三角形的三线合一也可使问题更快地解决.本题还有一个难点：点P是在线段上，还是在延长线上，容易疏忽.5.构造相似三角形，利用相似比，探求等腰三角形的存在性学了相似三角形以后，通过作等腰三角形底边上的高，构造一个与基础三角形相似的三角形

14、，通过相似比，探求点的存在性.12如图1-13,若要证PRQ等腰三角形中的PQ=PR已知AB=5,AH=4,/B=/PQRPQ=,5RQ=x,而PW有任何条件求不出来.我们可以作底边上的高PG利用等腰三角形三线合一的性质，得到xPG平分QR所以QG=万，从已知不难得到RtAQPGWR9ABH相似，利用相似比PQAbQGAH得到12x_5_=2,解出x.54例4.如图1-14,在ABC中，AB=AC=5,BC=6,DE分别是边AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持D曰BC以DE为边，在点A的异侧作正方形DEFG设AD=x,当BD型等腰三角形时，请求出AD的长.分析：1 .由DE/BC利用平

15、行线分线段成比例可以求出DE因为正方形DODE所以求出了三角形的边DG.2 .如果已知一个三角形的两条边，来求它是等腰三角形需满足的条件，可以根据等腰三角形的三线合来添辅助线，这样构造了一个直角三角形，想办法在已知条件中也构造一个直角三角形与之相似，使问题得到解决.3 .按照等腰三角形存在的三种情况，进行分类讨论x,解：如图1-15,作AQLBC于Q因为DEIBG所以DE=x,得DE=6x.因为正方形DEFG所以DG655若BDa等腰三角形，分三种情况讨论：DEADr=八七,因为AB=5,BC=6,AD=x,BD=5BCAB6DE=x.5如图1-15,BD=DG即5x=-x,解得x=tv,所以

16、AD=5112511如图1-16,BD=BG此时BC正好是DG的垂直平分线，所以DMAQDMBD口.AQ=AB,即3-x54解得20,20x=,所以AD=.如图1-17,-_1_1BG=DG彳GHLAB于H,贝UDH=万BD=(5因为/GHD=/AQB=90,DHAQ1、湾即qAB4综上所述，当6二x125,1255；-,解得：*=方，所以AD=下.2520BDG1等腰三角形时，AD=行，亍125而.DEAGF图1-15N图1-17又/GDH-/DGH=90,ZGDH-/ADE=90,所以/DGH=ZADE=ZABC所以DGHhABQ所以1.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：4 .

17、顶点P(1,3)AB=14+(出1)2,A22v5,PB=3m(m3).AB=AP艮日4+(饰1)2=2也，解得：rn=-5,所以B(1,5);AP=PB,即2。5=3m解彳导:x=32g5,所以B(1,3112邓)；AB=PB,艮P4+(n1)2=33解彳导:x=,所以B(1,-).5 .A(4,0),B(2,0),C(0,4),D(2,0),AC的解析式为：y=x+4.设F(x,x+4)12如图1-33,OD=DF=2,所以F(2,2).当y=2时，一-x+x+4=2,解彳导:x=2-J5,所以P(1+水，2)(1g2);如图1-34,OF=DF由等腰三角形三线合一得：F(1,3),.当y

18、=3时，一xA(2,0),B(0,2),设P(x,-x+2),OP=.x2+(x+2)2,PA=，(x2)2+(1x+2)2,OA=2.OP=PA艮卬x2+(x+2)2=(x2)2+(r+2)2,解得：x=1,所以P(1,1);OP=OA即x2+(x+2)2=2,解得：x=0,x=2(舍去)，所以P(0,2);PA=OB即4(x2)2+(r+2)2=2,解得：x=2士/，所以P(2+2,爪)(2啦，表).+x+4=3,解得：x=13,所以P(1+3/,3)(1/3,3).图21.1因动点产生的等腰三角形【阶梯题组训练】答案：1.(1)y=6;(2)设B(x,0),则OB=IxI,OA=班，AB=(x+2)2+32.OA=OB即IxxI=。13,解得：x=4T3,所以B(JT3,0)或(一J13,0)；OA=AB即y(x+2)2+32=JT3,解得：x=0(舍去)，x=4,所以B(4,0);OB=AR艮P(x+2)7-i-32=IxI,解得：x=一1313了，所以B(一了，0).13.解：(1)令y=0,所以一万x+1=0,解得x=2,所以A(2,0);令x=0,y=1,所以B(0,1).1，1一一一(2)因为点C在y=-2x+1上，所以设C(x,一万x+1),又因为A(2,0),B(0,1),所以OA=2,OC=、卜+(-2x+1)之，AC=、卜x2)2+(一2x+1)若AO