ch3线性系统时域分析与校正

1、第第3章章 线性系统的时线性系统的时域分析与校正域分析与校正本章内容本章内容3.1 概述概述3.2 一阶系统的时间响应及动态性能一阶系统的时间响应及动态性能3.3 二阶系统的时间响应及动态性能二阶系统的时间响应及动态性能3.4 高阶系统的阶跃响应及动态性能高阶系统的阶跃响应及动态性能3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 3.7 线性系统时域校正线性系统时域校正 3.1 概述概述 3.1.1 时域法的作用和特点时域法的作用和特点时域法是最基本的分析方法，学习复域法、频域时域法是最基本的分析方法，学习复域法、频域法的基础法的基础 (1) 直

2、接在时间域中对系统进行分析校正，直直接在时间域中对系统进行分析校正，直观，准确；观，准确； (2) 可以提供系统时间响应的全部信息；可以提供系统时间响应的全部信息； (3) 基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。基于求解系统输出的解析解，比较烦琐。3.1 概述概述3.1.2 时域法常用的典型输入信号时域法常用的典型输入信号3.1 概述概述 3.1.3 系统的时域性能指标系统的时域性能指标时域响应包括：（以阶跃输入为例）稳态响应稳态响应瞬态响应瞬态响应t tc tr单位阶跃响应及动态性能指标单位阶跃响应及动态性能指标上升时间上升时间rt峰值时间峰值时间pt调整时间调整时间st10t tc %100

3、 cctcp这些点已被确定这些点已被确定0.05或或0.02pM超调量超调量dt0.5延迟时间延迟时间1. 延迟时间延迟时间(delay time) td：响应曲线第一次达到其终值响应曲线第一次达到其终值一半所需时间。一半所需时间。%100)()()(% cctcp q阶跃响应性能指标阶跃响应性能指标 p tr0.5 c(t)td tp01 tst稳态误差稳态误差2、稳态性能：、稳态性能：由由稳态误差稳态误差(steady state error) ess描述。描述。2. 上升时间上升时间(rise time) tr：响应从终值响应从终值10%上升到终值上升到终值90%所需时间；对有振荡系统亦

4、可定义为响应从零第一次上升所需时间；对有振荡系统亦可定义为响应从零第一次上升到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。到终值所需时间。上升时间是响应速度的度量。 3. 峰值时间峰值时间(peak time) tp：响应超过终值到达第一个峰值所需时间。响应超过终值到达第一个峰值所需时间。 4. 调节时间调节时间(response time) ts：响应到达并保持在终值内所需时间。响应到达并保持在终值内所需时间。 5. 超调量超调量(percent overshoot) %：响应的最大偏离量响应的最大偏离量h(tp)与终值与终值h()之之差的百分比，即差的百分比，即3.2 一阶系统的时间响应及一阶

5、系统的时间响应及动态性能动态性能 3.2.1 一阶系统传递函数标准形式及单位一阶系统传递函数标准形式及单位阶跃响应阶跃响应sKsG )(11111)(1 TsTsTKsKsKsKsKTT11 TsssTssRssC111111)()()( TtesCLth 1)()(13.2 一阶系统的时间响应及一阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.2.2 一阶系统动态性能指标计算一阶系统动态性能指标计算 tcT 2T 3T 4T 5T98.2%95%99.3%86.5%B0t163.2%A0.632一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应tTeth11)( tTeTth11)( 95. 01)( T

6、tsseth05. 095. 01 TtseTTts305. 0ln 3.2 一阶系统的时间响应及一阶系统的时间响应及动态性能动态性能 例例3.1某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随某温度计插入温度恒定的热水后，其显示温度随时间变化的规律为时间变化的规律为 ， 实验测得当实验测得当60s时时温度计读数达到实际水温的温度计读数达到实际水温的95，试确定该温度计的，试确定该温度计的传递函数。传递函数。tTeth11)( Tts360 20TttTeeth201111)(tethtk201201)()(1201stkLs)()( 3.2 一阶系统的时间响应及一阶系统的时间响应及动态性能动态性能

7、例例3.2 3.2 系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原系统如图所示，现采用负反馈方式，欲将系统调节时间减小到原来的来的0.10.1倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数倍，且保证原放大倍数不变，试确定参数 Ko 和和 KH 的取值。的取值。 1010101012010120101120101KsKsKsKsGKSGKs.)()()(101011002010120101KKKTK.109001KK.11012010110110sKKK.1sTK20.T10K0201020.T10 KK一阶系统总结一阶系统总结 一阶系统的典型响应与时间常数一阶系统的典型响应与时间常数T密切密切

8、相关。只要时间常数相关。只要时间常数T小，单位阶跃响小，单位阶跃响应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞应调节时间小，单位斜坡响应稳态值滞后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速后时间也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。度函数。 线性系统对输入信号导数的响应，等于线性系统对输入信号导数的响应，等于系统对输入信号响应的导数。系统对输入信号响应的导数。3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.1二阶系统传递函数标准形式及分类二阶系统传递函数标准形式及分类 1) 首首1型型 sR sC sE- n2n2ss sR sC2nn22ns2s 自然频率；自然频率；阻尼比阻尼比 (da

9、mping ratio ) 2222nnnsssRsCs 3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 2）尾）尾1型型 sR sC sE- )(10sTsK sR sC12122sTsT 12122sTsT KssTKsRsCs20 KTT001TKTn 0121KT 11120sKsKTKTT02222nnnss 3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3）首）首1和尾和尾1型参数之间的关系型参数之间的关系01TKTn 0121KT KTT0 2222nnnsss 11120sKsKTs)( 121122ssnn 12122sTsT 3.3 二

10、阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 4）二阶系统按阻尼比的分类）二阶系统按阻尼比的分类0222nnsssD )(1221 nn,二阶系统闭环特征方程为二阶系统闭环特征方程为 其特征特征根为其特征特征根为 决定根的性质决定根的性质1 1 0 10 过阻尼过阻尼 临界过阻尼临界过阻尼 欠过阻尼欠过阻尼 零过阻尼零过阻尼 3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 以上几种情况的单位阶跃响应曲线以上几种情况的单位阶跃响应曲线0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.4

11、0.50.60.70.81.02.03.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算过阻尼二阶系统动态性能指标计算nT 11211nT 11222)(21TT sTsTssRssCn111212)()()()( 111211221TTeTTethTtTt)(0t设过阻尼二阶系统的极点为（首设过阻尼二阶系统的极点为（首1 1型）型） 系统单位阶跃响应的拉氏变换系统单位阶跃响应的拉氏变换 进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应进行拉氏反变换，得出系统单位阶跃响应 1 2 3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.

12、3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算过阻尼二阶系统动态性能指标计算)(2122112TsTsssnn 212121TTTT)( 可解出可解出 246810121416182000.511.522.533.544.55T1/T2Ts/T121TT1Tts绘图的方法得到绘图的方法得到 和和 的关系曲线的关系曲线3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.2 过阻尼二阶系统动态性能指标计算过阻尼二阶系统动态性能指标计算 过阻尼系统分析 衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大衰减项的幂指数的绝对值一个大，一个小。绝对值大的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近

13、，衰的离虚轴远，衰减速度快，绝对值小的离虚轴近，衰减速度慢；减速度慢； 衰减项前的系数一个大，一个小；衰减项前的系数一个大，一个小； 二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和二阶过阻尼系统的动态响应呈非周期性，没有振荡和超调，但又不同于一阶系统；超调，但又不同于一阶系统； 离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴近的极点所决定的分量对响应产生的影响大，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，离虚轴远的极点所决定的分量对响应产生的影响小，有时甚至可以忽略不计。有时甚至可以忽略不计。3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.2 过阻尼二阶系统

14、动态性能指标计算过阻尼二阶系统动态性能指标计算t tc(t)c(t)0 0二阶过阻尼系统二阶过阻尼系统一阶系统响应一阶系统响应1 13.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 1欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法欠阻尼二阶系统极点的两种表示方法 （1）直角坐标表示）直角坐标表示 （2）“极极”坐标表示坐标表示nndjj 2211, n21 sincos =cos 0 1 n- n 2 j j d 3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计

15、算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 2欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应ssssRssCnnn12222 )()()(222121nnnsss )()(2222222211111nnnnnnssss )()()()(tetethntntnn 2221111sincos)(ttenntn 222211111sincos )arctansin(2221111 nntten3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 2欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应)arcta

16、nsin()( 2221111tethntn =cos 0 1 n- n 2 j j d )sin( tedtn211 c(t)t0121e1n t-21e1n t-包络线包络线1 ） tdsin(1 ） tdsin(3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 2欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应欠阻尼二阶系统的单位脉冲响应)sin()( tethdtn211)sin()()(tesLthtkdtnn 211）3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态

17、性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 3欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算)0()sin(11)(2 ttetcdtn 单位单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。 21 ndpt 峰值时间峰值时间 tp单位阶跃响应单位阶跃响应0)( pttdttdc 由由 得得3欠阻尼二阶系统动态性欠阻尼二阶系统动态性能指标计算能指标计算单位单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。 %100)()()(% cctcp 超调量超调量 %100%21 e%100)sin(12 pdttepn

18、由由 超调量超调量 %与阻尼比的关系与阻尼比的关系 超调量的结论：超调量的结论：1 1、是阻尼比的一元函数、是阻尼比的一元函数2 2、随阻尼比的增加单调减小、随阻尼比的增加单调减小3欠阻尼二阶系统动态性欠阻尼二阶系统动态性能指标计算能指标计算单位单位阶跃响应进入阶跃响应进入 误差带的最小时间。误差带的最小时间。 调节时间调节时间 ts 有有 根据定义根据定义 )()()()(sttcctc )()sin(12sdtttten 1)sin( td 因因 则则)(12sttten 调节时间达到最小值时，阻尼比调节时间达到最小值时，阻尼比=0.707最佳阻尼比最佳阻尼比3欠阻尼二阶系统动态性欠阻尼二

19、阶系统动态性能指标计算能指标计算21 ndrt阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。 上升时间上升时间 t tr r 0)sin(12 rdttern 即即 得得 此此时时1)( rtc3欠阻尼二阶系统动态性欠阻尼二阶系统动态性能指标计算能指标计算drt dpt -100%21ep %2 4 %5 3 nsnstt3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 4、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及零极点分布之间的关系数及零

20、极点分布之间的关系n 当当固定，固定， 增加（增加（ 减小）时，减小）时，结论：结论：超调量减少；超调量减少；调节时间减少。调节时间减少。3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 4、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及零极点分布之间的关系数及零极点分布之间的关系n 当当固定，固定，增加增加结论：结论：超调量不变；超调量不变；调节时间减少。调节时间减少。3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.3 欠阻尼二阶系统动态性能指标计算

21、欠阻尼二阶系统动态性能指标计算 4、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参、典型欠阻尼二阶系统动态性能、系统参数及零极点分布之间的关系数及零极点分布之间的关系 当当K增大增大变小变小结论：超调量增加结论：超调量增加).(110ssKR(s)(- -)C(s)10110101).()()()(sssGsGs2222210010100nnnsssss )( 化为标准形式化为标准形式 即有即有 n2=100 , 2n=10 解解 (1)系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为 解得解得 n=10, =0.5例例3.5 秒秒73. 012 ndpt0.363秒秒2 . 13 nst0.7%3 .16%100%

22、21 e16.3（1）开环增益）开环增益K=10时，求系统的动态性能指标；时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比）确定使系统阻尼比=0.707的的K值值).(110ssKR(s)(- -)C(s)KssKsGsGs10101012)()()(解解 (2)系统闭环传递函数为系统闭环传递函数为例例3.5 （1）开环增益）开环增益K=10时，求系统的动态性能指标；时，求系统的动态性能指标；（2）确定使系统阻尼比）确定使系统阻尼比=0.707的的K值值KKn1021010 7070. 51042100K令令得得 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响

23、应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 例例3.7解：解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。传递函数。 0t(s)22.180.75c(t)2221KassKKs)(nnaK 222由系统结构图可得由系统结构图可得 由单位阶跃响应曲线有由单位阶跃响应曲线有12221002KKassKKsRsshsslim)()(lim)( 设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲

24、线如图所示，试确定其开环传递函数。试确定其开环传递函数。 例例3.70t(s)22.180.75c(t) 21002090221827501 /.etnp27856080.n 4262785608028527278522.aK4268527221.,.,aKK联立求解得联立求解得 因此有因此有3.3 二阶系统的时间响应及二阶系统的时间响应及动态性能动态性能 3.3.4 改善二阶系统动态性能的措施改善二阶系统动态性能的措施 比例比例-微分微分(PD)控制方式控制方式 测速反馈测速反馈 sR sC sE- n2n2ss sKt1 sR sC sE- n2n2ss -sKf比例比例-微分微分(PD)

25、控制方式控制方式 sR sC sE- n2n2ss sKt1 ntnsssKsG 212 tntnndtnKsssKs 2121222式中：式中： 系统的闭环传递函数：系统的闭环传递函数： 1t0 tc1 tcTd1 tc比例比例-微分微分(PD)控制方式控制方式 sR sC sE- n2n2ss sKt1特点特点: (1) 引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振引入比例微分控制，使系统阻尼比增加，从而抑制振荡，使超调减弱，改善系统平稳性；荡，使超调减弱，改善系统平稳性； (2) 零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩零点的出现，将会加快系统响应速度，使上升时间缩短，峰值提前，

26、又削弱了短，峰值提前，又削弱了“阻尼阻尼”作用。因此适当选择微分时间作用。因此适当选择微分时间常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显常数，使系统具有过阻尼，则响应将在不出现超调的条件下，显著提高快速性。著提高快速性。 (3) 不影响系统误差，自然频率不变。不影响系统误差，自然频率不变。 闭环系统具有零点闭环系统具有零点, ,可以使上升时间提前可以使上升时间提前. .阻尼增大阻尼增大, ,超调减小。超调减小。测速反馈测速反馈 sR sC sE- n2n2ss -sKt)()()()(222ntnnKsssEsCsG 222222222nntnnntnnsssKssRsC )()

27、()(闭环传递函数：闭环传递函数：开环传递函数为：开环传递函数为：测速反馈测速反馈 sR sC sE- n2n2ss -sKtq由上可知：由上可知： 1) 1) 速度反馈使速度反馈使 增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；增大，振荡和超调减小，改善了系统平稳性； 2) 2) 速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优速度负反馈控制的闭环传递函数无零点，其输出平稳性优于比例于比例微分控制；微分控制； 3) 3) 系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系系统跟踪斜坡输入时稳态误差会加大，因此应适当提高系统的开环增益统的开环增益. .nttK 213.3.5 附加闭环零、极点对系

28、统动态性能的附加闭环零、极点对系统动态性能的影响影响 附加闭环零点附加闭环零点峰值时间提前、超调增大、峰值时间提前、超调增大、振荡加剧、调节时间拉长。振荡加剧、调节时间拉长。112sszss)(3.3.5 附加闭环零、极点对系统动态性能的附加闭环零、极点对系统动态性能的影响影响 附加闭环极点附加闭环极点峰值时间滞后、超调减少、峰值时间滞后、超调减少、振荡减弱、调节时间拉长。振荡减弱、调节时间拉长。)()(1112ssss 3.3.5 附加闭环零、极点对系统动态性能的附加闭环零、极点对系统动态性能的影响影响 同时附加闭环同时附加闭环零、极点零、极点 )()(112sss)(.)(1111502s

29、ssss)(.)(1115012sssss结论：谁离虚轴结论：谁离虚轴近，谁的作用强近，谁的作用强3.4 高阶系统的阶跃响应及高阶系统的阶跃响应及动态性能动态性能 3.4.1 高阶系统单位阶跃响应高阶系统单位阶跃响应 nmasasasabsbsbsbsnnnnmmmm 01110111 s21122100asspszsabsRssCqirkkkkimjj nrqsspszsabqirkkkkimjjnm2211221 3.4 高阶系统的阶跃响应及高阶系统的阶跃响应及动态性能动态性能 3.4.1 高阶系统单位阶跃响应高阶系统单位阶跃响应特点：特点：1)1) 高阶系统时间响应由简单函数组成。高阶系

30、统时间响应由简单函数组成。 2) 2) 如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。如果闭环极点都具有负实部，高阶系统是稳定的。 3)3) 时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环时间响应的类型取决于闭环极点的性质和大小，形状与闭环零点有关。零点有关。 分析方法：分析方法：1)1) 可由系统主导极点估算高阶系统性能。可由系统主导极点估算高阶系统性能。 2)2) 忽略偶极子的影响。忽略偶极子的影响。 0 sin11 tteBeAatcqirkkdktktpikki 3.4 高阶系统的阶跃响应及高阶系统的阶跃响应及动态性能动态性能 3.4.2 闭环主导极点闭环主导极点 距离虚轴最近而且

31、附近又没有零点的极点距离虚轴最近而且附近又没有零点的极点对系统的动态性能起主导作用，称相应极对系统的动态性能起主导作用，称相应极点为点为主导极点主导极点。 若某极点远离原点，则相应项的系数很小；若某极点远离原点，则相应项的系数很小； 若某极点接近一零点，而又远离其他极点和若某极点接近一零点，而又远离其他极点和零点，则相应项的系数也很小；零点，则相应项的系数也很小； 若某极点远离零点又接近原点或其他极点，若某极点远离零点又接近原点或其他极点，则相应项系数就比较大。则相应项系数就比较大。3.4 高阶系统的阶跃响应及高阶系统的阶跃响应及动态性能动态性能-0.75-5 p2 p3 p1 j j1.2-

32、j1.20(a)闭环极点分布图闭环极点分布图 (b)单位阶跃响应曲线单位阶跃响应曲线 c(t) t)25.1)(15(510)25.1)(5(10)(22 sssssss 例例如如：)2 .15 .07)(2 .175.0(225 .12)(2jsjssss 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的概念稳定性的概念 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.1 稳定性的概念稳定性的概念 如果在如果在扰动作用下扰动作用下系统偏离了原来的平衡系统偏离了原来的平衡状态，当扰动消失后，系统能够以足够的状态，当扰动消失后，系统能够以足够的准确度准确度恢复到原

33、来的平衡状态恢复到原来的平衡状态，则系统是，则系统是稳定的。否则，系统不稳定。稳定的。否则，系统不稳定。 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.2稳定的充要条件稳定的充要条件 干扰干扰脉冲信号脉冲信号0)(limtkt)()( )()()( )()()()(nnmmsssazszszsbsDsMs 2121设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏反变换为设闭环极点为互不相同的单根，则脉冲响应的拉氏反变换为 niiinnsAsAsAsAssC12211 )()(2121( )ininttttniik tAeA eA eAe01nitittieAtk lim)(lim得单位

34、脉冲响应函数得单位脉冲响应函数 根据稳定性定义，系统稳定时应有根据稳定性定义，系统稳定时应有 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.2稳定的充要条件稳定的充要条件 线性系统稳定的充分必要条件：线性系统稳定的充分必要条件：闭环系闭环系统特征方程的所有根都具有负实部统特征方程的所有根都具有负实部. j 0稳定区域稳定区域不稳定区域不稳定区域S平面平面3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析 3.5.3 稳定判据（劳斯判据）稳定判据（劳斯判据） 又称为代数稳定判据。又称为代数稳定判据。 特点：不必求解方程特点：不必求解方程 判断是否存在位于复判断是否存在位于复平面右半部的

35、正根平面右半部的正根 设系统特征方程为设系统特征方程为 1判定稳定的必要条件判定稳定的必要条件 0, 0)(01110 aasasasasDnnnn特征方程各项系数均大于零特征方程各项系数均大于零,即即 ai0满足此条件的一、二阶系统一定稳定满足此条件的一、二阶系统一定稳定2、劳斯判据、劳斯判据 劳斯判据采用表格形式，即劳斯判据采用表格形式，即劳斯表劳斯表： 当劳斯表中第一列的所有数都当劳斯表中第一列的所有数都大于零大于零时，系统时，系统稳定稳定；反之，；反之，如果第一列出现如果第一列出现小于零小于零的数时，系统就的数时，系统就不稳定不稳定。第一列各系数符。第一列各系数符号的改变号的改变次数次

36、数，代表特征方程的正实部根的，代表特征方程的正实部根的个数个数。 na0, 0)(01110 aasasasasDnnnna5a3a1a4a2a0 ccaacc1343171334 ccaacc1333151324 ccaacc1323131314 aaaaac1706133 aaaaac1504123 aaaaac1302113 0ssss snnnn321 判别系统稳定性。判别系统稳定性。 例例3.10 设系统特征方程为设系统特征方程为s4+2s3+3s2+4s+5=0; 试用劳斯稳定判据试用劳斯稳定判据4s3s2s124231 520251 1234501s0s560651 615142

37、 0注意两种特殊情况的处理：注意两种特殊情况的处理： 1）某行的某行的第一列项为第一列项为0 0，而其余各项不为，而其余各项不为0 0或不全为或不全为0 0。用。用因子因子（s+a）乘原特征方程（其中乘原特征方程（其中a为任意正数），或用很小的为任意正数），或用很小的正数正数 代替零元素，然后代替零元素，然后对新特征方程应用劳斯判据。对新特征方程应用劳斯判据。 2 2）当劳斯表中）当劳斯表中出现全零行出现全零行时，用上一行的系数构成一个辅时，用上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行。 解：解：列出劳斯表列出劳

38、斯表第一列数据不同号，第一列数据不同号，系统不稳定性。系统不稳定性。 01234sssss 3 3 1 1 1 判断系统稳定性判断系统稳定性： 例0133234sssssD 33 第一列系数符号改变第一列系数符号改变两次，系统有两个右根，两次，系统有两个右根，所以，系统不稳定。所以，系统不稳定。1011 1、某一行第一个元素为零、某一行第一个元素为零 判断系统稳定性判断系统稳定性例：例： 02223ssssD0123ssss 2 2 1 1 02第一列系数符号无改变，第一列系数符号无改变，故系统没有正实部的根。故系统没有正实部的根。2, 02s122 s223sjssssS系统有一对共轭虚根，

39、系统有一对共轭虚根，所以，系统临界稳定。所以，系统临界稳定。 02535201231232345ssssssD：例例 .012345000025503803162520335121s s s s s s 辅助多项式辅助多项式 10 第一列符号全为正，说明系统无右根，但有共轭虚根，可由辅助方程解出。25010 ssF )(求导：求导：521js.02552 ssF)(2、劳斯判据总结、劳斯判据总结 1）第一列元素全部不等于零）第一列元素全部不等于零 判断结果：判断结果：稳定稳定 不稳定不稳定 2）第一列元素为零而该行元素不全为零）第一列元素为零而该行元素不全为零 判断结果：判断结果：临界稳定，不

40、稳定临界稳定，不稳定 3）某行元素全部为零）某行元素全部为零 判断结果：判断结果：临界稳定临界稳定 不稳定不稳定劳斯判据的补充说明劳斯判据的补充说明 1、特征方程的系数在满足必要条件，且劳斯、特征方程的系数在满足必要条件，且劳斯判据表中的第一列全大于零（判据表中的第一列全大于零（注意不包含零注意不包含零），），则系统稳定。则系统稳定。 2、劳斯表出现特殊情况时，此时系统的闭环、劳斯表出现特殊情况时，此时系统的闭环极点必有在极点必有在虚轴上虚轴上或者或者右半平面右半平面上的极点，系上的极点，系统是统是不稳定不稳定的（或的（或临界稳定临界稳定）。）。 临界稳定：临界稳定：只有系统特征方程只有系统特

41、征方程在虚轴上的根仅在虚轴上的根仅为一对纯虚根为一对纯虚根时，而其它根在左半平面的情况时，而其它根在左半平面的情况3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析(4) (4) 劳斯判据的应用劳斯判据的应用 例例3.13 3.13 某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定某单位反馈系统的开环零、极点分布如图所示，判定系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益系统能否稳定，若能稳定，试确定相应开环增益K的范围。的范围。解解 依题意有依题意有 223)1(9131)( ssKssKsG 01969193)(22 KsKssKssD 01069KK132 K系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关

42、系系统闭环稳定与开环稳定之间没有直接关系 3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析例例3.14 3.14 系统结构图如右，系统结构图如右， (1)(1)确定使系统稳定的参数确定使系统稳定的参数( (K, ,的的范围范围; ; (2) (2)当当22时，确定使全部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。解解. .(1)(1)10020()(2 sssKsGa 100aKK 010010020)(23 KssssD 0123ssss1001K10020 0201002000 K K1000 K0 20 K)(100202sssKa 3.5 线性系统的稳定性分

43、析线性系统的稳定性分析0100100220)(23 KssssD0123ssss2316110037 K037100912K 61100 K61. 0 K12. 9 K当当 22时，进行平移变换时，进行平移变换：1 ss1 ss0)61100(233723 Ksss0100)1(100)1(40)1()(23 KssssD(2)(2)当当 22时，确定使全部极点均位于时，确定使全部极点均位于s=-1之左的之左的K值范围。值范围。3.5 线性系统的稳定性分析线性系统的稳定性分析问题讨论：问题讨论： (1) 系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，形式无关。系统的稳定性是其自身的属性，与输入类型，

44、形式无关。 (2) 闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。闭环稳定与否，只取决于闭环极点，与闭环零点无关。nnnmsCsCsCssszszszsKs 22112121)()()()(*)(tntetneCCeCtk 2121)( 闭环零点影响系数闭环零点影响系数Ci ，只会改变动态性能。，只会改变动态性能。 闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。闭环极点决定稳定性，也决定模态，同时影响稳定性和动态性能。 (3) 闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。闭环系统的稳定性与开环系统稳定与否无直接关系。 3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差稳态误差是系统的

45、稳态性能指标，是对系统控制稳态误差是系统的稳态性能指标，是对系统控制精度的度量。精度的度量。本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线本讲只讨论系统的原理性误差，不考虑由于非线性因素引起的误差。性因素引起的误差。对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算对稳定的系统研究稳态误差才有意义，所以计算稳态误差应以系统稳定为前提。稳态误差应以系统稳定为前提。 通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系通常把在阶跃输入作用下没有原理性稳态误差的系统称为统称为无差系统无差系统；而把有原理性稳态误差的系统称为而把有原理性稳态误差的系统称为有差系统有差系统。 概概 述述3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳

46、态误差 3.6.1 误差与稳态误差误差与稳态误差按输入端定义的误差按输入端定义的误差 )()()()(sCsHsRsE 按输出端定义的误差按输出端定义的误差 )()()()(sCsHsRsE 稳态误差稳态误差 动态误差动态误差：误差中的稳态分量误差中的稳态分量 静态误差静态误差： )()(lim eteetss)(tes sR sC sG sH- sE sB sE sCr sR sC sG sH- sH1 sE3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 3.6.2 计算稳态误差的一般方法计算稳态误差的一般方法（1）判定系统的稳定性）判定系统的稳定性 （2）求误差传递函数）求误差传递函数 （3

47、）用终值定理求稳态误差）用终值定理求稳态误差 )()()(,)()()(sNsEssRsEsene )()()()(lim0sNssRsseenesss 3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差KTssTssTssKsRsEse)()()()()()(111110)(2 KsTssDKsKTssTssssRssesesssr11)1()1(lim)()(lim200 KTsssTTssKTssKsTKsNsEsnnnnen )1()1()1()1(11)()()( KKsKTsssTTssKssNssennnsensssn 2001)1()1()1(lim)()(limKKeeenssns

48、srss 1例例3.15 系统结构图如图所示，已知系统结构图如图所示，已知 r(t)=n(t)=t，求系统的稳态误，求系统的稳态误差。差。解解3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差KTssTsssRsEse )1()1()()()()( 1)(tAtr 0)1()1(lim01 sAKTssTsssessstAtr )(KAsAKTssTsssesss 202)1()1(lim22)(tAtr 303)1()1(limsAKTssTsssesss 系统自身的结构参数系统自身的结构参数影响影响 e essss 的因素：的因素： 外作用的形式（阶跃、斜坡或加速度等）外作用的形式（阶跃、斜坡或

49、加速度等） 外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）外作用的类型（控制量，扰动量及作用点）例例 3.16 系统结构图如图所示，求系统结构图如图所示，求 r(t)分别为分别为A1(t), At, At2/2时系时系统的稳态误差。统的稳态误差。解解3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 3.6.3 静态误差系数法静态误差系数法 njjmiinmsTssKsTsTsTssssKsHsG11221)1()1()1()1)(1()1()1)(1()()(1 式中，式中，K为开环增益。为开环增益。 为开环系统在为开环系统在s平面坐标原点的平面坐标原点的极点重数，极点重数， =0,1,2时，系统分别称为

50、时，系统分别称为 0 型、型、型、型、型系统。型系统。 一般开环传递函数可以写成如下形式：一般开环传递函数可以写成如下形式：)(sGsK0 100)(limsGs3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 3.6.3 静态误差系数法静态误差系数法q 显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的显然，系统的稳态误差取决于原点处开环极点的阶次阶次 、开环开环增益增益K以及输入信号的形式。以及输入信号的形式。)(11)(lim)()(11)(lim)()(lim00100sGsKsRssHsGsRssRssevssesss q稳态误差稳态误差3.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差 3.6.3

51、静态误差系数法静态误差系数法)( 1)(tAtr )()(lim1)()(11lim)()(lim10100sHsGAsHsGsAssRssessesssp vsspsKsHsGK010lim)()(lim pKA 1tAtr )()()(lim)()(11lim)()(lim101200sHsGsAsHsGsAssRssessesssv 1010lim)()(lim vssvsKsHsGsKvKA 22)(tAtr )()(lim)()(11lim)()(lim1201300sHsGsAsHsGsAssRssessesssa 20120lim)()(lim vssasKsHsGsKaKA 输

52、入误差系数误差系数稳态误差稳态误差系统型别系统型别 tA 1 ttC1212 tBt 1 sGKksp0lim ssGKksv0lim sGsKksa20lim pssrKAe 1vssrKBe assrKCe KAeKKssrp 1 0 ssrpeK0 ssrpeK0 ssrveKKBeKKssrv ssrveK0 ssraeK0 ssraeK0KCeKKssra 型03.6 线性系统的稳态误差线性系统的稳态误差242)(tttr 解解)()1()(21assTsKsG 21vaKK)1()()(121 TsKassKs0)(1123 KTsKasssDttr2)(1 01 sse2222184)(tttr 128KaKAess 1218Kaeeessssss 例例 3 系统结构图如图所示，已知输入系统结构图如