主题微积分创立的意义 - 数学与软件科学学院

1、1数学简史主讲人：宁锐第第7章章微积分的创立微积分的创立主题主题：微积分创立的意义：微积分创立的意义数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史2一一 背景背景1 解析几何：工具解析几何：工具2 科学问题：科学问题：（1）古代：求积、求切线和最值）古代：求积、求切线和最值（2）近代：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何）近代：瞬时变化率、切线问题、函数极值、几何求积求积（3）酝酿：开普勒与旋转体体积；卡瓦列尼不可分量）酝酿：开普勒与旋转体体积；卡瓦列尼不可分量原理；笛卡儿原理；笛卡儿“圆法圆法”；费马求极大值与极小值的方法；费马求极大值与极小值的方法；巴罗巴罗“微分三角形微分三角形”

2、；沃利斯；沃利斯“无穷算术无穷算术”数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史3一一 背景背景总之：针对基本问题，微积分的算法技巧成熟。总之：针对基本问题，微积分的算法技巧成熟。需要的工作：需要的工作：将各种算法统一成一种同一的算法将各种算法统一成一种同一的算法微分与积微分与积分，同时确立二者的互逆关系从而统一起来。分，同时确立二者的互逆关系从而统一起来。数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史4二二 微积分的创立微积分的创立1 牛顿创立微积分的过程牛顿创立微积分的过程（1）其人：）其人：牛顿（牛顿（16421727）（2）过程：）过程：出发点：出发点：1664 笛卡

3、儿笛卡儿圆法圆法，1665 发明发明“正流正流数术数术”（微分），（微分），1666 “反流数术反流数术”（积分），（积分），流数简流数简论论（1666年）是历史上第一篇系统的微积分文献。年）是历史上第一篇系统的微积分文献。（3）特点：）特点：微积分具有运动学背景微积分具有运动学背景数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史5二二 微积分的创立微积分的创立1 牛顿创立微积分的过程牛顿创立微积分的过程（1）其人：）其人：牛顿（牛顿（16421727）（2）过程：）过程：出发点：出发点：1664 笛卡儿笛卡儿圆法圆法，1665 发明发明“正流正流数术数术”（微分），（微分），1666

4、“反流数术反流数术”（积分），（积分），流数简流数简论论（1666年）是历史上第一篇系统的微积分文献。年）是历史上第一篇系统的微积分文献。（3）特点：）特点：微积分具有运动学背景微积分具有运动学背景数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史6二二 微积分的创立微积分的创立（4）意义：）意义：在这之前，面积总是被看成无限小量不可分量之在这之前，面积总是被看成无限小量不可分量之和，牛顿这是从确定面积变化率入手通过反微分计算面和，牛顿这是从确定面积变化率入手通过反微分计算面积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在以往场合也积。面积计算与求切线问题的互逆关系，在以往场合也被人模糊提出过，但没

5、有把它作为一种系统的理论总结被人模糊提出过，但没有把它作为一种系统的理论总结出来，而只有牛顿以敏锐的眼光和能力将这种互逆关系出来，而只有牛顿以敏锐的眼光和能力将这种互逆关系明确作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普明确作为一般规律揭示出来，并将其作为建立微积分普遍算法的基础。牛顿是自古希腊以来将求解无限小问题遍算法的基础。牛顿是自古希腊以来将求解无限小问题的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法的各种特殊技巧统一为两类普遍的算法正、反流数正、反流数术即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类术即微分与积分，并证明了二者的互逆关系而将这两类运算进一步统一成整体。微积分算法应用于求曲线切线运算

6、进一步统一成整体。微积分算法应用于求曲线切线、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等、曲率、拐点、曲线求长、求积、求引力与引力中心等16类问题，表现了此类算法的极大的普遍性和系统性。类问题，表现了此类算法的极大的普遍性和系统性。数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史7二二 微积分的创立微积分的创立（5）发展：）发展：运用无限多项方程的分析运用无限多项方程的分析(简称简称分析学分析学)(1699)流数法与无穷级数流数法与无穷级数(1671 )曲线求积术曲线求积术(1691 )三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于三篇论文反映了微积分学说的发展过程，并对于微积分的基础先后给出不同的解释。微积分的基础先后给出不同的解释。（6）发表：）发表：原理原理数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史8二二 微积分的创立微积分的创立2 莱布尼茨创立微积分的过程莱布尼茨创立微积分的过程其人：其人：莱布尼茨（莱布尼茨（16461716）（1）起点：特征三角形）起点：特征三角形（2）建立：）建立：（3）分析微积分：形式化）分析微积分：形式化（4）有关文献：）有关文献：（5）其他数学贡献：）其他数学贡献：数学与软件科学学院数学与软件科学学院 数学简史数学简史9三三 比较比较背景：背景：运动背景几何化；几何背景形式化运动背景