第二十三次文概率

1、 习题习题 设总体设总体X的概率密度为的概率密度为(1),01( )0,xxf x其它是未知参数是未知参数,其中其中1 解解: dxxxXE ) 1()(10121) 1(110 dxx由矩法由矩法,21 X样本矩样本矩总体矩总体矩从中解从中解得得21,1XX的矩估计的矩估计.即为即为数学期望数学期望是一阶是一阶原点矩原点矩X解解： 的的分分布布律律为为：,0,1!kP Xkekk1( )!ixniiLex1212!nxxxnnex xx12!nxnnex xx12ln ( )lnln!.nLnxx xxn而而ln ( )0dnxLnd令令 x解解得得 的的最最大大似似然然估估计计值值第八章作

2、业第八章作业3.解解: :似然函数为似然函数为1( )inxiLennxeln ( )ln.Lnnx而而ln ( )0dnLnxd令令1 x解解得得 的的最最大大似似然然估估计计值值111684.00:H提出原假设和提出原假设和备择假设备择假设 第一步：第一步：第二步：第二步：取一检验统计量，在取一检验统计量，在H0成立下成立下写出它的分布写出它的分布0(0,1)XXUNnn 10:H 已知已知 ，检验假设，检验假设200:H0010:HH第三步：第三步：| PuU )(x u2u 12, 对给定的对给定的显著性水平显著性水平查表得查表得: :0()1/ 2u 得到拒绝域得到拒绝域： W：|

3、Uu 2()N，0(0,1)XUNn 确定确定拒绝域拒绝域. 已知已知 ，检验假设，检验假设200:H0010:HH)(x u2u 120()1/ 2u W：| Uu 第四步第四步：将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 U 的观察值的观察值, ,如果由样本值算得该统计量的观察值落入如果由样本值算得该统计量的观察值落入区域区域W，则拒绝则拒绝H0 ；否则，不能拒绝否则，不能拒绝H0 .拒绝域拒绝域：2()N，0(0,1)XUNn 已知已知 ，检验假设，检验假设200:H0010:HHW：| tt 将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 U 的观察值的观察值, ,如果由样本值算得该统

4、计量的观察值落入如果由样本值算得该统计量的观察值落入区域区域W，则拒绝则拒绝H0 ；否则，不能拒绝否则，不能拒绝H0 .拒绝域拒绝域： 未知未知 ，检验假设检验假设200:H2()N，) 1(ntnSXt t2t 12查表查表：(1)tn22220010:HHW：2212222(1),(1) nn 如果由样本值算得该统计量的观察值落入如果由样本值算得该统计量的观察值落入区域区域W，则拒绝则拒绝H0 ；否则，不能拒绝否则，不能拒绝H0 .拒绝域拒绝域：2()N， 未知未知 ，检验假设检验假设2200:H2222(1)(1)nSn 212(1)n 22(1)n 将样本值代入算出统计量将样本值代入算

5、出统计量 的观察值的观察值, ,222(1)n212(1)n)(xfx2() 1 n 22122220010:HH如果由样本值算得这个量的观察值落入如果由样本值算得这个量的观察值落入否定域否定域，则拒绝则拒绝H0 ；否则，不能拒绝否则，不能拒绝H0 .2()N，2222(1)(1)nSn 未知未知 ，检验假设检验假设2200:H220(1)nS 2222(1)nS则则2220(1)nS若若将样本值代入算出将样本值代入算出 的观察值的观察值, ,220(1)nS222(1)nS 2(1)n 21()n 否定域否定域接受域接受域x2(1)n例例 电工器材厂生产一批保险丝，取电工器材厂生产一批保险丝

6、，取1010根测得其熔根测得其熔化时间化时间（minmin）为）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于间的方差小于等于80?(80?( =0.05=0.05 , , 熔化时间服从正熔化时间服从正态分布态分布.).)222200108080HH：；：222222(1)9(9)nSS 得水平为得水平为 =0.05=0.05的拒绝域为的拒绝域为2220.05(9)(9)16.9 未知未知 ，检验假设检验

7、假设2200:H2209S7 .13808 .1219接受接受H H0 022220(1)(1)nSnS 否定域否定域接受域接受域x2(1)n2222(1)(1)nSn 未知未知 ，检验假设检验假设2200:H2(1)n 否定域否定域接受域接受域x2(1)n注注：问问： 检验假设检验假设2200:H ， 拒绝域如何选择拒绝域如何选择？2222(1)(1)nSn 21(1)n222(1) nS220(1)nS 接受域接受域拒绝域拒绝域 已知已知 ，检验假设检验假设200:H 未知未知 ，检验假设检验假设200:H) 1(ntnSXt 单个正态总体单个正态总体 的检验假设的检验假设(0,1)XUN

8、n )(x u2u 12t2t 12 已知已知 ，检验假设检验假设200:H 未知未知 ，检验假设检验假设200:H) 1(ntnSXt 单个正态总体单个正态总体 的检验假设的检验假设(0,1)XUNn )(x z11 t1总结总结：单个正态总体：单个正态总体 的检验假设的检验假设2()N， 已知已知 ，检验假设检验假设200:H 未知未知 ，检验假设检验假设200:H 未知未知 ，检验假设检验假设2200:H 未知未知 ，检验假设检验假设2200:HU 检验检验 用标准正态分布用标准正态分布t 检验检验 用用 t 分布分布2 检验检验2 用用分布分布2 检验检验2 用用分布分布(0.05)2

9、scm101x 某机器加工某种零件某机器加工某种零件，规定零件长度为规定零件长度为100cm，标准差不超过标准差不超过2cm。每天定时检查每天定时检查机器的运行情况机器的运行情况。某日抽取某日抽取10个零件个零件，测得测得平均长度平均长度 cm，样本标准差样本标准差 问该日机器工作是否正常问该日机器工作是否正常?例例22101,10,2 ,100,2xnS010110:100,:100HH222222020120:2 ,:2HH22101,10,2 ,100,2xnS101 1001.58112 /10t0(1)/XTt nSn22,( ,), ,X XN 解解：设加工零件长度为设加工零件长度

10、为 均未知均未知。010110:100,:100HH(1)检验假设检验假设01H这是这是t检验检验，当当 成立时成立时，统计量统计量0.05(9)2.2622.t(0.05)由由t分布表查得分布表查得 1.58112.2622t 因为因为 。10001H接受假设接受假设 ，即认为即认为 。22101,10,2 ,100,2xnS222222020120:2 ,:2HH(2) )检验假设检验假设 2这是这是 检验问题检验问题;02H当当 成立时成立时，2222(1)(1)nSn22220(1)9 292ns计算得计算得20.05(9)16.9得得 ，916.9因为因为 ，02H222故接受假设故

11、接受假设 ，即认为即认为 。综合综合（1），（），（2）可以认为该机器工作状态正常可以认为该机器工作状态正常。(0.05)两个正态总体两个正态总体 的检验假设的检验假设 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H2212,ss222(,)N 212,ny yy211(,)N 112,nx xx 设设 来自总体来自总体 的样本的样本， 是来自总体是来自总体 的样本的样本，且两样且两样 本独立。其样本方差分别为本独立。其样本方差分别为 。两个正态总体两个正态总体 的检验假设的检验假设 未知未

12、知 ， 检验假设检验假设12,22012:H 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H2222012112:HH2211122222(1,1)SFF nnS P147/2F12Fx121,() 1 nFn221211222(1,1)SFF nnSW：122, FFFF 拒绝域拒绝域：如果由样本值算得该统计量的观察值落入如果由样本值算得该统计量的观察值落入区域区域W，则拒绝则拒绝H0 ；否则否则，不能拒绝不能拒绝H0 .将样本值代入算出统计量将样本值代入算出统计量 的观察值的观察值, ,F 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H注注：/2F12Fx121,() 1 nFn2

13、21W：122, FFFF 拒绝域拒绝域：212(1,1)Fnn 1212(1,1)Fnn 221(1,1)1/ Fnn 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H例：有甲乙两种机床例：有甲乙两种机床, ,加工同样产品加工同样产品, ,从这两台机床加工的从这两台机床加工的产品中随机地抽取若干产品产品中随机地抽取若干产品, ,测得产品直径为测得产品直径为( (单位单位: :mm): mm): 甲甲: 20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9. : 20.5,19.8,19.7,20.4,20.1,20.9,19.6,19.9. 乙乙: 19.7,20

14、.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2. : 19.7,20.8,20.5,19.8,19.4,20.6,19.2. 假定甲假定甲, ,乙乙 两台机床的产品直径都服从正态分布两台机床的产品直径都服从正态分布, ,试比较试比较甲甲, ,乙两台机床加工的精度有无显著差异乙两台机床加工的精度有无显著差异?(?( =0.05=0.05 ) )解解:2221122210H H：；：21022,(81,7)SHFFS 真真时时- -1 1拒绝域拒绝域：F F1 0.025(7, 6)=1/5.12=0.1953或或F F0.025(7,6)=5.722120.204,0.397,0.51(

15、0.1953,5.7)ssF 接受接受H0212(1,1)Fnn 1212(1,1)Fnn 221(1,1)1/ Fnn 2222012112:HH2211122222(1,1)SFF nnS 222111222222SSFSS22112222sFFs则则2122sFs若若将样本值代入算出将样本值代入算出 的观察值的观察值, ,2122ss如果由样本值算得这个量的观察值落入如果由样本值算得这个量的观察值落入否定域否定域，则拒绝则拒绝H0 ；否则否则，不能拒绝不能拒绝H0 .12(1,1)Fnn 否定域否定域接受域接受域xF12(1,1)F nn 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:

16、H 例例 在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的在平炉进行一项试验以确定改变操作方法的建议是建议是否会增加出钢率否会增加出钢率，试验是在同一只平炉上进行的试验是在同一只平炉上进行的。每炼一每炼一炉钢时除操作方法外炉钢时除操作方法外，其它条件都尽可能做到相同其它条件都尽可能做到相同。先用先用标准方法炼一炉标准方法炼一炉，然后用建议的新方法炼一炉然后用建议的新方法炼一炉，以后交替以后交替进行进行，各炼了各炼了10炉炉，其出钢率分别为其出钢率分别为： 标准方法标准方法 78.1 72.4 76.2 74.3 77.4 78.4 76.0 75.5 76.7 77.3 新方法新方法 79.1 81.0

17、 77.3 79.1 80.0 79.1 79.1 77.3 80.2 82.10.01211(,)N 222(,)N212,i 设这两个样本相互独立设这两个样本相互独立，且分别来自正态总且分别来自正态总体体 和和 , 均未均未知知。问建议的新操作方法与原方法是否方差更大问建议的新操作方法与原方法是否方差更大？（取取 ）22012:H2222012112:,:.HH0.01(101,101)5.35FF1210,0.01nn 此处此处 ， 拒绝域为拒绝域为222212123.325,2.225,1.49ssss接受原假设接受原假设解：解：否定域否定域接受域接受域xF 未知未知 ， 检验假设检验

18、假设12,22012:H两个正态总体两个正态总体期望期望的检验假设的检验假设2212,ss22(,)N 212,ny yy12(,)N 112,nx xx 设设 来自总体来自总体 的样本的样本， 是来自总体是来自总体 的样本的样本，且两样且两样 本独立。其样本方差分别为本独立。其样本方差分别为 。 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H012112:HHP14712122211221212() (2)(1)(1)112XYtt nnnSnSnnnn t2t 12查表查表：12(2)tnnW：| tt 拒绝域拒绝域： 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H注注：121222112

19、21212() (2)(1)(1)112XYtt nnnSnSnnnn 其中其中2,SS 222112212(1)(1).2nSnSSnn 1212(2)11XYtt nnSnn 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H注注：12122211221212() (2)(1)(1)112XYtt nnnSnSnnnn 若若12,nn 122212 (2)XYtt nnSSn P176 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H例：例： 比较甲比较甲, ,乙两种安眠药的疗效乙两种安眠药的疗效。将将2020名名患者分成两患者分成两组组, ,每组每组1010人人. .其中其中1010人服用甲药

20、后延长睡眠的时数分别人服用甲药后延长睡眠的时数分别为为1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4;3.4;另另1010人服用乙药后延长睡眠的时数分别为人服用乙药后延长睡眠的时数分别为0.7, -1.6, 0.7, -1.6, -0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.-0.2, -1.2, -0.1, 3.4, 3.7, 0.8, 0.0, 2.0.若服用若服用两种安眠药后增加的睡眠时数服从两种安眠药后增加

21、的睡眠时数服从方差相同方差相同的正态分布的正态分布. .试问两种安眠药的疗效有无显著性差异试问两种安眠药的疗效有无显著性差异?(?( =0.10)=0.10)解解:211210:;:HH02212, (18)/10 XYHttSS在在假假设设下下查表查表：120.1(2)(18)1.7341tnnt122212 (2)XYtt nnSSn 若若12,nn 已知已知 ，检验假设检验假设2212012:H这里这里:002. 2,33. 21sx789. 1,75. 02sy| | t 86. 17341. 1拒绝拒绝H H0 0认为两种安眠药的疗效有显著性认为两种安眠药的疗效有显著性差异差异解解:211210:;:HH查表查表：120.01(2)(18)1.7341tnnt02212, (18)/10 XYHttSS在在假假设设下下两个正态总体的检验假设两个正态总体的检验假设2212ss/2F12Fx121,1()nFn 221212(1,1)Fnn 1212(1,1)Fnn 221(1,1)1/ Fnn 2211122222(1,1)SFF nnS 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H2211122222(1,1)SFF nnS 12(1,1)Fnn 2212ss否定域否定域接受域接受域xF 未知未知 ， 检验假设检验假设12,22012:H121222