描述函数法学习教案

1、会计学1描述函数法描述函数法第一页，编辑于星期一：二十三点 六分。1.描述函数的基本概念2.典型非线性特性的描述函数3.非线性系统的简化4.非线性系统稳定性分析的描述函数法第1页/共25页第二页，编辑于星期一：二十三点 六分。y(t)ty(t)tty(t)y(t)t第2页/共25页第三页，编辑于星期一：二十三点 六分。y(t)= A0+(Ancosnt+Bnsin nt)n=122n nn nn nB BA AY Y 200td) t (y1At td d t tn nt ty yA An n 20cos)(1t td d t tn nt ty yB Bn n 20sin)(1若若A A0 0

2、=0=0，且当，且当n1n1时，时，Y Yn n均很小，则可近似认为非线性环节的均很小，则可近似认为非线性环节的正弦响应仅有一次谐波分量！正弦响应仅有一次谐波分量！1111 1nnn0)tnsin(YAtsinBtcosA) t (y11 )tsin(Y11 21211BAY 111BAarctg )tsin(Y) t (y11 tsinA) t (x 非线性环节可非线性环节可近似认为近似认为具有和线性环节具有和线性环节相类似相类似的频率响应形式的频率响应形式为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中为此，定义正弦信号作用下，非线性环节的稳态输出中一次谐波一次谐波分量和输入信号的分量和输

3、入信号的复数比复数比为非线性环节的为非线性环节的描述函数描述函数，用，用N(A)N(A)表示：表示：1j1eAY A Aj jA AB B11 N(A) = N(A) ejN(A) =第3页/共25页第四页，编辑于星期一：二十三点 六分。0 201ttdcos) t (y1At2Ax(t)200td0cos) t (y1A0 201ttdsin) t (y1Bk0 x(t)y(t)y(t)=0k(x-)k(x+）xx x y(t) B1sintN(A)=AB1+jA1B1A= 2ktcosttdsinX(t)= AsintN(A)第4页/共25页第五页，编辑于星期一：二十三点 六分。x(t)=

4、Asinty(t)t tyakxx(t)t tA1221201ttdcos) t (y1A200td0cos) t (y1A0 2 122 0 122 ) t (y)tsinA(k 0)a(k 21t 1t0 2t2 201ttdsin) t (y1B2ttdsin) t (y40B1A( 1 1ttdsin)tsink4 2 2 2 ttdsin)a(k4 2 2+tcostsinttd) t2cos1 (ttdsin2121212tcosttdsin211)A/(1cos,A/sin 222)A/a(1cos,A/asin 221)A(1A)Aa(1AaAarcsinAaarcsinkA2

5、Bx x(t)= Asinty(t) B1sintN(A)=AB1+jA1B1A=)A(Nk2第5页/共25页第六页，编辑于星期一：二十三点 六分。库伦摩擦理想继电特性 ,1有死区的继电特性2有滞环的继电特性3性有死区与滞环的继电特4峰值限制饱和特性,5有死区的饱和特性6死区特性7间隙特性8变增益特性9有死区的线性特性10库伦摩擦加黏性摩擦11第6页/共25页第七页，编辑于星期一：二十三点 六分。) t (x)(t tx x) t (y)(t ty yG1G2G3 N0)( tr)(tc特征方程特征方程：0NGG1GG12132 N2132GG1GG 1+G1G2+G2G3N=0在哪里？在哪里

6、？)(tc提醒：两个方块位置可随意放提醒：两个方块位置可随意放第7页/共25页第八页，编辑于星期一：二十三点 六分。特征方程特征方程：0G1HGN1111 在哪里？在哪里？)(tc) t (x) t (y) t (x) t (y0HNGNG1111 0)H1(GN111 0HNGG1111 N(A)G1(1+H1)N(A)111G1HG ) t (x) t (y) t (x) t (y) t ( c 第8页/共25页第九页，编辑于星期一：二十三点 六分。N1(A)N2(A)tsinA)t (x y(t)(t)y1N1(A)+N2(A)tAtx sin)()t ( y并联非线性特性的等效描述函数

7、并联非线性特性的等效描述函数 为各非线性描述函数的代数和为各非线性描述函数的代数和(t)y2第9页/共25页第十页，编辑于星期一：二十三点 六分。x1xy1x1x1 1k2 2k2a00yx y0210 x)x(k212 212ax )a(k222 12xa2 )x(kx111 2110 )x(k2112a)x(k )x(ka1121120 kx01 x10 x112112 kaxk xka112 )k(xkk12112xyxy0 ak21kkk 121k 121kaa 第10页/共25页第十一页，编辑于星期一：二十三点 六分。00k2=11k1=0.71xyy0 x1x1x1xxy1第11页

8、/共25页第十二页，编辑于星期一：二十三点 六分。已知系统微分方程为已知系统微分方程为0)cc (signcc2c 要求：要求：1. 绘制系统结构图绘制系统结构图 2. 用描述函数法研究系统稳用描述函数法研究系统稳 定性定性及自振情况。及自振情况。解解:11)cc (sign0cc 时，时，1)cc (sign0cc 时，时， cc2c 01 01 0cc 0cc cc2c 0cc1 0cc1 1scc 1sc 112112)1s (s1 o01)0 j (G o2700)j (G )3(j)31(1)j (G222 5 . 0)3j (G 4A)A(N1 j0-1/N(A)-0.51有自振存

9、在有自振存在 2A32第12页/共25页第十三页，编辑于星期一：二十三点 六分。4A2A3)A(N 2A34A)A(N1 2)0(N1 31)(N1 jImRe0-2-1/3第13页/共25页第十四页，编辑于星期一：二十三点 六分。hAAh1AM4)A(N22 0)h(N 0)(N 处回头处回头在在Mh2 h-hM起于起于 终于终于 j0有问题找王凤14页/共25页第十五页，编辑于星期一：二十三点 六分。222AMh4jAh1AM4)A(N h-hMMh4jhAM4)A(N122 j0Mh4 第15页/共25页第十六页，编辑于星期一：二十三点 六分。(16分分)如图所

10、示的非线性系统如图所示的非线性系统， )4s)(1s (K 0)s(R )s(Cs1132AA 1分析参数分析参数K K对系统自由运动的影响；对系统自由运动的影响；2若能产生自激振荡，试求使输出若能产生自激振荡，试求使输出c c处振幅为处振幅为1 1时的振荡频率时的振荡频率 和参数和参数K K的值的值。 不稳定不稳定(3(3分分) )， 稳定稳定(3(3分分) )， 自激振荡自激振荡(3(3分分) )， (3(3分分) )， (4(4分分) ) 60k10k6010 k220k第16页/共25页第十七页，编辑于星期一：二十三点 六分。,)s(G)A(N01 程为设非线性系统的特征方,)s(G0

11、1 为设线性系统的特征方程为最小相角系统，若)s(G点系统不稳定，曲线包围则)j ,()j(G01 点系统稳定，不曲线包围则)j ,()j(G01 时系统临界稳定。1 )j(G为最小相角系统，若)s(G，曲线非线性系统不稳定曲线包围则)A(N/)j(G1 曲线非线性系统稳定，曲线不包围则)A(N/)j(G1 。时非线性系统临界稳定)A(N/)j(G1 荡。临界稳定会产生等幅振,荡临界稳定会产生等幅振也许不能维持！该等幅振荡也许能维持 ,激振荡。定的周期运动，又叫自能维持的等幅振荡叫稳第17页/共25页第十八页，编辑于星期一：二十三点 六分。不稳定区域不稳定区域不稳定区域不稳定区域点对应的周期0

12、N运动是稳定的点对应的周期0N运动是不稳定的点对应的周期20N运动是稳定的点对应的周期10N运动是不稳定的运动是稳定的点对应的周期10N点对应的周期20N运动是不稳定的tsinA)t (x:N22020 点tsinA)t (x:N21010 点第18页/共25页第十九页，编辑于星期一：二十三点 六分。的临界值。、不出现自振荡时系统的运动、研究kk2151 10771 ).j(G、有自振荡11111421 AAAsin)A(N令52.A 试探法求得t.sin.)t ( e07752 5750150772.k,.k).j(Gmax 解得、令第19页/共25页第二十页，编辑于星期一：二十三点 六分。

13、研究系统运动特性。）,)s.(.s.)s(G)s(Gcc1030381250211 141 )j(G）解得：由1501422 A.A)A(N1461556021.A.A 为自振荡tsin.)t (x)t (e41461 ，系统稳定。不包围）由曲线知)A(N/)j(G12 第20页/共25页第二十一页，编辑于星期一：二十三点 六分。在实轴上时，在实轴上时，当当)(1AN 可由可由z=P-2N判断出稳定区；判断出稳定区；不不在在实实轴轴上上时时，当当)(1AN 要由要由z=P-R判断出稳定区。判断出稳定区。N为为从从0 0+变化时绘制的变化时绘制的G(j)曲线曲线R为为从从- -+变化时绘制的变化

14、时绘制的G(j)曲线曲线求求N或者或者R, ,可以用可以用“包围包围”的概念，也可用的概念，也可用“穿越穿越”的概念的概念下面举例说明下面举例说明第21页/共25页第二十二页，编辑于星期一：二十三点 六分。G(j)ImRe0ImRe0cabM1M2G(j)(1A AN N M Mh h4 交点交点M1M2将将-1/N(A)分为三段分为三段将三段聚焦为将三段聚焦为a,b,c三点三点，G(j)逆时针逆时针包围包围b点一圈点一圈，所以所以R=1,z=P-R=1-1=0G(j)包围的区域为稳定区域包围的区域为稳定区域交点交点M1-/N(A)由不稳定区域穿入稳定区域，所以该点为稳定的周期运动。由不稳定区

15、域穿入稳定区域，所以该点为稳定的周期运动。P=1第22页/共25页第二十三页，编辑于星期一：二十三点 六分。，临界稳定点处临界稳定点处1)( j jG G，即即 1)(j jG G1)( j jG G线性系统中的临界稳定点为线性系统中的临界稳定点为(-1,j0)点，该点在点，该点在实轴上，所以可以绘制实轴上，所以可以绘制0的的G(j)曲线，曲线，再由公式再由公式z=p-2N判断系统稳定性。判断系统稳定性。 ，是这样求的：是这样求的：中的中的N NN Np pz z2 的射线，的射线，作作1)( j jG G以以远远射射线线的的次次数数。穿穿越越为为1)( j jG GN N 非线性系统中奈氏曲线与负倒描述函数曲线的交非线性系统中奈氏曲线与负倒描述函数曲线的交点不一定在实轴上，所以应绘制点不一定在实轴上，所以应绘制 的开环幅相曲线，然后用的开环幅相曲线，然后用z=p-R判断出稳定区域判断出稳定区域。以以远远的的次次数数。穿穿越越该该射射线线为为)(/1)(ANjGR 的射线，的射线，作作)(/1)(ANjG )(/1)(ANjG 交交点点处处)(/1)(ANjG 即即这这样样求求得得：中中的的RR-pz )(/1)(,ANjG 第23页/共25页第二十四页，编辑于星期一：二十三点 六分。ImRe0G(j)(1A AN N M Mh h4 +连接连接0-b并延长之并延长之，R为