数值与计算方法绪论学习教案

1、数值数值(shz)与计算方法绪论与计算方法绪论第一页，共74页。第1页/共74页第二页，共74页。6. 常微分方程数值(shz)解法7. 矩阵特征值和特征向量的数值(shz)解法第2页/共74页第三页，共74页。本课程的任务：本课程的任务：讨论讨论(toln)第第步，即介绍计算机上的常步，即介绍计算机上的常用的数值方法用的数值方法第3页/共74页第四页，共74页。实际(shj)问题数学模型(数值(shz)算法编程计算结果抽象：“去伪存真(q wi cn zhn)，去粗取精”()()()第4页/共74页第五页，共74页。I.总体设计总体设计(含模型的细化等含模型的细化等)II.详细设计详细设计(

2、主要是算法设计主要是算法设计)III.实验验证实验验证IV.其中其中包括：包括：V.连续系统的离散化连续系统的离散化VI.离散型方程的数值离散型方程的数值(shz)求解求解以计算机为工具以计算机为工具 求解各种求解各种( zhn)数学模型需经历三个过程数学模型需经历三个过程第5页/共74页第六页，共74页。计算方法计算方法 主要研究主要研究(ynji)将数学模型变成数值问题将数学模型变成数值问题,并研究并研究(ynji)求解数值问题的数值方法，进而设求解数值问题的数值方法，进而设计数值算法。计数值算法。内容包括内容包括: 基本概念介绍；误差及分析；收敛性、稳定性；算基本概念介绍；误差及分析；收

3、敛性、稳定性；算法复杂性等法复杂性等第6页/共74页第七页，共74页。 计算数学是一门古老的数学计算数学是一门古老的数学 如计算圆周率、九章计算等；如计算圆周率、九章计算等； 牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算；牛顿、莱布尼兹等提出的微分、积分计算； 计算数学是一门年轻的数学计算数学是一门年轻的数学 近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算近代计算机的诞生，产生了数学的计算机计算. 计算机与数学的关系非常密切计算机与数学的关系非常密切 计算数学：计算机上的数学方法。计算数学：计算机上的数学方法。 或定义为：研究或定义为：研究(ynji)数值计算方法的设计、数值计算方法的设计、分析和有关理论基

4、础与软件实现的一个数学分支。分析和有关理论基础与软件实现的一个数学分支。计算数学：计算方法或数值分析计算数学：计算方法或数值分析第7页/共74页第八页，共74页。科学理论、科学试验和科学计算科学理论、科学试验和科学计算(计算的方法计算的方法)是现代科是现代科学的三个组成部分学的三个组成部分计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算精计算机下的科学计算大大地提高了计算速度和计算精度，是使原来不能实现度，是使原来不能实现(shxin)的海量复杂计算成为现的海量复杂计算成为现实实科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理论科学计算是以计算机为基础的科学计算，其计算理论是计算数学是计算数学计算数学

5、的应用：天体物理、大气研究、分子生物、计算数学的应用：天体物理、大气研究、分子生物、集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等集成电路、天气预报、模式识别、网络信息搜索等计算数学的发展：进行高效率、高精度的并行计算计算数学的发展：进行高效率、高精度的并行计算计算数学的应用计算数学的应用(yngyng)与发展与发展第8页/共74页第九页，共74页。Web搜索。搜索。第9页/共74页第十页，共74页。第10页/共74页第十一页，共74页。数值(shz)问题：输入(shr)数据与输出数据之间函数关系的一个确定而无歧义的描述。即： 输入与输出的都是数值的数学问题如求解线性方程组bAx 求解二次方程0

6、2cbxaxcbabA,与系数常数项向量输入的数据是系数矩阵都是数值问题21,xxx 和方程的解输出的数据是解向量第11页/共74页第十二页，共74页。求解(qi ji)微分方程0)0(32yxy是不是数值(shz)问题？xxy3,2函数但输出的不是数据而是输入的虽是数据将其变成数值(shz)问题，即将其“离散化”xxy32即将求函数nnxxxxyxyxy2121),(,),(),(改变成求函数值“离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题的主要方法，这也是计算方法的任务之一第12页/共74页第十三页，共74页。数值方法数值方法(fngf)：是指解数值问题的：是指解数值问题的 在计算机上可执

7、行的系列计算公式。在计算机上可执行的系列计算公式。在计算机上可执行的公式(gngsh)是指只含有加减乘除的公式(gngsh)。现在的计算机中几乎都含有关于开方的标准函数sqrt()常见的在计算机上不能直接运行的计算有: 开方、极限、超越函数、微分、积分等等。要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价或近似等价运算。第13页/共74页第十四页，共74页。，应化为超越函数xe. 3! 212nxxxenx的计算应化为的导数函数)()(. 4xyxyhxyhxyxy)()()(1. 如求根公式(gngsh)aacbbx2422,12. 应化为公式(gngsh)aacbsqrtbx2)4(22,1

8、第14页/共74页第十五页，共74页。)2, 0(.)2, 0(, 0sin1)(.)2, 0(0)(,02*) 1()2()0(,2, 0)(,cos)(知上述零点唯一又由内至少有一个零点在方程由零点定理知且上是连续函数在易知令xxxfxfffxfxxxf第15页/共74页第十六页，共74页。第16页/共74页第十七页，共74页。.4.,cos.,.*附近大致位于看出从图中可以为所求方程的解的横坐标取两曲线交点作图像可大致判定此零点位置法若用图解困难本题用解析法求解较为xxpxyxy第17页/共74页第十八页，共74页。nnxxcos1nnnnnnnnxxxxxfxfxxsin1cos)()

9、(1比较：两种方法同样获得比较：两种方法同样获得9位数字的近似解，位数字的近似解， 简单迭代法需要简单迭代法需要(xyo)迭代迭代43次，牛顿迭代法迭代次，牛顿迭代法迭代3次。次。第18页/共74页第十九页，共74页。10102212)2(14I 12.1.1dxeIdxxx）（计算定积分例公式有的复化被积函数择数值方法有多种，如选Simpsonxxfhn214)(,21,20arctan41arctan4|arctan41101xI莱布尼兹公式）由牛顿解：（第19页/共74页第二十页，共74页。141568627.3)1()43(4)21(2)41(4)0(61fffffhI。行数值求解有公

10、式进的复化法求解。仍选择数值方公式无法求解，仅可用由无原函数，因此，由于）（746855379. 0,21, 2LeibnizNewtone)(,e2210222IsimpsonhnxxfdxI-x第20页/共74页第二十一页，共74页。1. 1. 牛顿牛顿(ni dn)-(ni dn)-莱布尼兹莱布尼兹公式公式2. 2. 数值解：在特定条件下通过近似计算数值解：在特定条件下通过近似计算, ,（如有限元的方法（如有限元的方法, 数值逼近数值逼近, ,插值插值的方法）得出来的一个的方法）得出来的一个(y )(y )数值。数值。 解析解：解析解为该函数的解析式。解析解：解析解为该函数的解析式。第2

11、1页/共74页第二十二页，共74页。例例1.2.3 求求 Ax=b， Det(A)0，A=(aij)20 20解：解：1. 用用Cramar法则法则(fz)求解，总计算量求解，总计算量 N = ( ( n+1)(n-1)n!+n) flop当当n=20, N9.7 1020 flop. 以一台以一台10亿亿/秒的计算机需约秒的计算机需约3万年万年.结论：分析结论：分析(fnx)算法的效率，选择算法非常算法的效率，选择算法非常重要重要解：解：2.使用使用(shyng)Gauss消去法，消去法， n=20， N3060 flop = O(n3 /3) flop.第22页/共74页第二十三页，共74

12、页。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa.22112222212111212111第23页/共74页第二十四页，共74页。TnTnnnijnnnbbbxxxaaaaaaaaaabx2121n2n1n2222112111,)(A第24页/共74页第二十五页，共74页。代替所得。列用的第是，其中法则：biAAADniDDxGrameriiiii)det(0A)det(D,.,2 , 1第25页/共74页第二十六页，共74页。:121)0(23 . 1 . 12方法我们选择经典的四阶如。本题数值方法很多，解析解解得方程，令该方程是解求解初值问题例KRxyyuBernoull

13、iyyxydxdy第26页/共74页第二十七页，共74页。为步长。；这里hyxyyxfkyhthfkkyhthfkkyhthfkythfkkkkkyynnnnnnnnnn2),(,),()2,2()2,2(),()22(61342312143211第27页/共74页第二十八页，共74页。xnynY=xnynY=01.000001.000001.21.849311.849310.21.183221.183221.41.943961.943960.41.341641.341641.62.049392.049390.61.483241.483241.82.144762.144760.81.61245

14、1.612452.02.236072.236071.01.732051.7320512x12x第28页/共74页第二十九页，共74页。运动周期. 第29页/共74页第三十页，共74页。22sing:gl2Tdtdmlmamgfml牛顿定律的质量。如图所示：由是质点为自由落体加速度；为摆长；其中摆周期在物理学中我们知道单第30页/共74页第三十一页，共74页。0,sin,0sinsin22222222dtdlglgdtdmgdtdml则有令很小时当即所以第31页/共74页第三十二页，共74页。：期求解过程的误差情况现在我们来分析单摆周因此，故有解微分方程得，glTtcctctc22)sin(.s

15、incos22212121第32页/共74页第三十三页，共74页。开方：舍入误差长度秒米观察误差：展式：由截断误差：点处的摩擦力忽略忽略空气阻力模型误差/,*,.4,/8 . 93.! 5! 3sinTaglorsin2o10205300lg第33页/共74页第三十四页，共74页。实际(shj)问题数学模型(数值(shz)算法编程计算结果抽象抽象(chuxing)模型误差模型误差,观测误差观测误差第34页/共74页第三十五页，共74页。,及外部观测条件等多种因素，及外部观测条件等多种因素，不可能获得精确值，由此而不可能获得精确值，由此而来产生的误差称为观测误差。来产生的误差称为观测误差。第35

16、页/共74页第三十六页，共74页。第36页/共74页第三十七页，共74页。称为近似数为准确数，设定义,2 . 2 . 1*xxxxxex*)(绝对误差：的）（近似数)0()()(*xxxexexr相对误差：的）（近似数第37页/共74页第三十八页，共74页。绝对误差绝对误差(ju du w ch) 是为了衡量是为了衡量x*的精度高低，比较直观，但无法衡量精度的精度高低，比较直观，但无法衡量精度的好坏。的好坏。而相对误差（也成百分比误差），衡量好坏更合理。而相对误差（也成百分比误差），衡量好坏更合理。第38页/共74页第三十九页，共74页。第39页/共74页第四十页，共74页。差界。的绝对误差界

17、和相对误为近似数和则称满足和若有正数为近似数为精确数，设定义*r*r*| )(| )(|:,2 . 2 . 1xxxxxexxxexxrr第40页/共74页第四十一页，共74页。第41页/共74页第四十二页，共74页。似数。具有五位有效数字的近称则的近似数例如：3.14161021.00000734. 0.14159265. 31416. 3)(1416. 3.14159265. 3*4*e第42页/共74页第四十三页，共74页。位有效数的近似数。的具有为则称的绝对误差满足。如果是整数且和其中有规格化形式设近似数定义nxxxxxexaaniamaaaaxxnmiinm*1321*1021| )

18、(|90 , 0,.),.,2 , 1(.0103 .2 .1第43页/共74页第四十四页，共74页。第44页/共74页第四十五页，共74页。界。绝对误差界和相对误差的有效数字位数、请分析例：若取*,4142. 1,2*xxx4*1021, 5, 1的绝对误差界解：xnm第45页/共74页第四十六页，共74页。554*1041044142.11021|)(|rrxxe即而相对误差界估计为第46页/共74页第四十七页，共74页。*ln)()(xdxdxxxxxedxxxxer第47页/共74页第四十八页，共74页。，则：的近似数设*2*121,xxxx)()()()(. 1*2*1*2*1*2*

19、1*2*1xexedxdxxxdxxe)()(lnln)ln(ln)ln()(. 2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexexdxdxxdxxdxxerrr第48页/共74页第四十九页，共74页。)()()()()()(. 3*2*1*1*2*2*1*2*1*2*1*2*1*2*1xexxexxexexxxxexxxxerrr)()()(. 4*2*1*2*1xexexxerrr2*2*2*1*1*2*2*1)()()()(. 5xxexxexxxe第49页/共74页第五十页，共74页。)()()()()()()()()()()()(),(*xexfxfxfexexfxxxfxdfxf

20、xffexfxxxfyrr或时，则误差为计算函数值则代替用近似数当设函数第50页/共74页第五十一页，共74页。定的。是可以控制的，或是稳过自变量的误差，时，函数值的误差不超这表明当时有当若记1, 1)()()()(1, 1|,)()(|,)(|*rrrrrCCxefexefeCCxfxfxCxfC第51页/共74页第五十二页，共74页。义下的条件数。在绝对意义下和相对意为一般分别称)(,xfCCr为良态；称当)(1xfC 为病态。称当)(1xfC 第52页/共74页第五十三页，共74页。在正根附近的性态。讨论函数例10100)(2 . 2 . 12xxxf100:100,1010)(:21x

21、xxxf即正根为解得由解在正根附近是病态的)(1201|12| )100(|100 xfxfx第53页/共74页第五十四页，共74页。变化，函数值变化极大也就是自变量发生微小则取则如：取09.20)9 .99()(, 9 .99200)99()(,99*1*1*1*1fxfxfxfx第54页/共74页第五十五页，共74页。TnTnnxxxxxxxxxxxfy),.,(),.,(),.,(21*2*1*21代替用对于多元函数niiiniiiinnxexfxxxfxxxfxxxffe1*1*21*2*1)()(),.,(),.,()(:其绝对误差为)()(*1*iniixexffe因此绝对误差界为

22、第55页/共74页第五十六页，共74页。niiriirxexfxxxffe1*)()()(（同理相对误差为| )(|)()(| )(|1*niiriirxexfxxxffe相对误差界第56页/共74页第五十七页，共74页。的绝对误差和相对误差面积试估计观测数据为设例SABC,)02.060(,)10.0120(,)10.0100(ABC3 .1.2oAmcmb第57页/共74页第五十八页，共74页。，则解：由AbcSsin21)()()()(*AeAScecSbebSSe1 . 0sin211 . 0sin21*AbAc2*57.1018002. 0cos21mAcb第58页/共74页第五十九

23、页，共74页。3*10035. 2sin2157.10|)(| )(|Acbsseser对误差界。如：出，则知道绝若数据以规格化形式给注意:10010. 01010.1003b253*10211021| )(|be则：第59页/共74页第六十页，共74页。序编制和上机实现.第60页/共74页第六十一页，共74页。.避免分母很小(或乘法因子很大),以免产生溢出.第61页/共74页第六十二页，共74页。并评价算法收敛的快慢的值计算,2ln1.3.1例.) 1(.32)1ln(:解132nxxxxxTaylornn展式有算法一：由有：令1x.1) 1(.312112ln1nn第62页/共74页第六十

24、三页，共74页。收敛。所以且由级数判别，交错级数2ln0limnna时，若要求510|度慢。，显然项数大，收敛速则5102n第63页/共74页第六十四页，共74页。得：并取则令则由于算法二1031211.)12.531(2)1ln()1ln(11ln:.)1(.32)1ln(.32)1ln(:24213232nxxxnxxxxxxxxnxxxxxnxxxxxnnnn第64页/共74页第六十五页，共74页。)31(211.3151311 (322ln20421210111211109123112191119123132.)9125191231(32T其截断误差为很大。，计算精度及速度差距两种算法，同样计算2ln第65页/共74页第六十六页，共74页。的值。计算圆周率例2 . 3 . 1.121) 1(.51311114:1102ndxxn算法一：由定积分解。则时同理若要5510,10|n第66页/共74页第六十七页，共74页。141568627. 34785392156. 0)1 ()43(4)21(4)0(611)(,2122*22