基本事实与定理

1、8、3 基本事实与定理基本事实与定理（一）（一）自主学习自主学习下列命题是真命题吗下列命题是真命题吗? ?1 1、如果、如果a a是有理数，那么是有理数，那么a a是实数；是实数；2 2、如果、如果mm是自然数，那么是自然数，那么mm是整数；是整数；3 3、如果、如果a a是整数，那么是整数，那么a a是有理数；是有理数；4 4、如果四边形、如果四边形ABCDABCD是正方形，那么它是矩形是正方形，那么它是矩形一、知一、知识识回眸：回眸：是是是是欧几里得欧几里得 古希腊数学家古希腊数学家欧几里得欧几里得( (Euclid，约公元前约公元前330前前275) )对他那个时代的数学知识作了系统对他

2、那个时代的数学知识作了系统化的总结，他化的总结，他挑选出挑选出一些人们一些人们在长期实践中总在长期实践中总结出来结出来的的公认公认的的真命题真命题，作为证明的，作为证明的原始依据原始依据，称这些称这些真命题真命题为为公理公理. 欧几里得欧几里得以以基本定义基本定义和和公理公理作为作为推理推理的的出发点出发点，去判断其他命题的真假，去判断其他命题的真假，已经判已经判断为真的命题断为真的命题称为称为定理定理，它也可以作为，它也可以作为判判断其他命题的真假断其他命题的真假的的依据依据.（一）（一）自主学习自主学习（1 1）阅读欧几里得的简介，师友互谈感想。）阅读欧几里得的简介，师友互谈感想。小知识

3、欧几里得按照这种方法欧几里得按照这种方法( (现在称为公理化方法现在称为公理化方法) )编写编写了一本书，书名叫了一本书，书名叫原本原本.全书共分全书共分13卷，包括有卷，包括有5条条公理，公理，5条公设，条公设，119个定义和个定义和465条命题，构成了历史条命题，构成了历史上第一个数学公理体系上第一个数学公理体系（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于（注：欧几里得把公设和公理加以区分，即公理是适用于一切科学的真理，而公设只适用于几何一切科学的真理，而公设只适用于几何. .近代数学对此不近代数学对此不再区分，都称为公理再区分，都称为公理.).)原本原本. .（一）（一）自主学习自

4、主学习知识梳理知识梳理 （2） 叫公理， (3). , . 叫定理。（4）公理与定理之间有什么关系:. 。人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，人们在长期实践中总结出来的公认的真命题，并并作为证明作为证明其它命题其它命题的依据，称这些真命题的依据，称这些真命题. .已经判断为真的命题并已经判断为真的命题并作为证明作为证明其它命题其它命题的依据，的依据，称这些真命题称这些真命题公理公理是不需要证明的是不需要证明的, ,由由实践实践得出的结论得出的结论, ,定理定理是由公理得出来的是由公理得出来的, ,也可以说是公理的推论也可以说是公理的推论, , 是需要证明的是需要证明的 （一）（一）自主学习

5、自主学习检测检测 下面下面关关于公理和定理的于公理和定理的联联系系说说法法不正确不正确的是的是（ ）A A 公理和定理都是公理和定理都是真真命命题题， B B公理就是定理，定理也是公理，公理就是定理，定理也是公理，C C 公理和定理都可以作公理和定理都可以作为为推理推理论证论证的依据的依据D D公理的正确性不需公理的正确性不需证证明，定理的正确性需明，定理的正确性需证证明明B 把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：把哪些真命题作为公理应当遵循下列原则：直观直观，易于被大家所，易于被大家所公认公认；相互之间；相互之间不闹矛盾不闹矛盾等等 根据上述原则并且考虑到同学们的实根据上述原则并且考虑到同学

6、们的实际情况，我们这套教材到目前为止选择了际情况，我们这套教材到目前为止选择了八条真命题八条真命题作为作为公理公理：（一）（一）自主学习自主学习知识梳理知识梳理 你能记下你能记下P42P42面的八条公理吗？面的八条公理吗？ 1.两点确定一条直线两点确定一条直线 2. 两点之间线段最短两点之间线段最短 3.3.同一平面内，同一平面内，过一点过一点有且只有一条直线与直线垂直有且只有一条直线与直线垂直4.4.两两直直线线被第三被第三条条直直线线所截所截, ,如果同位角相等如果同位角相等, , 那那么这两条么这两条直直线线平行平行; ; 5. 经经过一条直线过一条直线外一点外一点有且只有一条直线有且只

7、有一条直线 与已知直线平行与已知直线平行 6.6.两边两边及及夹夹角角对应对应相等的相等的两个两个三角形全等三角形全等; ;7.7.两两角及其角及其夹边夹边对应对应相等的相等的两个两个三角形全等三角形全等; ;8.8.三三边对应边对应相等的相等的两个两个三角形全等三角形全等; ;w等式的有等式的有关关性性质质和和不等式的有不等式的有关关性性质质都可以看作都可以看作公理公理w“ “在等式或不等式中在等式或不等式中, ,一一个个量可以用量可以用它它的等的等量量来来代替代替” ”. .这这一性一性质质也看作公理也看作公理, ,简称为简称为“ “等等量代量代换换” ”. .推理的依据：1、已知条件2、

8、定义3、公理4、定理5、等式（不等式）的性质 动脑筋动脑筋（二）经典例题（二）经典例题例例1 1：由上面给出的公理，证明如下命题的正确性：由上面给出的公理，证明如下命题的正确性： 等角的补角相等。等角的补角相等。 已知：1=2，1+3=180，2+4=180。求证：3=4证明：1+3=180， 2+4=180(已知)， 3=180-1，4=180-2 (等式的性质) 1=2 (已知)， 3=4 (等式的性质)。 第一步：第一步：根据题意，根据题意，画出图形画出图形先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的先根据命题的条件即已知事项，画出图形，再把命题的结论即求证的需要在图上标出必要的字母

9、或符号，以便于叙结论即求证的需要在图上标出必要的字母或符号，以便于叙述或推理过程的表达述或推理过程的表达第二步：第二步：根据根据条件、结论、结合图形，写出条件、结论、结合图形，写出已知、求证。已知、求证。把命题的把命题的条件条件化为几何符号的语言化为几何符号的语言写在已知写在已知中，中，命题的命题的结论结论转化为几何符号的语言转化为几何符号的语言写在求证写在求证中中第三步：第三步：经过分析，找出由已知推出求证的途径，经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明写出证明过程过程一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已一般情况下，分析的过程不要求写出来，有些题目中，已经画出了图形，写好了

10、已知，求证，这时只要写出经画出了图形，写好了已知，求证，这时只要写出“证明证明”一项就可以了一项就可以了证明的一般步骤：证明的一般步骤： （二）经典例题（二）经典例题例例2 2：如图，已知：在四边形如图，已知：在四边形ABCDABCD中，中，AB=ADAB=AD，BC=DCBC=DC，ACAC、BDBD相交于相交于O O，求证：（求证：（1 1）ABCABC ADC,ADC, (2)OB=OD,ACBD (2)OB=OD,ACBD证明：（证明：（1 1）AB=AD,BC=DC,AC=ACAB=AD,BC=DC,AC=AC ABCABC ADCADC (2) (2) 由（由（1 1）知）知ABC

11、ABC ADC ADC BCA=DCA, BCA=DCA, 又又BC=DC BC=DC BO=OD,ACBD BO=OD,ACBD O D C B A用所学公理、定用所学公理、定理、定义说明理、定义说明1 1、“ “两两点之点之间间，线线段最短段最短” ”这个语这个语句是（句是（ ） A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定、定义义 D D、只是命、只是命题题2 2、“ “同一平面同一平面内内，不相交的，不相交的两条两条直直线线叫做平行叫做平行线线” ”这个语这个语 句是（句是（ ） A A、定理、定理 B B、公理、公理 C C、定、定义义 D D、只是命、只是命题题3 3、下列命

12、、下列命题题中，中，属属于定于定义义的是（的是（ ） A A、两两点确定一点确定一条条直直线线 B B、同角的余角相等、同角的余角相等 C C、两两直直线线平行，平行，内错内错角相等角相等 D D、点到直、点到直线线的距离是的距离是该该点到点到这条这条直直线线的垂的垂线线段的段的长长度度4 4、下列句子中，、下列句子中，是定理的是（是定理的是（ ），）， 是公理的是公理的 是（是（ ），）， 是定是定义义的是（的是（ ），）， A A、三、三边对应边对应相等的相等的两个两个三角形全等；三角形全等； B B、对顶对顶角相等角相等 C C、全等三角形的、全等三角形的对应边对应边相等，相等，对应对应角相等角相等 D D、有一、有一组邻边组邻边相等的平行四相等的平行四边边形叫做菱形形叫做菱形 E E、两条两条平行直平行直线线被第三被第三条条直直线线所截，同位角相等所截，同位角相等三、巩固练习B BC CD DB B、C CA A、E ED D A A、B B、C C、D D、E E五名五名学学生猜自己的生猜自己的数学数学成成绩绩： A A说说：“ “如果我得如果我得优优，那，那么么B B也得也得优优。” ” B B说说：“ “如果我得如果我得优优，那，那么么C C也得也得优优。” ” C C说说：“ “如