机械优化设计多目标问题的最优化方法

1、第六章 多目标问题的优化设计方法6.1 6.1 引言引言6.2 6.2 基本概念和定义基本概念和定义6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法 6.3 6.3 统一目标函数法统一目标函数法6.4 6.4 功效系数法功效系数法6.5 6.5 有限个方案的多目标决策方法有限个方案的多目标决策方法6.1 6.1 引言引言在机械设计中，某个设计方案的好坏仅涉及一项设在机械设计中，某个设计方案的好坏仅涉及一项设计指标，称它为单目标优化设计问题。对于这种问题，计指标，称它为单目标优化设计问题。对于这种问题，应用前面介绍的优化设计方法就可以直接解得最优设计应用前面介绍的优化设计方法就可以直接解得最优设计方案。然而

2、，在许多实际问题中，对一个设计方案往往方案。然而，在许多实际问题中，对一个设计方案往往期望几项设计指标同时达到最优值。这种在优化设计中期望几项设计指标同时达到最优值。这种在优化设计中同时要求两项或几项设计指标达到最优值的问题统称为同时要求两项或几项设计指标达到最优值的问题统称为多目标优化设计问题。多目标优化设计问题。一一. . 概念：概念： 。个个评评价价指指标标达达到到最最优优值值表表示示希希望望或或写写为为：其其中中：qxfxfxfxfxfxfxFqTq, .min,21216.2 6.2 基本概念和定义基本概念和定义二二. . 最优解与选好解、劣解与非劣解：最优解与选好解、劣解与非劣解：

3、0f2f1 1 3 2 4 6 5 对于对于f f1 1(x)(x)，1 1最好，其次为最好，其次为3 3，2 2，4 4，5 5，6 6； 对于对于f f2 2(x)(x)，2 2最好，其次为最好，其次为3 3，1 1，5 5，4 4，6 6。 综合考虑，综合考虑，1 1，2 2，3 3为为非劣解非劣解，4 4，5 5，6 6为为劣解劣解。一一. . 多目标最优决策、多属性选择决策问题：多目标最优决策、多属性选择决策问题：多目标问题是在无限个方案下按最优规则确定最优方案的，称为多目多目标最优决策标最优决策；那么还有另一类多目标问题，即在有限个方案下按照它们的属性性能指标以满意规则选择一个方案

4、或按某个准则排列出完全的次序，则这类多目标问题称为多属性选择决多属性选择决策问题策问题。6.2 6.2 基本概念和定义基本概念和定义非劣解非劣解 x x* * 的定义的定义： 多目标优化中，多目标优化中，x x* *是其中一个解，对是其中一个解，对于于 xD xD ，若下式成立，为，若下式成立，为 x x* * 非劣解。非劣解。多目标优化的多目标优化的 K-T K-T 非劣解：非劣解： x x* *D D ，若不存在搜索方向，若不存在搜索方向S S，能同时满，能同时满足：足： muxgtsqjxfxfujj, 2 , 10*. ., 2 , 1min*例：图中的例：图中的 T T、P P点。点

5、。0*0*SxgSxfTT则则 x x* *为为K-TK-T非劣解。例，图中的非劣解。例，图中的 Q Q、S S点。点。 nqnqqqnxfxfxfxfxfxfxf2112111 nrnrrrnxgxgxgxgxgxgxg2112111其中：其中：6.26.2基本概念和定义基本概念和定义劣解劣解： 除去非劣解的其它解，即为劣解。除去非劣解的其它解，即为劣解。选好解选好解：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。：非劣解中，满足工程实用目的的最好解。最优解最优解：使各个分目标函数同时达到最优值的解。：使各个分目标函数同时达到最优值的解。例如例如有一个有一个2 2维维(x xR2)的两个目标函数的两个

6、目标函数f1(x)和和f2(x)求极小求极小化的约束问题。化的约束问题。（a）设计空间（b）目标函数6.26.2基本概念和定义基本概念和定义2RDx如图所示，设计空间内的可行点映射到目标空间内可得到可行解的解集。很明显，在这种情况下，一些目标函数值比较小的最优解集中在Q1Q2曲线段上，这些解称它为非劣解非劣解或有效解有效解；而把目标空间可行解集内的其他解称为劣解劣解，因为它们的目标函数值都比非劣解要差。多目标函数问题的优化设计过程多目标函数问题的优化设计过程： 1、先求非劣解； 2、从非劣解中选出选好解选好解。常用的求选好解的方法常用的求选好解的方法： 1、协调曲线法： 2、统一目标函数法：目

7、标规划法、线性加权因子法 3、功效系数法： 另外，还有分层序列法、词典编辑法、边界目标函数法等2Ry6.26.2基本概念和定义基本概念和定义2Ry例：求1维2个目标函数问题的非劣解的解集。数学模型如下： 解：解：对此问题很容易求出2个目标函数在D域中的各自的最优解x1*1，f1(x1*)=1和x2*=3，f2(x2*)1,如下图(a)所示。显然，此问题不存在共同的最优解，但可求出它们的非劣解的解集，由图可见，两个目标函数曲线有一交点x,f1(x)=f2(x)= 2，2，于是我们发现，在x1*Q1点左边任选一点A(0Ax1*)，其两个目标函数值都比x1*点的差；同样，在x2*Q2右边任选一点B(

8、x2*B4)，其目标函数值也比x2*点的差。然而对于x1*，x2*之间的各点，两个目标函数值之间又无法比较其优劣，且也找不到它们共同的最优点，因此我们认为在x1*，x2*之间的任一点都可作为非劣解，而其他的点都是劣解，映射到目标空间的非劣解和劣解的解集如下图(b)所示，即曲线Q1Q2段是非劣解的解集，其余为劣解的集合。40|s.t 106)(, 22)(min 12221xxDRxxxxfxxxfT6.26.2基本概念和定义基本概念和定义（a）设计空间（b）目标空间从某种意义上说非劣解解集(Q1Q2曲线)中的任一点都可以作为多目标问题的最终解。但通常是根据不同的要求，从中选出一个满意的解作为最

9、终的解称它为选好解选好解。例如，图 (b)中取f1(x*)=f2(x*)=2，x*=2这个非劣解。6.26.2基本概念和定义基本概念和定义对于多目标优化模型，若x*是它的一个解，且在可行解空间内，对一切x，其fj(x*) fj(x) (j=1,2, ,q)恒成立，则称x*为多目标优化问题的绝对最优解绝对最优解。在多目标问题中，是否存在这样的解，使所有的目标函数值都同时达到最优值，这种情况只有在某些特殊情况下才有可能出现，如下图：（a）一维（b）二维6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法一一. . 基本思想：基本思想： 在多目标优化设计中，当各分目标函数在多目标优化设计中，当各分目标函数的最优值出

10、现矛盾时，先求出一组非劣解，的最优值出现矛盾时，先求出一组非劣解，以其集合得出以其集合得出协调曲线协调曲线，再根据恰当的匹配，再根据恰当的匹配关系得到关系得到满意曲线满意曲线，沿着满意程度的增加的，沿着满意程度的增加的方向，各分目标值下降，直至获得选好解。方向，各分目标值下降，直至获得选好解。f f1 1(X)=4,f(X)=4,f2 2(X)=9,(X)=9,当当f f2 2=9=9时，极小化时，极小化f f1 1 得得D D点点 当当f f1 1=4=4时，极小化时，极小化f f2 2得得E E点点DEDE的延长线的延长线ABAB为协调曲线为协调曲线二二. . 协调曲线与满意曲线：协调曲线

11、与满意曲线： 协调曲线协调曲线： 双目标函数的协调曲线双目标函数的协调曲线 。时，得到的最优点集合当加权因子从021021muxgtsxWfxfxfu,.min6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法 满意曲线满意曲线：是一个指标，根据是一个指标，根据各分目标函数之间互相作出让步后，各分目标函数之间互相作出让步后，得出恰当的匹配关系。得出恰当的匹配关系。 多目标函数的协调超曲面：多目标函数的协调超曲面： 的让步。为理想的合理值，是其中*,.,.minxffxffjvqvfxfxhmuxgtsqjxfvjvvvvvuj00121021021用以上数学模型依次求得各分用以上数学模型依次求得各分目标函数

12、的变化范围。目标函数的变化范围。选好解选好解：包括：包括 x* 和和 f1(x*)，f2(x*)，fq(x*)。6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法三三. . 协调曲线的做法：协调曲线的做法：如右图所示，设有两个相互矛盾的目标函数f1(x)和f2(x)，并且由两个不等式的约束条件构成一个可行域D。两个分目标的各自约束最优解是：f1(x*1)为T点，f1(x*2)为P点。若可行域D内任取一点R（此点的f1(x)=6,f2(x)=8）当固定f1(x)=6时，极小化f2(x)得S点，当固定f2(x)=8时，极小化f1(x)，得Q点。在这种情况下，前者由于目标函数f2(x)不断得到改进，后者由于目标函

13、数f1(x)得到改进，所以无论是S点还是Q点都要比R点优。采用这种方法，便可以取得一组多目标问题K-T的非劣解。若将这些非劣解画在两个目标函数值的坐标系内，如上图，则得两个目标函数值的关系曲线T-Q-S-P。在这条曲线上，Q和S点之间任一点，其函数值都要比R点好，因为至少有一个目标函数值得到了改进，所以将T-Q-S-P曲线称为协调曲线协调曲线。6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法例例：径向动压轴承的优化设计。：径向动压轴承的优化设计。角速度径向载荷小功率损失油压足够油流量油膜温升油粘度油膜厚度长径比轴承间隙FMPaPQtsPammhDLDDcfo26. 91

14、50006859. 000127. 0125. 0min1设计要求设计要求选好解选好解0.04820.3满足0.0068597.518cm3/sec6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法协调曲线协调曲线：Q - Q - t t 曲线曲线 包括了所有满足包括了所有满足 K-T K-T 条件的非劣解。条件的非劣解。分析分析： 设计变量为：设计变量为：L/DL/D、c c、； 分目标函数为：供油量分目标函数为：供油量Q Q、温升、温升t t； 约束条件：见前页。约束条件：见前页。性能曲线性能曲线： 是t 与其它参数之间的关系曲线，可看出各项指标之间的匹配关系。选好解选好解： 从协调曲线和性能曲线中可得

15、出结论：从协调曲线和性能曲线中可得出结论： S S 点为较好方案。点为较好方案。6.3 6.3 协调曲线法协调曲线法多目标优化多目标优化：按协调曲线法进行多目标优化设汁，比较适用于两个目标函数极小化按协调曲线法进行多目标优化设汁，比较适用于两个目标函数极小化时出现相互矛盾的情形，因为这时通过画出协调曲线便可以比较透彻地分时出现相互矛盾的情形，因为这时通过画出协调曲线便可以比较透彻地分析各目标与设计方案的依存关系，从而可以发现设计的改进方向，作出比析各目标与设计方案的依存关系，从而可以发现设计的改进方向，作出比较满意的设计。对于两个以上分目标函数的问题，虽然仍可以应用，但协较满意的设计。对于两个

16、以上分目标函数的问题，虽然仍可以应用，但协调曲线变为多维抽象的协调曲面，这些曲面不可能用图形表示出来，只能调曲线变为多维抽象的协调曲面，这些曲面不可能用图形表示出来，只能给出各目标函数值的变化范围，其值可按如下的数学模型依此求得，即给出各目标函数值的变化范围，其值可按如下的数学模型依此求得，即。的给定的值的给定的值目标函数目标函数式中式中) 1, 2 , 1)(, 2 , 10)(, 1, 2 , 10)()(s.t., 2 , 1)(min00qvxffmuxgjvqvfxfxhqjxfvvuvvvj6.4 6.4 统一目标函数法（评价函数法）统一目标函数法（评价函数法）一一. . 基本思想

17、：基本思想： 按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标按事先约定的某种关系，建立一个新的目标函数，将多目标问题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有问题转化为单目标问题求解。按构筑新目标函数的方法不同，有以下不同方法。以下不同方法。二二. . 目标规划法：（理想点法）目标规划法：（理想点法） 先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各先给每个分目标函数设定一个理想的最合理值，再设法使各分目标尽可能达到最合理值。分目标尽可能达到最合理值。步步。为为分分目目标标函函数数作作出出的的让让，f f为为分分目目标标函函数数的的最最优优值值其其中中，理理想想最最合合理理

18、值值j j*, 2 , 1*xfqjfxffjjjoj6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法1 1、平方加权和法（全局准则法）：、平方加权和法（全局准则法）： 以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权以各分目标函数值对各自的理想最合理值相对偏差的平方加权和趋于最小作为全局准则。和趋于最小作为全局准则。 1min.1,2,. .01,2,poqjjjojjufxfF xWjqfstgxum 其中：其中：w wj j 为加权因子，为加权因子，0 w0 wj j 1 1，取决于各分目标函数，取决于各分目标函数的数量级和重要程度。一般的数量级和重要程度。一般 P P 取取 2 2。

19、6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法2 2、标度因子法：、标度因子法： ojjjjjjojjojjjjjjojjjjqjjjojjjjujjqjjfxffxffxffxffxfddfxfwwfxfdodmuoxgtsqjdwxF075.075.01*11,2, 1.,2, 1.min11则则的的程程度度。表表示示最最终终解解达达到到理理想想解解称称为为校校正正权权。，标标函函数数的的量量级级，标标度度因因子子，调调整整各各分分目目称称为为本本征征权权。，的的重重要要程程度度映映各各分分目目标标函函数数离离差差值值加加权权因因子子，只只反反称称为为目目标标函函数数的的离离差差；其其中中：

20、6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法3 3、偏差法：、偏差法： 使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。使各目标函数值偏离所定的目标函数理想值的偏差量最小。 的下偏差。的下偏差。为各目标函数相对于为各目标函数相对于的上偏差；的上偏差；为各目标函数相对于为各目标函数相对于其中其中ojjojjjjojjjjuqjpjjfdfdoddfddxfmuxgtsqjpdd0, 2 , 10. ., 2 , 11.min2116.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法 111jqsjjjsjjjwoxfwxfwxF.min三三. . 乘除法乘除法: : 目标函数中有一些属于费用类，即目

21、标函数值越小越好，有一目标函数中有一些属于费用类，即目标函数值越小越好，有一些属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了些属于效果类，即目标函数值越大越好。总目标函数表达式中为了能统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。能统一表达，采用了乘除法、线性加权组合法等方法。 设设q q个分目标函数中有个分目标函数中有s s个属于费用类，个属于费用类，q - s q - s 个属于效果类，个属于效果类，总目标函数表达式如下：总目标函数表达式如下：四四. . 线性加权组合法：线性加权组合法： qsjjjjSjjxfwxfwxF11)()(.min6.4 6.4 统一目标函数法统一目标

22、函数法五五. . 目标函数的规格化：目标函数的规格化： 当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格当各分目标函数值在数量级上有很大差别时，可先做一次规格化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标化。以三角函数、指数、线性或二次函数等作为转换函数，使目标函数值规范在函数值规范在 0,1 0,1 之间。之间。 xfwxFxftttxfxfqjjjjjjjjjjjjj1.min2sin2：总总目目标标函函数数其其中中取取规规格格化化函函数数若若能能估估计计出出上上、下下界界，例例：j j6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法六六. . 加权因子的选择：加权因子的选择

23、：1 1、容限值法：、容限值法： 目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。目标函数是平方误差值时使用，可起平衡各目标函数数量级的作用。 20120, 2 , 1jjjjjjjjjjjfwfxfqjxf则加权因子则加权因子令容限值令容限值若不易估计，可令若不易估计，可令估计上、下界估计上、下界；，：2 2、两项加权因子：、两项加权因子：用于一般情况适用于有导数信息的情况：适用于有导数信息的情况： 2221211xfwwwwwwjjjjjjj目目标标函函数数的的数数量量级级，是是校校正正权权，用用于于调调整整分分函函数数的的重重要要程程度度；是是本本征征权权，反反应应分分目目标

24、标其其中中：6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法 适用于无导数信息的情况：适用于无导数信息的情况：qjjjjjjqjjjjqjjjjjjxfxfxfxfwxfxfwwwwww1)0()0(21)0()0(112121*1*1 例例1 1：有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，有下列两个一维的分目标函数，试用加权因子线性组合法，求此多目标函数的选好解。求此多目标函数的选好解。 10.min32.min1221xxxxfxxf约约束束区区域域：分分目目标标函函数数：D6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法解：解： 0001. .)32(1.min12212211xxts

25、RXxwxwxfwxfwxF 。，得，令其为零；即；，；根据时，时用误差容限法求：25*)(1617*41*2872432144114112212312, 111,21130, 10021222122221122211122112121xfxfxxdxdFxxxxxfxfxFfwfwffxfffxffxwjjjj6.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法 例例2 2：内内的的选选好好解解。在在和和试试求求1x0| 2)( min 1000100)(min 221xDxxfxxf解解：由于此两个目标函数的量级差别较大，所以需先将其：由于此两个目标函数的量级差别较大，所以需先将其转换为规一化目标

26、函数，然后再作线性组合求解。由题意转换为规一化目标函数，然后再作线性组合求解。由题意知在知在D上两个目标函数的上下界值分别为上两个目标函数的上下界值分别为11000，1 111001100， 21，22，采用简单的线性函数转换可得新目标函采用简单的线性函数转换可得新目标函数分别为数分别为由此所建立的统一目标函数为由此所建立的统一目标函数为)()()(2211xfxfxfxxfxxfxxfxxf1)()(121)2()(22100011001000)1000100()(12222211116.4 6.4 统一目标函数法统一目标函数法。可可得得：。，于于是是可可得得的的最最优优点点，得得内内在在。

27、然然后后，求求于于是是可可得得内内的的最最优优点点，得得在在求求的的值值，则则计计算算如如下下：先先和和方方法法确确定定加加权权因因子子若若用用1,0)( , 1)(1)(1)( , 0)(, 0)( 2121*2222*2112*22*1221*1111*1121ccxffxffxDxfxffxffxDxf函函数数关关系系。右右图图中中给给出出了了本本例例的的。最最后后可可解解得得代代入入统统一一目目标标函函数数得得：于于是是解解得得5 . 1)(,1025)(, 5 . 05 . 05 . 05 . 0)1 (5 . 05 . 0)(, 5 . 0*2*1*2221xfxfxxxxxxfc

28、6.5 6.5 功效系数法功效系数法一一. . 基本思想：基本思想： 给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数给每一个分目标函数值一个评价，以功效系数d dj j (0d(0dj j 1)1)表示。对于一个设计方案表示。对于一个设计方案 x xk k , F(x , F(xk k) )，有，有q q个分目标函数值个分目标函数值f f1 1(x(xk k), ), f f2 2(x(xk k), f), fq q(x(xk k), ), ，对应，对应q q个功效系数个功效系数 d d1 1,d,d2 2,d,dq q 。 以各功效系数的几何平均值为方案的评价函数以各功效系数的几何平均值为方案的评

29、价函数 d d ：。，求求得得最最理理想想方方案案：时时，当当*.max21xFxxdddddkqq二二. . 功效系数和功效函数：功效系数和功效函数： 1 1、功效系数、功效系数d dj j ：表示对于分目标函数值：表示对于分目标函数值 f fj j (x) (x) 的满意程度。的满意程度。 若若d dj j =1=1，表示效果最好，非常满意；，表示效果最好，非常满意； d dj j =0=0，表示效果极差，方案不可取。，表示效果极差，方案不可取。6.5 6.5 功效系数法功效系数法2 2、功效函数、功效函数 d dj j = = j j (f(fj j ) ) ：描述：描述 d dj j与与 f fj j 之间的关系。有三之间的关系。