数列通项公式的求法

1、课题：数列通项公式的求法课题：数列通项公式的求法一、已知一、已知sn的表达式或的表达式或sn 与与 an的关系式的关系式,求数列的通项公式求数列的通项公式;二、已知数列的递推关系式求数列的通项公式二、已知数列的递推关系式求数列的通项公式;三、根据数列三、根据数列 的前几项的特点，观察的前几项的特点，观察归纳归纳猜想猜想 出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明。出数列的通项公式，然后再用数学归纳法证明。一、已知一、已知sn或或sn 与与 an的关系式求数列的通项公式。的关系式求数列的通项公式。解法：这种类型一般利用解法：这种类型一般利用11(1)(2)nnnSnaSSn nS消去消去进行求解。

2、进行求解。是等差数列吗？是等差数列吗？的通项公式吗？的通项公式吗？例题：数列例题：数列nana nan21nSn的前的前项和为项和为（1）试写出数列的前）试写出数列的前5项；项；（2）数列）数列（3）你能写出数列）你能写出数列nana的前的前n项和为项和为Sn=2n2，的通项公式；的通项公式；变式一：（变式一：（2005湖北卷）数列湖北卷）数列求数列求数列答案：答案：an=4n-2变式变式2 （2007年高考山东卷）设数列年高考山东卷）设数列 满足满足: a1+3a2+ 32a3+3n-1an= ，求数列，求数列 的通项。的通项。 na3n na)(31Nnann答案：答案：变式题变式题3、（

3、、（2005北京卷）北京卷）数列数列an的前的前n项和为项和为Sn，且，且a1=1，113nnaS，n=1，2，3，求，求a2，a3，a4的值及数列的值及数列 an 的通项公式的通项公式.2111 4( )23 3nnnan答案：答案： na15,a nS1na 变式题变式题4、（、（2005山东卷）山东卷）已知数列已知数列的首项的首项前前n n项和为项和为证明数列证明数列是等比数列是等比数列，且，且)(521Nnnssnn，二、已知数列的递推关系式求数列的通项公式：二、已知数列的递推关系式求数列的通项公式： 解法：将已知递推关系式用代数运算的一些变形技巧，解法：将已知递推关系式用代数运算的一

4、些变形技巧，整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法或整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、换元法或转化为等差、等比数列转化为等差、等比数列 求解求解)(1nfaann类型类型1 。， na211annaann211na满足满足，求，求例例:已知数列已知数列 解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为)(1nfaann用利累加法用利累加法求解。求解。)(123Nnnan答案：答案：nnanfa)(1类型类型2 321annanna11。 nana满足满足，求，求例例:已知数列已知数列)(1nfaann 解法：把原递推公式转化为解法：把原递推公式转化为，利用累乘法，利用累乘法求

5、解。求解。)(32Nnnan答案：答案：解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1taptannpqt1其中其中，再利用换元法转化为等比数列求解。，再利用换元法转化为等比数列求解。)0) 1(ppqqpaann1类型类型3 （其中（其中p，q均为常数，均为常数，）。）。 na*111,21().nnaaanN na例题：（例题：（2006年福建卷）已知数列年福建卷）已知数列满足满足求数列求数列的通项公式的通项公式)( 12Nnann答案：答案：nnnqpaa1)0) 1)(1(qppq1nnnaparq类型类型4 （其中（其中p，q均为常数，均为常数

6、，）。）。 （或（或其中其中p，q, r均为常数）均为常数） 。），得：），得：1nqqqaqpqannnn111 nbnnnqab qbqpbnn11，得：，得：引入辅助数列引入辅助数列（其中（其中再用待定系数法解决。再用待定系数法解决。解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以651a11)21(31nnnaa nana例例:已知数列已知数列中，中，,，求，求。 nan14122333nnnSa1ana变式变式:（2006，全国，全国I,理理22,22,本小题满分本小题满分1212分）设数列分）设数列的前的前项的和项的和 n=1,2,3,n=1,2,3,，求首项求首项与通项与通项.nnnnnba)31(2)21(32答案：答案：nnna24 答案：答案：（其中（其中p，q均为常数）。均为常数）。nnnqapaa12类型类型5 递推公式为递推公式为)(112nnnnsaatsaaqstpts其中其中s，t满足满足解法解法(待定系数法待定系数法)：先把原递推公式转化为：先把原递