自动控制原理_浙大15第五章

1、自动控制原理热工与动力系统研究所热工与动力系统研究所张政江 Tel: （短号：677687）自动控制原理热工与动力系统研究所自动控制原理热工与动力系统研究所直接用微分方程研究控制系统可以准确解出系统的运动函数。期望的工程研究方法：计算量不应当太大，而且计算量不因微分方程的阶次的升高而增加太多；应当容易分析系统的各个部分对总体动态性能的影响，容易区分出主要因素；能用作图法直观表示出系统性能的主要特征。 根轨迹法和频域分析法正是满足这些要求的研究方法自动控制原理热工与动力系统研究所5.1 根轨迹方程5.1.1 研究根轨迹的目的研究根轨迹的目的设控制系统的结构图为：设控制系统的结构图为：开环传递函数

2、为开环传递函数为 W(s)=G(s)H(s)闭环传递函数为闭环传递函数为 (s)=G(s)/(1+G(s)H(s)闭环特征方程为闭环特征方程为 1+G(s)H(s)=0 自动控制原理热工与动力系统研究所njimiisTsK11*)1()1(njjmiipszsK11)()( 闭环系统的稳定性取决于闭环极点； 闭环系统的动态性能取决于闭环极点与零点； 稳态精度取决于比例系数； 闭环传递函数的极点计算比较困难。 因此，工程上重视间接研究的方法，即在给定开环传递函数的极点、零点和开环增益后，无须求出闭环传递函数的极点，便能分析闭环系统的性质。自动控制原理热工与动力系统研究所5.1.2 根轨迹概念根轨

3、迹概念根轨迹：指当开环增益根轨迹：指当开环增益K*从零变到无穷时，闭环特从零变到无穷时，闭环特征根（即闭环极点）在征根（即闭环极点）在s平面上的变化轨迹。平面上的变化轨迹。例例5.1：已知某单位反馈控制系统的开环传递函数为：已知某单位反馈控制系统的开环传递函数为W(s)=K/(s+1)(s+2),试画出该系统的根轨迹。试画出该系统的根轨迹。解：解： 系统的特征方程为系统的特征方程为 s2+3s+2+K=0， 特征根为特征根为 当根轨迹增益当根轨迹增益K：从：从0时，根时，根s1、s2的轨迹便的轨迹便是根轨迹。是根轨迹。24132,1Ks自动控制原理热工与动力系统研究所K=0,K=1/4， s1

4、=-1.5，s2=-1.5；0K1/4，s1、s2均为实数， -1.5s1-1，-2s21/4， s1、s2为复共轭；s1的虚部为正，s2的虚部为负；实部相同，为-1.5。22413; 1241321KsKs自动控制原理热工与动力系统研究所5.1.2 根轨迹方程根轨迹方程1 根轨迹根轨迹开环传递函数写为零、极点形式有开环传递函数写为零、极点形式有 N(s)、D(s)分别为分别为s的的m、n次多项式，次多项式， nm；K为根轨迹增益。（为根轨迹增益。（K*为开环增益）为开环增益）由闭环特征方程由闭环特征方程 1+W(s)=0得得 njjmiipszsKsW11)()()(自动控制原理热工与动力系

5、统研究所)()(sDsKN 根轨迹方程 , k=0,1,2, 幅值条件： 辐角条件： （ k=0,1,2, ）1)()(11njjmiipszsK)12(1111)()(kjnjjmiiepszsK1|)(|)(|11njjmiipszsKminjjikpsArgzsArg11) 12()()(自动控制原理热工与动力系统研究所2 讨论根轨迹上所有点都应满足幅值条件和辐角条件。反之，所有满足幅值、辐角条件的点s都属于根轨迹。辐角条件与系数K无关，因此s平面上所有满足辐角条件的点都属于根轨迹，即辐角条件是确定s平面根轨迹的充分必要条件。只需要使用辐角条件就可绘制根轨迹。根轨迹上各点所对应的系数K的

6、值可由幅值条件确定。自动控制原理热工与动力系统研究所例5.2 开环传递函数为G0(s)=K/s(s+1)，画出根轨迹解：开环极点为0和-1，没有开环零点。用“”表示开环极点。 1 利用角条件确定根轨迹角条件为 Args-Arg(s+1)=(2k+1),k=0, 1, 。在正实轴上任取一点s1, args1=0,arg(s1+1)=0，不满足角条件。 正实轴不属于根轨迹。ImRes1-10自动控制原理热工与动力系统研究所 在实轴原点与-1点之间任取一点s2， args2=,arg(s2+1)=0，满足角条件。 实轴上原点与-1点之间的线段属于根轨迹。 s2自动控制原理热工与动力系统研究所 在-1

7、点左边实轴上任取一点s3， args3=，arg(s3+1)=，不满足角条件。 -1点以左的实轴不属于根轨迹。s3自动控制原理热工与动力系统研究所 在实轴外任取一点s4， args4=1,arg(s4+1)=2。 若s4位于根轨迹，应1+2=即2=3。 因此，根轨迹上的点s4一定在垂直于实轴并与实轴交于原点至-1点线段的中点的直线上。该直线外任何点都不会满足角条件。 所以，s平面中原点至-1点线段的垂直平分线属于根轨迹。s4123自动控制原理热工与动力系统研究所 2 利用幅值条件确定系数K的值 |G0(s)|=K/|s| |s+1|， K=|s| |s+1|。 如根轨迹上点(-0.5+j0)所

8、对应的K值为 K=|-0.5| |0.5|=0.25； 点(-0.5 j0.5)所对应的K=|-0.5j0.5| |0.5 j0.5| =0.5。自动控制原理热工与动力系统研究所5.2 绘制根轨迹的基本法则绘制根轨迹的基本法则法则法则1 根轨迹的分支数，起点和终点根轨迹的分支数，起点和终点 开环传递函数开环传递函数W(s)=KN(s)/D(s) 闭环特征方程闭环特征方程 1+W(s)=0，即，即KN(s)+D(s)=0 N(s)、D(s)分别为分别为s的的m、n次多项式，次多项式，nm，特，特征方程为征方程为n次；次； 当当K取任何数值时，总有取任何数值时，总有n个根。个根。根轨迹共有根轨迹共

9、有n条分支；条分支； 自动控制原理热工与动力系统研究所根轨迹的起点是指当根轨迹增益K0时，根轨迹的位置。闭环特征方程 1+W(s)=0，即KN(s)+D(s)=0 就是D(s)=0的根， 也就是 (s-p1)(s-p2)(s-pn)=0的根， 即p1,p2,pn。根轨迹的起点就是开环极点自动控制原理热工与动力系统研究所根轨迹的终点是指当根轨迹增益K时根轨迹的位置。 由闭环特征方程得 N(s)+D(s)/K=0, (s-z1)(s-zm)+(s-p1)(s-pn)/K=0。 当K, (s-z1)(s-zm)=0 将蜕化为m次方程，nm，丢失方程的根 将(s-z1)(s-zm)+(s-p1)(s-

10、pn)/K=0 作置换 s=1/q，自动控制原理热工与动力系统研究所得 （1/q-z1)(1/q-zm)+(1/q-p1)(1/q-pn)/K=0,两边同乘以qn得 qn-m(1-z1q)(1-zmq)+(1-p1q)(1-pnq)/K=0当K，为 qn-m(1-z1q)(1-zmq)=0, 仍是n次方程，有n个根： q=0(n-m重),1/z1,1/zm。因此，特征方程当K时的n个根是 s=(n-m重),z1,zm。总数为n条的根轨迹中，有m条的终点是开环零点，其余n-m条的终点在无穷远点。自动控制原理热工与动力系统研究所法则法则2 根轨迹的对称性根轨迹的对称性 1）分析：）分析： 实际系统

11、的开环零极点以及闭环零极点总是实数实际系统的开环零极点以及闭环零极点总是实数或共轭复数对，它们在或共轭复数对，它们在s平面上的分布是关于实平面上的分布是关于实轴对称的。轴对称的。2）结论：根轨迹是关于实轴对称的。）结论：根轨迹是关于实轴对称的。 只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以，利用对只需绘制实轴上半平面的根轨迹就可以，利用对称关系画出下半平面。称关系画出下半平面。自动控制原理热工与动力系统研究所法则法则3 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹1）分析：）分析：由任何一对共轭复极点（或零点）由任何一对共轭复极点（或零点）p3、p4至点至点s1的的矢量角之和为矢量角之和为2，即，即s1是否满足辐角条件

12、不受这是否满足辐角条件不受这些共轭复极点、零点的影响；些共轭复极点、零点的影响；s1点左侧的零点和极点至点左侧的零点和极点至s1点矢量角都是点矢量角都是0；s1点右侧的零点和极点至点右侧的零点和极点至s1点矢量角都是点矢量角都是。p3p4ImRe0p1p2z1s134自动控制原理热工与动力系统研究所2）结论：若试探点s1右侧实零点与实极点数目之和是奇数（之差当然也是奇数），则s1点所在的那一段实轴属于根轨迹。 相反，若数目之和为偶数，则点s1所在的那一段实轴不属于根轨迹。自动控制原理热工与动力系统研究所法则法则4 根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线分析分析 系统的开环零点数系统的开环零点数m小于开环

13、极点数小于开环极点数n，当，当K时，时，将有将有n-m条根轨迹趋向条根轨迹趋向s平面上的无穷远点。平面上的无穷远点。 在在s平面的远方，即平面的远方，即s处，可认为从所有开环零处，可认为从所有开环零极点引向点极点引向点s的矢量的角度都相等，设为的矢量的角度都相等，设为a，由辐角条件得由辐角条件得 ma-na=(2k+1)2)结论结论n-m条根轨迹与实轴交角为条根轨迹与实轴交角为 a=(2k+1)/(n-m) k=0,1,n-m-1。自动控制原理热工与动力系统研究所 n-m条根轨迹与实轴交点为 即mnzpnjmiija11极点数零点数零点坐标极点坐标渐近线与实轴交点坐标自动控制原理热工与动力系统

14、研究所例例5.3 已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为已知单位负反馈控制系统的开环传递函数为 试确定绘制根轨迹的相关数据。试确定绘制根轨迹的相关数据。解解 开环极点有开环极点有3个（个（n=3)，p1=0,p2=-1,p3=-2; 没有零点没有零点(m=0)。 分支数、起点、终点分支数、起点、终点 由法则由法则1知，根轨迹的分支数为知，根轨迹的分支数为3，起点为开环极，起点为开环极点，终点在无穷远处；点，终点在无穷远处；对称性对称性 由法则由法则2知是关于实轴对称的知是关于实轴对称的)2)(1()(sssKsW自动控制原理热工与动力系统研究所 实轴上的根轨迹 由法则3知，实轴上的根轨迹位于(

15、-,-2右侧为3个极点、-1,0右侧为1个极点； 渐近线与实轴交角 由法则4知，渐近线有3条，与实轴交角分别为1=/3,(k=0);2=,(k=1);3=5/3,(k=2); 渐近线与实轴交点 由法则4知，交点坐标 13210321mnpppa自动控制原理热工与动力系统研究所 例5.3图 根轨迹自动控制原理热工与动力系统研究所法则法则5 根轨迹的分离点或会合点根轨迹的分离点或会合点两条或两条以上的根轨迹分支在两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即平面上相遇又立即分开的点，称为根轨迹的分离点或会合点。分开的点，称为根轨迹的分离点或会合点。如果实轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，则如果实

16、轴上两相邻极点之间的线段属于根轨迹，则它们之间有分离点；它们之间有分离点；如果实轴上两相邻零点之间的线段属于根轨迹，则如果实轴上两相邻零点之间的线段属于根轨迹，则它们之间有会合点；它们之间有会合点；自动控制原理热工与动力系统研究所 分离点的坐标是下列方程的解 或 例5.3中，求解分离点坐标d的方程为 1/d+1/(d+1)+1/(d+2)=0,得 d1=-0.423,d2=-1.577， d2不在根轨迹上，舍去；d1在根轨迹上，是分离点 分离角 =(2k+1)/L 其中 k=0,1,L-1, L为进入分离点的根轨迹分支数。njmiijzdpd11110)(dssdW自动控制原理热工与动力系统研

17、究所法则法则6 根轨迹与虚轴的交点根轨迹与虚轴的交点 可用两种方法求解出交点上可用两种方法求解出交点上K和和：解闭环特征方程解闭环特征方程 将将s=j代入特征方程求得代入特征方程求得K和和 例例5.3 在例在例1中，将中，将s=j代入特征方程代入特征方程 s3+3s2+2s+K=0， 得得 解得解得=0,K=0;= ，K=6。 与虚轴交点为（与虚轴交点为（0，j ）。）。.03,0223K22自动控制原理热工与动力系统研究所 用劳斯判据确定 K的确定：令劳斯阵列第一列元素中包含K的项为零，确定根轨迹与虚轴交点上的K值。 的确定：利用劳斯阵列中s2行的系数构成辅助方程，可解出根轨迹与虚轴交点处的

18、值。自动控制原理热工与动力系统研究所例例5.4 5.4 对于例对于例5.15.1系统的特征方程为系统的特征方程为 s3+3s2+2s+K=0 s3+3s2+2s+K=0 劳斯阵列为劳斯阵列为 s3 1 2 s3 1 2 s2 3 K s2 3 K s1 2-K/3 s1 2-K/3 s0 K s0 K 令令 2-K/3=0 2-K/3=0，得根轨迹与虚轴交点处，得根轨迹与虚轴交点处，K=6K=6。 构成辅助方程为构成辅助方程为 3s2+K=3s2+6=0 3s2+K=3s2+6=0，得根轨，得根轨迹与虚轴交点的坐标为迹与虚轴交点的坐标为(0,j )(0,j )和和(0,-(0,-j )j )2

19、2自动控制原理热工与动力系统研究所法则法则7 根轨迹的起始角和终止角根轨迹的起始角和终止角起始角：根轨迹离开开环复极点起始角：根轨迹离开开环复极点pi的切线与正实轴的切线与正实轴的夹角的夹角pi；终止角：根轨迹进入开环复零点终止角：根轨迹进入开环复零点zi的切线与正实轴的切线与正实轴的夹角的夹角zi。自动控制原理热工与动力系统研究所 起始角计算 在根轨迹上取点s1，它与pa的距离为。设从pa指向s1的矢量角为。 自动控制原理热工与动力系统研究所由辐角条件得 各零点指向s1的方向角-其它极点指向s1的方向角-=指向正左方当0时，变成pa的起始角pa，系统所有零点和极点指向s1矢量就都变成指向pa

20、各零点指向pa的方向角-其它极点指向pa的方向角-pa=指向正左方pi= 各零点指向本极点的方向角-其它极点指向本极点的方向角+180自动控制原理热工与动力系统研究所 终止角的计算 在根轨迹上取点s1，它与za的距离为。设从za指向s1的矢量角为。 自动控制原理热工与动力系统研究所由辐角条件得 其它零点指向s1的方向角+-各极点指向s1的方向角=指向正左方当0时，变成za的终止角za，系统所有零点和极点指向s1矢量就都变成指向za其它零点指向za的方向角+za-各极点指向za的方向角=指向正左方zi=180-(其它零点指向本零点的方向角-各极点指向本零点的方向角)自动控制原理热工与动力系统研究

21、所例5.5 已知控制系统的开环传递函数为要求绘制系统的根轨迹。解 首先将开环零点-2，开环极点0,-3,-1j1标出。 1） 根轨迹分支数、起点终点 n=4,m=1,根轨迹有4条分支。起点为开环极点0，-3，-1j1。终点为开环零点-2及3个无穷远处零点。渐近线有3条。)22)(3()2()(20sssssKsGp1p2p3p4z自动控制原理热工与动力系统研究所2）实轴上的根轨迹 分布在0与-2之间以及-3左边的实轴上。 实轴上都是极点与零点之间的根轨迹，没有分离点及会合点。3）渐近线 方向角为a=(2k+1)/(n-m) k=0,1，2；a1=/3,a2=,a3=5/3. 与实轴的交点为=0

22、+(-3)+(-1+j1)+(-1-j1)-(-2)/(4-1)=-1。自动控制原理热工与动力系统研究所4）复极点p2处的出射角 计算或量出从零点指向本极点的方向角为45，从其它各极点指向本极点的方向角依次为135，90和26.6。 出射角=45-(135+90+26.6)+180=-26.6自动控制原理热工与动力系统研究所5 ）根轨迹与虚轴的交点 s=j代入特征方程 s4+5s3+8s2+6s+K(s+2)=0。 得 -53+(6+K)=0 4-82+2K=0 解此方程组得，=0,K=0;= 1.61,K=7。 表明根轨迹与虚轴的交点为j1.61，相应的增益K=7。 自动控制原理热工与动力系

23、统研究所5.3 控制系统根轨迹分析控制系统根轨迹分析5.3.1 闭环系统零、极点与系统的阶跃响应闭环系统零、极点与系统的阶跃响应1 闭环系统极点决定阶跃响应的类型闭环系统极点决定阶跃响应的类型 设单位反馈系统的闭环传递函数为设单位反馈系统的闭环传递函数为 上式中上式中 K为闭环增益，为闭环增益，zi为闭环零点，为闭环零点，pj为闭环极为闭环极点，所有闭环极点互不相同。点，所有闭环极点互不相同。 njjmiicpszsKsG11)()()(自动控制原理热工与动力系统研究所系统对单位阶跃输入的响应为 由Laplace反变换得 A0、Ak分别是C(s)在原点和闭环极点pk处的留数。 nkkknjjm

24、iicpsAsApsszsKsC1011)()()(nktpkkeAAtc10)(n.,1,2,k .)(,)(00kpskkspssCAssCA自动控制原理热工与动力系统研究所系统对单位阶跃输入的响应为 由Laplace反变换得 A0、Ak分别是C(s)在原点和闭环极点pk处的留数。 nkkknjjmiicpsAsApsszsKsC1011)()()(nktpkkeAAtc10)(n.,1,2,k .)(,)(00kpskkspssCAssCA自动控制原理热工与动力系统研究所各闭环极点处的留数 njjmiicsnjjmiicpzKpsszsKA110110)()()()(nkjjjkkmii

25、kcpsknjjmiickpppzpKpspsszsKAk1111)()()()()(自动控制原理热工与动力系统研究所可知：阶跃响应不仅取决于各分量的模态，而且与各分量的大小有关，即也与各闭环极点处的留数有关.留数都取决于全部闭环零点和极点。仅知道闭环极点，只能确定系统阶跃响应的主要特征。要求系统稳定，则系统的全部闭环极点均应在s左半平面。要求系统快速性好，闭环极点均应远离虚轴。自动控制原理热工与动力系统研究所nktpkkeAAtc10)(1）Gc(s)中一个零点zr和一个极点pk距离很近 有|pk-zr|pi-zj|, 其中i=1,2, ,n;j=1,2,m。但(i,j) (k,r). 显然

26、有 |Ak|pi|, |pk|zj| 其中i=1,2, ,n;j=1,2,m, 但ik。 则有 |pk-pi| |pk|, i=1,2, ,n,ik; |pk-zj| |pk|, j=1,2, ,m。 nkmkcnkkkmkkcpsknkmckppKpppppzpzpKpspppsszszsKAk)()()( )()()()(1111)()()(11niiimiicipppppzpzpKA自动控制原理热工与动力系统研究所在nm的情况下，有 |Ak|3，两条根轨迹进入右半平面，系统不稳定； K3，根轨迹在左半平面，系统稳定。2）当K=0.525,即K*=1.05，由教材例5.4得系统的3个闭环极

27、点是: s1=-0.33+j0.58,s2=-0.33-j0.58, s3=-2.34 可以忽略极点s3的影响，将系统近似为二阶系统，主导极点为s1和s2。22自动控制原理热工与动力系统研究所主导极点分布 由极点的分布可计算出 阻尼比 =acrcos60=0.5 无阻尼振荡频率667.0)58.0()33.0(22n自动控制原理热工与动力系统研究所系统在单位阶跃信号作用下的性能指标为：超调量调整时间 ts=4/(n)=4/(0.50.667)=12s ( 取=0.02）当开环增益K从0时：0K0.193，闭环极点均为负实数，调整时间逐渐减小；（0.193为根轨迹在实轴上的分离点的K值，将分离点

28、坐标(-0.423,0)代入闭环特征方程得到）%3.16%100%21e自动控制原理热工与动力系统研究所 0.193K3，有两条根轨迹进入右半平面，系统不稳定。单位阶跃响应为发散振荡过程。自动控制原理热工与动力系统研究所5.4 基于基于MATLAB的根轨迹绘制及分析的根轨迹绘制及分析例5.7 已知某系统开环传递函数为 极点为0，-1；无零点； n=2，m=0，根轨迹分支 2； 渐近线为2条； 渐近线倾角为(2k+1)/(n-m)=/2，3/2； 渐近线与实轴的交点 -1/2; 根轨迹在实轴上的分离点 -1/2。 )1()()(ssKsHsG自动控制原理热工与动力系统研究所解解 系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 Matlab程序为程序为 num1=1; den1=1 1 0; rlocus(num1,den1); )1()(1ssKsW自动控制原理热工与动力系统研究所根轨迹为 自动控制原理热工与动力系统研究所5.4.1 增加开环极点对根轨迹的影响 在开环传递函数W1(s)中增加一个开环实极点p，1）比较n=3,m=0,根轨迹分支 3，渐近线 3；渐近线倾角(2k+1)/