《机械原理》拉伸压缩与剪切

1、Mechanics of Materials Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸、压缩与剪切轴向拉伸、压缩与剪切Mechanics of Materials22022-5-7主要内容主要内容n拉伸压缩时的内力和应力拉伸压缩时的内力和应力n拉伸压缩时材料的力学性能拉伸压缩时材料的力学性能n拉伸压缩时的失效与强度条件拉伸压缩时的失效与强度条件n拉伸压缩的变形与应变能拉伸压缩的变形与应变能n拉伸压缩超静定问题拉伸压缩超静定问题n剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算第第2章章 轴向拉伸、压缩与剪切轴向拉伸、压缩与剪切Mechanics of Materials

2、Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-1 拉伸压缩时的内力与应力拉伸压缩时的内力与应力Mechanics of Materials42022-5-7一、工程中的轴向拉伸或压缩问题一、工程中的轴向拉伸或压缩问题2-1 拉伸压缩时的内力与应力拉伸压缩时的内力与应力Mechanics of Materials52022-5-7一、工程中的轴向拉伸或压缩问题一、工程中的轴向拉伸或压缩问题2-1 拉伸压缩时的内力与应力拉伸压缩时的内力与应力Mechanics of Materials62022-5-7杆件受拉伸或压缩的力学模型杆件受拉伸或压缩的力学

3、模型受力与变形特点受力与变形特点 作用在杆件上的外力（合力）的作作用在杆件上的外力（合力）的作用线与杆的轴线重合，杆件沿轴向伸长或缩短。用线与杆的轴线重合，杆件沿轴向伸长或缩短。FFFFMechanics of Materials72022-5-7二、轴向拉压杆横截面的内力二、轴向拉压杆横截面的内力1.1.轴力轴力截面上分布内力的合力。轴向拉压时横截面上的截面上分布内力的合力。轴向拉压时横截面上的轴力垂直于截面，必过截面的形心。轴力垂直于截面，必过截面的形心。FFmmFFNFNF轴力的正负号规定轴力的正负号规定拉伸时轴力为正，方向背离截面；压拉伸时轴力为正，方向背离截面；压缩时为负，方向指向截

4、面。轴向外力的正负号规定也是如此。缩时为负，方向指向截面。轴向外力的正负号规定也是如此。Mechanics of Materials82022-5-73FN(kN)2（）（）（+）x2 2、轴力图、轴力图表示横截面上的轴力沿截面位置变化情况的表示横截面上的轴力沿截面位置变化情况的图形。一般以杆件的轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示图形。一般以杆件的轴线为横坐标表示截面位置，纵轴表示轴力大小。轴力大小。3kN5kN2kNMechanics of Materials92022-5-7【例】求图示杆件的内力，并作轴力图。【例】求图示杆件的内力，并作轴力图。【解】（【解】（1 1）用截面法计算各段内力

5、）用截面法计算各段内力AC段：作截面段：作截面1-1，取左段取左段CB段：作截面段：作截面2-2，取左段取左段220155010 xNNFFFkN ，110505xNNFFFkN，11225kN15kN10kNACB5kNFN15kNFN215kNMechanics of Materials102022-5-7（2）绘制轴力图）绘制轴力图最大轴力值在最大轴力值在CB段段以杆的轴线为横坐标，以杆的轴线为横坐标，表示截面位置，纵轴表表示截面位置，纵轴表示轴力大小。示轴力大小。-+510FN（kN）xmax10NFkN最大轴力所在截面称为最大轴力所在截面称为危险截面危险截面。在集中力作用处的两侧，。

6、在集中力作用处的两侧，轴力值有突变，这样的截面称为轴力值有突变，这样的截面称为控制面控制面。5kN15kN10kNACBMechanics of Materials112022-5-7结论结论轴力等于截面一侧外力的代数和。外力背离截面轴力等于截面一侧外力的代数和。外力背离截面为正，指向截面为负。为正，指向截面为负。【求内力时注意】【求内力时注意】 求内力时，外力不能沿作用线随意求内力时，外力不能沿作用线随意移动。移动。 截面不能刚好截在外力作用点处。截面不能刚好截在外力作用点处。5kN15kN10kNACB-+510FNxMechanics of Materials122022-5-7三、轴向

7、拉（压）杆横截面上的三、轴向拉（压）杆横截面上的应力应力欲求欲求mm横截面上横截面上某一点的某一点的应力应力，在横截面上包含该点，在横截面上包含该点取微面积取微面积dA，其上的微内力，其上的微内力为为则整个横截面上的内力为则整个横截面上的内力为NdFdANNAAFdFdA图示受轴向拉伸构件，由截面图示受轴向拉伸构件，由截面法求得法求得mm横截面的内力为横截面的内力为FmmFFFNNFFdAA应力的函数形式？应力的函数形式？Mechanics of Materials132022-5-7 杆件拉伸实验杆件拉伸实验 平面假设平面假设【实验结果】所有纵线伸长相等，横线仍为直线并保持与纵【实验结果】所

8、有纵线伸长相等，横线仍为直线并保持与纵线垂直；矩形格被拉长，但直角保持不变。线垂直；矩形格被拉长，但直角保持不变。由此可以假定：由此可以假定：横截面变形前后均为平面横截面变形前后均为平面平面假设平面假设Mechanics of Materials142022-5-7 根据平面假设，杆件变形后任意两个横截面之间根据平面假设，杆件变形后任意两个横截面之间所有所有纵向线段的伸长相等。纵向线段的伸长相等。 由材料的均匀连续性假设，可以由材料的均匀连续性假设，可以推断推断出内力在横截面出内力在横截面上均匀分布，且其方向垂直于横截面，因此上均匀分布，且其方向垂直于横截面，因此横截面上只有横截面上只有正应力

9、，而且均匀分布。正应力，而且均匀分布。 应力分布规律应力分布规律acbdFFMechanics of Materials152022-5-7由于应力均匀分布，由于应力均匀分布，即即const，因此，因此的方向与轴力的方向与轴力FN相同，拉应力为正相同，拉应力为正(背背离截面），压应力为负（指向截面）。离截面），压应力为负（指向截面）。单位：帕斯卡单位：帕斯卡Pa。NFANAFdAFmmFFFNNAFdAANFFMechanics of Materials162022-5-7对于图示的小锥度连续变截面杆，平对于图示的小锥度连续变截面杆，平面假设和横截面应力均匀分布仍然成面假设和横截面应力均匀分布

10、仍然成立，其任意立，其任意x横截面的应力为横截面的应力为( )( )( )NdFxx dA x( )( )( )( ) ( )NAFxx dA xx A xFxlA(x)Mechanics of Materials172022-5-7圣维南原理圣维南原理(Saint-Venants principle)杆端截面在外力作用点附近的应力一般是杆端截面在外力作用点附近的应力一般是非均匀分布的，但是外力的作用方式只影响局非均匀分布的，但是外力的作用方式只影响局部范围的应力分布，离开作用点一定距离（轴部范围的应力分布，离开作用点一定距离（轴向范围约为离杆端向范围约为离杆端12个杆的横向尺寸）后，应个杆的

11、横向尺寸）后，应力的分布就趋于均匀化。力的分布就趋于均匀化。 圣维南圣维南Adhmar Jean Claude Barr de Saint-Venant (17971886) 法国力学家。法国力学家。 圣维南原理表明：局部荷载作用仅仅影响一个比较小的范围，圣维南原理表明：局部荷载作用仅仅影响一个比较小的范围，在较远的部位可以忽略这些不均匀的局部影响。该原理已为大在较远的部位可以忽略这些不均匀的局部影响。该原理已为大量实验与计算所证实。材料力学和弹性力学的很多重要结论都量实验与计算所证实。材料力学和弹性力学的很多重要结论都是建立在该原理的基础之上。是建立在该原理的基础之上。Mechanics o

12、f Materials182022-5-7设直杆的轴向拉力为设直杆的轴向拉力为F，横截面，横截面积为积为A，斜截面，斜截面k-k上的内力为上的内力为斜截面上各点沿斜截面上各点沿x方向伸长，变方向伸长，变形仍是均匀分布，因此斜截面上形仍是均匀分布，因此斜截面上的应力仍然是均匀分布。的应力仍然是均匀分布。四、四、 轴向拉（压）时斜截面上的应力轴向拉（压）时斜截面上的应力斜截面斜截面k-k上的应力上的应力FpAcoscoscoscosFFAAFFkkFFFkkFxpkkpxFMechanics of Materials192022-5-7cosp将斜截面上的全应力分解为将斜截面上的全应力分解为切向和

13、法向应力，则切向和法向应力，则2cossin22结论：结论：（1）轴向拉压杆，其最大正应力在横截面上；轴向拉压杆，其最大正应力在横截面上；（2）最大切应力在由轴线正向顺时针转）最大切应力在由轴线正向顺时针转45 斜截面上。斜截面上。kkFFFkkFxkkpxFMechanics of Materials Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-2 拉伸压缩时材料的力学性能拉伸压缩时材料的力学性能Mechanics of Materials212022-5-7n材料的力学性能，也称机械性能。是材料在受力过程中材料的力学性能，也称机械性能。是材

14、料在受力过程中所表现出来的与试件几何尺寸无关的材料本身的特性，所表现出来的与试件几何尺寸无关的材料本身的特性，如变形，破坏等特性。如变形，破坏等特性。n研究材料的力学性能的目的是确定材料在变形和破坏情研究材料的力学性能的目的是确定材料在变形和破坏情况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算构件况下的一些重要性能指标，以作为选用材料，计算构件强度、刚度的依据。强度、刚度的依据。n本节介绍常温静载试验条件下金属材料的主要力学性能本节介绍常温静载试验条件下金属材料的主要力学性能2-2 拉伸压缩时材料的力学性能拉伸压缩时材料的力学性能Mechanics of Materials222022-5-7实

15、验设备：万能材料试验机实验设备：万能材料试验机 Mechanics of Materials232022-5-7拉伸试件拉伸试件标距标距l与试验段直径与试验段直径d之比，即长径之比，即长径比为比为510 Mechanics of Materials242022-5-7一、低碳钢拉伸时的力学性能一、低碳钢拉伸时的力学性能Mechanics of Materials252022-5-71. 弹性阶段弹性阶段特点：卸去外力后材料的变形完全消失。应力特点：卸去外力后材料的变形完全消失。应力与应变与应变成正成正比，满足胡克比，满足胡克(Hooke)定律，即定律，即E。E为材料的弹性模量。为材料的弹性模量

16、。a点的应力为比例极限点的应力为比例极限pMechanics of Materials262022-5-72. 屈服阶段屈服阶段特点：应力不变，应变不断增加，材料暂时失去抵抗变形的特点：应力不变，应变不断增加，材料暂时失去抵抗变形的能力，产生明显的塑性变形。取比较稳定的下屈服点对应的能力，产生明显的塑性变形。取比较稳定的下屈服点对应的应力作为屈服极限应力作为屈服极限s ，是衡量材料强度的重要指标。，是衡量材料强度的重要指标。 Mechanics of Materials272022-5-73. 强化阶段强化阶段特点：从特点：从c点开始材料又恢复抵抗变形的能力，变形增大则必点开始材料又恢复抵抗变

17、形的能力，变形增大则必须应力增大，材料产生很大的塑性变形，最高点须应力增大，材料产生很大的塑性变形，最高点e对应的应力对应的应力称为强度极限称为强度极限b 。Mechanics of Materials282022-5-74. 局部变形阶段局部变形阶段特点：过特点：过e点后，试样的变形范围缩小，横截面局部收缩，点后，试样的变形范围缩小，横截面局部收缩，形成颈缩现象，进而试件内部出现裂纹，直到形成颈缩现象，进而试件内部出现裂纹，直到f点被拉断。点被拉断。由于颈缩部分面积减小，使得试样继续伸长所需的拉力也由于颈缩部分面积减小，使得试样继续伸长所需的拉力也相应减少。相应减少。Mechanics of

18、 Materials292022-5-7反映金属材料强度的两个重要指标：反映金属材料强度的两个重要指标：s 和和b 反映材料塑性变形程度的两个指标反映材料塑性变形程度的两个指标1100%lll延伸率1100%AAA断面收缩率工程上通常将工程上通常将5%的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、的材料称为塑性材料，如碳钢、黄铜、铝合金等；将铝合金等；将1）的比值，即）的比值，即工程上要求：工程上要求：塑性材料的应力0.2()s脆性材料的应力bMechanics of Materials402022-5-73. 强度条件强度条件构件的最大工作应力不允许超过其构件的最大工作应力不允许超过其许用应力即为构件的

19、强度条件。对于许用应力即为构件的强度条件。对于等截面等截面轴向拉轴向拉伸压缩杆件，其强度条件表示为伸压缩杆件，其强度条件表示为最大轴力所在的截面称为最大轴力所在的截面称为危险截面危险截面。利用强度条。利用强度条件可以解决三个方面的工程问题件可以解决三个方面的工程问题强度校核，强度校核，截面选择，许可载荷确定。截面选择，许可载荷确定。Mechanics of Materials412022-5-7x【例】【例】 某金属矿井提升系统如图。设罐笼及装载的矿石共重某金属矿井提升系统如图。设罐笼及装载的矿石共重Q=45kN，钢丝绳自重为，钢丝绳自重为p=23.8N/m；横截面面积；横截面面积A=2.51

20、cm2，抗拉强度抗拉强度b=1600MPa。设安全系数。设安全系数n=7.5，试校核钢丝绳的，试校核钢丝绳的强度。强度。【解【解】以重物和长为】以重物和长为x的钢丝绳为对象的钢丝绳为对象3max(20018)45 1050.19kNNFp由平衡方程，有由平衡方程，有maxmax200MPaNFA 213.33MPabn 故钢丝绳强度足够。故钢丝绳强度足够。FNQP3( )45 10NFxPQpxMechanics of Materials422022-5-7【例】某种材料的试样，直径【例】某种材料的试样，直径d=10mm，标距，标距L0=100mm，由，由拉伸试验测得其拉伸曲线如图所示，其中拉

21、伸试验测得其拉伸曲线如图所示，其中d为断裂点。试求为断裂点。试求1、此材料的延伸率约为多少？此材料的延伸率约为多少？2、由此材料制成的构件，承受拉、由此材料制成的构件，承受拉力力P=40KN，若取安全系数，若取安全系数n=1.2，求构件所需的横截面面积。，求构件所需的横截面面积。【解】（【解】（1）d点为断裂点所对点为断裂点所对应的变形即为应的变形即为l因此材料的延伸率为因此材料的延伸率为100100%lll28.75100%28.75%1000510 15 20 25 303515255P（kN）l（mm）abcdMechanics of Materials432022-5-7 212.3s

22、sMPan（2）根据拉伸曲线可知，该材料属于塑性材料，其极限应）根据拉伸曲线可知，该材料属于塑性材料，其极限应力为力为32620 1010104254.8ssPAMPa由 PA得 32640 10188212.3 10PAmm0510 15 20 25 303515255P（kN）l（mm）abcdMechanics of Materials442022-5-7【例】已知杆系结构中杆【例】已知杆系结构中杆AB、AC材料相同，材料相同，160MPa，横截面积分别为横截面积分别为A1706.9mm2，A2314 mm2，求该结构的，求该结构的许可载荷许可载荷FP。 FPCBA4530【解】（【解】

23、（1 1）计算各杆的实际轴力）计算各杆的实际轴力对节点对节点A列平衡方程列平衡方程21120sin45sin3000cos30cos450 xNNyNNPFFFFFFF，xyAFN1FPFN2解得各杆轴力与载荷解得各杆轴力与载荷P 的关系的关系120.7320.518NPNPFFFF，Mechanics of Materials452022-5-7（2）根据两杆各自的强度条件计算各杆的许用拉力）根据两杆各自的强度条件计算各杆的许用拉力 11NFA1113.1154.50.732PFkN 22NFA250.397.10.518PFkN比较，取小值。许可载荷为比较，取小值。许可载荷为97.1PFk

24、N结构的许可载荷是保证结构中各杆安全的最大载荷，求解结构的许可载荷是保证结构中各杆安全的最大载荷，求解原则是：各杆受力（轴力）分配必须满足静力平衡关系；原则是：各杆受力（轴力）分配必须满足静力平衡关系；各杆的应力必须满足各自的强度条件，从二者中取小值。各杆的应力必须满足各自的强度条件，从二者中取小值。Mechanics of Materials462022-5-74 应力集中应力集中构件截面尺寸有急剧变化时，横截构件截面尺寸有急剧变化时，横截面上尺寸突变处应力急剧增大的现象。面上尺寸突变处应力急剧增大的现象。Mechanics of Materials472022-5-7理论应力集中因素K塑性

25、较好的材料，应力集塑性较好的材料，应力集中对强度的削弱不太明显中对强度的削弱不太明显，但对脆性材料，应力集，但对脆性材料，应力集中的危害性严重。中的危害性严重。Mechanics of Materials Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-4 拉伸压缩时的变形与应变能拉伸压缩时的变形与应变能Mechanics of Materials492022-5-72-4 拉伸压缩时的变形与应变能拉伸压缩时的变形与应变能n变形变形轴向拉（压）杆沿轴向的伸长或缩短。轴向拉（压）杆沿轴向的伸长或缩短。n位移位移杆系结构的整体位置的移动。杆系结构的整体

26、位置的移动。n变形与位移的关系变形与位移的关系: :n位移除与变形有关外，还与约束有关位移除与变形有关外，还与约束有关; ; n总体变形是微段变形累加的结果总体变形是微段变形累加的结果; ; n有位移不一定有位移不一定处处处处有变形有变形; ; n有变形不一定处处有位移。有变形不一定处处有位移。Mechanics of Materials502022-5-71、轴向变形（等截面，等内力）、轴向变形（等截面，等内力）1lll ll平均线应变，NFlEAlFFll1bb1( )EHooke Law由胡克定律，EA：抗拉（压）刚度：抗拉（压）刚度Mechanics of Materials51202

27、2-5-71 1、轴向变形（截面连续变化）、轴向变形（截面连续变化）对于截面连续变化的杆，任对于截面连续变化的杆，任意意x点处的平均线应变为点处的平均线应变为( )()( )NFx dxdxEA x() dxdx代入胡克定律得代入胡克定律得x点处的微变形点处的微变形为为Mechanics of Materials522022-5-7对于阶梯形拉压杆，轴力沿轴线连续变化，则将对于阶梯形拉压杆，轴力沿轴线连续变化，则将面积面积A的变化面，轴力的变化面，轴力FN的突变面视为的突变面视为控制面控制面，两两控制面，两两控制面之间之间FNi，Ai均为常数。总变形为各段变形之和。均为常数。总变形为各段变形之

28、和。F1F2A BCD1 1、轴向变形（截面突变）、轴向变形（截面突变）Mechanics of Materials532022-5-72 2、横向变形、横向变形1bbb bb 平均横向应变，泊松比泊松比在线弹性范围内，横向应变与纵向应变之比的在线弹性范围内，横向应变与纵向应变之比的绝对值。弹性模量绝对值。弹性模量E 和泊松比和泊松比都是材料固有的弹性常数都是材料固有的弹性常数或FFll1bb1Mechanics of Materials542022-5-7ABCL1L2F1L2LCC问题问题两杆在两杆在C点铰接，受力点铰接，受力为为F，求节点，求节点C的位移？的位移？方法方法求出各杆的变形求

29、出各杆的变形li以以（垂）线代弧线得到节点（垂）线代弧线得到节点C变形后变形后的位置，根据几何关系求得节点的位置，根据几何关系求得节点C的位移。的位移。以线代弧法以线代弧法当已知节点变形后的位置时，由该当已知节点变形后的位置时，由该位置向杆件引垂线即得杆件的变形。位置向杆件引垂线即得杆件的变形。3.小变形下静定杆系结构的节点位移小变形下静定杆系结构的节点位移Mechanics of Materials552022-5-7【例】图示杆系结构，已知【例】图示杆系结构，已知BC杆圆截面杆圆截面d20mm，BD 杆为杆为8号槽钢，号槽钢，160MPa， E200GPa，P60kN。试校核托。试校核托架

30、的强度，并求架的强度，并求B点的位移。点的位移。【解】（【解】（1）由节点）由节点B的平衡条件的平衡条件求求BC和和BD杆的轴力杆的轴力21275sincos45NNNPFkNFFkNByxPFN1FN2BC杆的截面积为杆的截面积为2621314 104Adm查型钢表得查型钢表得BD杆的截面积杆的截面积6221024 10AmMechanics of Materials562022-5-7ByxFFN1FN2两杆的应力分别为两杆的应力分别为 11122214373.2NNFMPaAFMPaA两杆的强度均足够两杆的强度均足够BC杆受拉，杆受拉，BD杆受压，其变形杆受压，其变形分别为分别为1 11

31、112 22222.151.83NNFlBBlmmEAFlBBlmmEA （2）计算两杆的变形）计算两杆的变形Mechanics of Materials572022-5-7（3）计算节点）计算节点B的位移的位移241235B Bll 节点节点B的水平位移的水平位移13224433.9mm54B BlB B 节点节点B的垂直位移的垂直位移112.15BBlmm 223131()()4.45BBB BBBmm节点节点B的位移的位移Mechanics of Materials582022-5-7145ACAByACEABEAAClAA【例】图示支架，杆材料服从胡克定律，而杆材料的关系为，各杆横截面

32、积为 ，求 点的垂直位移。BCAF12【解】（【解】（1）节点）节点A受力如图受力如图1220,cos4500,sin450 xNNyNFFFFFF212NNFFFF（拉）（压）AyxFFN1FN2Mechanics of Materials592022-5-711NF lFllEAEA （2）解开节点）解开节点A，在轴力作用下两杆，在轴力作用下两杆自由伸缩。自由伸缩。AC杆服从胡克定律，其变杆服从胡克定律，其变形为形为BCAF12AyxFFN1FN2AB杆的杆的-是非线性关系，其变形是非线性关系，其变形应按定义计算。应按定义计算。22221112NABABFFEE AE A222122ABA

33、BF lllE AMechanics of Materials602022-5-7（3）求）求A点的垂直位移点的垂直位移21cos45ll2323AyA AA DD AADDD2214F lFlEAE ABCAF12A1DAA2A3D当杆系中杆件的数目较多时，用以线当杆系中杆件的数目较多时，用以线代弧法计算节点位移比较麻烦，此时代弧法计算节点位移比较麻烦，此时可以采用另一种方法：能量法可以采用另一种方法：能量法Mechanics of Materials612022-5-74、 变形能（应变能）变形能（应变能）V能量原理能量原理弹性体受外力作用而变形，弹性体受外力作用而变形，外力在其相应位移外

34、力在其相应位移上所作的功上所作的功转变为转变为储存于弹性体内的能量（称为应变能储存于弹性体内的能量（称为应变能V）。Mechanics of Materials622022-5-7外力的微功外力的微功()dWFdl在线弹性范围内，积分得在线弹性范围内，积分得12WF l由功能原理和胡克定律，杆件的变形能由功能原理和胡克定律，杆件的变形能外力的功外力的功()llWdWFdl2122F lVWF lEA Mechanics of Materials632022-5-7变形比能（应变能密度）变形比能（应变能密度）v：单位体积的应变能：单位体积的应变能单位：焦单位：焦/米米3（J/m3）122VF l

35、vVAl2( )2( )NllFx dxVdVEA x对于变截面杆对于变截面杆Mechanics of Materials642022-5-7【例【例】BD撑杆为无缝钢管，外径撑杆为无缝钢管，外径90mm，壁厚，壁厚2.5mm，L=3m，E=210GPa 。BC是两条横截面积为是两条横截面积为172mm2的钢索，的钢索，E1=177GPa。 P=30kN，不考虑立柱变形求，不考虑立柱变形求B点的垂直位移。点的垂直位移。【解】由【解】由BCD得得BC和和CD的长度的长度12.201.55BClmCDm，212 172344Amm222(9085 )6874Amm由由BD杆的平衡方程得钢索杆的平衡

36、方程得钢索BC的的拉力和拉力和BD杆的压力分别为杆的压力分别为N1N21.411.93FPFP，Mechanics of Materials652022-5-7当载荷当载荷P从零开始缓慢作用于杆系从零开始缓慢作用于杆系上时，力上时，力P与与B点的垂直位移点的垂直位移的关的关系是线性关系，力系是线性关系，力P所作的功为所作的功为12WP杆系的变形能等于两杆变形能的总杆系的变形能等于两杆变形能的总和，即和，即221 12121122NNF lFlVVVE AEA34.48 10 m由功能互等原理，有由功能互等原理，有22111(1.41 )1(1.93 )222P lP lPE AEAMechan

37、ics of Materials Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-5 拉伸压缩简单超静定问题拉伸压缩简单超静定问题Mechanics of Materials672022-5-7（一）超静定问题（一）超静定问题即仅凭静力学平衡方程不能解出全部即仅凭静力学平衡方程不能解出全部未知力（外约束力或杆件内力）的问题。未知力（外约束力或杆件内力）的问题。2-5 拉伸压缩简单超静定问题拉伸压缩简单超静定问题（二）超静定问题的形成（二）超静定问题的形成1. 1.附加附加“多余多余”约束约束2. 2. 由于温度变化引起结构的内由于温度变化引起结构的

38、内应力应力温度应力温度应力3. 3.装配时由于制造误差引起结构装配时由于制造误差引起结构的内应力的内应力装配应力装配应力Mechanics of Materials682022-5-7（三）超静定问题的解法（三）超静定问题的解法 变形比较法变形比较法（1 1） 解除解除“多余多余”约束，使超静定结构变为静定结构，约束，使超静定结构变为静定结构，建立建立静力平衡方程。静力平衡方程。（2 2） 在在“多余多余”约束处确定约束处确定变形协调条件变形协调条件（几何方程几何方程）（3 3） 利用胡克定律，热膨胀规律等建立利用胡克定律，热膨胀规律等建立物理方程物理方程（4 4） 联立解此三方程，求出未知力

39、（约束力或内力）。联立解此三方程，求出未知力（约束力或内力）。关键在于建立变形协调方程。变形协调条件应使静定结构关键在于建立变形协调方程。变形协调条件应使静定结构的变形与原超静定结构的变形相一致。的变形与原超静定结构的变形相一致。Mechanics of Materials692022-5-7【例】【例】 图示杆系结构，设图示杆系结构，设AB杆为刚性杆，杆为刚性杆，1杆刚度为杆刚度为E1A1，2 杆刚度为杆刚度为E2A2 ，载荷为，载荷为P，求，求1、2杆的轴力。杆的轴力。【解】（【解】（1 1）受力分析如）受力分析如右图，列静力平衡方程右图，列静力平衡方程 120cos230ANNMFFaF

40、aPa，122cos3( )NNFFPaMechanics of Materials702022-5-7212( )cosDLLb（2）变形协调方程）变形协调方程（3 3）物理方程）物理方程三式联立求解，得三式联立求解，得1,2( )NiiiiiF LLicE A1113112222223112234cos6cos4cosNNE AFPE AE AE AFPE AE A122cos3( )NNFFPaMechanics of Materials712022-5-7温度应力温度应力蒸气蒸气锅炉锅炉原动原动机机ABlABlTFRAFRB温度变化温度变化T引起的杆件变引起的杆件变形形变形协调方程为变

41、形协调方程为Tll TlTl线膨胀系数线膨胀系数B端因约束力端因约束力FRB产生的变产生的变形形RBFllEARARBFFT EA Mechanics of Materials722022-5-7【例】【例】 图示超静定杆系结构，图示超静定杆系结构，1，3杆的抗拉刚度为杆的抗拉刚度为E1A1，2杆杆的抗拉刚度为的抗拉刚度为E2A2，已知中间杆，已知中间杆2加工制作时加工制作时短了短了，试求三试求三杆在杆在D点铰接在一起后各杆的内力。点铰接在一起后各杆的内力。【解】图中【解】图中AD、CD为为1杆和杆和3杆装杆装配前的位置；配前的位置；AD1、CD1为装配后为装配后的位置，根据变形可知，的位置，

42、根据变形可知，1杆和杆和3杆杆受压，受压，2杆受拉，杆受拉，D节点受力如图。节点受力如图。（1）列静力平衡方程）列静力平衡方程131320sin00()cos0yNNxNNNFFFFFFF，FN1FN2FN3Mechanics of Materials732022-5-7（2）变形协调条件）变形协调条件1132cosLLLL ，（3）物理方程）物理方程联立解得联立解得222213222223311112cos112cos2cosNNNE AE AFFFE AE AllE AE A，12121122cosNNFlFlLLE AE A，超静定结构中内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，超静定结构

43、中内力（或约束力）的分配不仅与外载荷有关，还与杆件的刚度比有关。还与杆件的刚度比有关。Mechanics of Materials Mechanics of Materials 材料力学材料力学轴向拉伸与压缩轴向拉伸与压缩2-6 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算Mechanics of Materials752022-5-7n剪切和挤压的实用计算主要用于常用剪切和挤压的实用计算主要用于常用连接件连接件如如螺栓，销，键，铆钉等的螺栓，销，键，铆钉等的强度校核强度校核。由于剪切。由于剪切面和挤压面的应力分布复杂，工程上采用了用面和挤压面的应力分布复杂，工程上采用了用平均应力代替实际应力的计

44、算。平均应力代替实际应力的计算。n要准确区分要准确区分剪切面剪切面和和挤压面挤压面，其上的应力分别，其上的应力分别是切应力和正应力。是切应力和正应力。2-6 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算Mechanics of Materials762022-5-7一、工程中的剪切与挤压现象一、工程中的剪切与挤压现象2-6 剪切与挤压的实用计算剪切与挤压的实用计算Mechanics of Materials772022-5-7一、工程中的剪切与挤压现象一、工程中的剪切与挤压现象Mechanics of Materials782022-5-7 剪切变形剪切变形杆件受杆件受两个等值、反向、相距很近的横

45、向两个等值、反向、相距很近的横向外力作用，其变形表现为两外力之间的横截面发生相对外力作用，其变形表现为两外力之间的横截面发生相对错动。错动。二、剪切变形的力学模型二、剪切变形的力学模型Mechanics of Materials792022-5-7三、剪切的实用计算三、剪切的实用计算剪切面剪切面两个外力之间的两个外力之间的横截面，与外力平行横截面，与外力平行剪力（剪力（Fs）受剪杆件在受剪杆件在剪切面上产生的切于剪切面剪切面上产生的切于剪切面的分布内力系的合力的分布内力系的合力切应力切应力()单位面积上单位面积上切于横截面的内力切于横截面的内力FFFFSMechanics of Materia

46、ls802022-5-7剪切面的面积计算剪切面的面积计算Mechanics of Materials812022-5-7剪切强度条件剪切强度条件塑性材料塑性材料：=(0.60.8) 脆性材料脆性材料：=(0.81.0) sFA材料的许用切应力与许用拉应力的关系材料的许用切应力与许用拉应力的关系Mechanics of Materials822022-5-7四、挤压实用计算四、挤压实用计算挤压破坏挤压破坏构件相互接触的表面上因承受较大的构件相互接触的表面上因承受较大的压力发生局部塑性变形或压碎。压力发生局部塑性变形或压碎。Mechanics of Materials832022-5-7挤压力（挤压力（P）作用在接触面上的正压力作用在接触面上的正压力挤压面挤压面挤压力的作用面，与外力垂直挤压力的作用面，与外力垂直挤压应力（挤压应力（bs ）单位面积上的挤压力单位面积上的挤压力bsbsPAMechanics of Mate