绝对值三角不等式及其应用

1、 绝对值不等式绝对值不等式复习回顾：我们知道,一个实数a的绝对值的意义:(0)0(0)(0)aaaaa a ;（定义）关于绝对值还有什么性质呢关于绝对值还有什么性质呢? ?实数实数a a的的绝对值绝对值|a|a|的几何意义是：表示数轴上的几何意义是：表示数轴上坐标为坐标为a a的点的点A A到原点的距离：到原点的距离：O Oa aA Ax x|a|a|x xA AB Ba ab b|a-b|a-b|任意两个实数任意两个实数a,ba,b在数轴上的对应点分别为在数轴上的对应点分别为A A、B B，那么那么|a-b|a-b|的几何意义是：的几何意义是：根据绝对值的定义，实数根据绝对值的定义，实数a

2、a的的绝对值绝对值|a|a|有明确的几何意义：有明确的几何意义：A A、B B两点间的距离即线段两点间的距离即线段ABAB的长度。的长度。 联系绝对值的几何意义，从联系绝对值的几何意义，从“运算运算”的角度研的角度研究究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系：等之间的关系：分分ab0ab0和和ab0ab0ab0时，如下图可得时，如下图可得|a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b|O Ox xa ab ba+ba+bO Ox xa ab ba+ba+b（2 2）当）当ab0ab0,b0,b0，如下图可得：如下图可得：|a+b|a|+|b|a

3、+b|a|+|b|O Ob ba ax xa+ba+b如果如果a0a0，如下图可得：，如下图可得：|a+b|a|+|b|a+b|a|+|b|a+ba+ba ab bx xO O（3 3）如果）如果ab=0ab=0，则，则a=0a=0或或b=0b=0，易得：，易得： |a+b|=|a|+|b|a+b|=|a|+|b| 定理定理1 1 如果如果a, ba, b是实数，则是实数，则 |a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|当且仅当当且仅当ab0ab0时，等号成立。时，等号成立。探究探究 如果把定理如果把定理1 1中的实数中的实数a, ba, b分别换成向分别换成向量量a, b, a, b, 能得出

4、什么结果？你能解释它的几何能得出什么结果？你能解释它的几何意义吗？意义吗？x xa b ab a b ab 为了更好地理解定理为了更好地理解定理1 1，我们再，我们再从代数推理的角度给出证明从代数推理的角度给出证明由于定理由于定理1 1与三角形之间的这种关系，我们与三角形之间的这种关系，我们称称|a+b|a+b|a|+|b|a|+|b|这个不等式为这个不等式为绝对绝对值三角不等式。值三角不等式。证明证明: 1: 10 0. .当当ab0 0时时, , |,|()|(|)|22222222 ababababaabbaa bbabab2 20 0. . 当当ab0 0 0, , | |x x- -

5、a a| | , , | |y y- -b b| | , , 求求 | |2 2x x+ +3 3y y- -2 2a a- -3 3b b| | 5 5证证: :证明： |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|2 +3=5.所以所以 |2x+3y-2a-3b|5|2x+3y-2a-3b|5. .例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个地点施工，这两个地点分别位于公路路碑的第10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施工队的共同临时生活区，每个施工队每天在生活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工队每天往返的路程之和最小，生活区应该建于何处？ 分析：分析：假设生活区建在公路路碑的第假设生活区建在公路路碑的第xkm处，两处，两个施工队每天往返的路程之和为个施工队每天往返的路程之和为S(x)km，则有，则有 S(x)=2(|