答案拓扑学基础a

1、东北大学秦皇岛分校课程名称： 拓扑学基础（答案）试卷：A考试形式：闭卷授课专业：数学与应用数学 考试日期:2011年5月26 口试卷：共丄页题号*总分得分阅卷人，、填空题：（每空2分，共30 分）1. 数字10的连通分支的个数是_,数字6的连通分支的个数是的割点的个数是一数字4的割点的个数是一无穷3.汉字“王”的指数为1的点的个数为2,指数为2的点的个数为无穷,指数为3的点的个数为2,指数为4的点的个数为J4.给实数集赋予余可数拓扑，则有理数集的导集是一空,闭包是有理数 集。5.设X=aM写出5个拓扑平凡拓扑离散拓扑X,0,d_,X,O,C_, _X,0,b_二、问答题：（共30分）1.举例说

2、明任意多个闭集的并未必是闭集。（5分）答：给实数集合赋予欧氏拓扑，则每个单点集合都是闭集。设A = （ 0,1）,则显然A不是闭集，但A=Utx，是闭集的并 注：例子不唯一，正确即可5 分）2. 叙述第二可数空间的定义并给出一个不是第二可数空间的例了 答：若拓扑空间具有一个可数拓扑基，则称它为第二可数空间。 （ 2 分）给实数集合赋予离散拓扑，则每个单点集都是开集，且毎个单点都不是异于自 身 的非空集合的并，从而每个单点集都应在基屮，即不存在可数的拓扑基，这说明 不是 第二可数空间。（5 分）注：例子不唯一 , 正确即可。3. 叙述空间、 7；空间、 7；空间的定义。给出不是空间的例子，以及不

3、是 7；空间 的 7；空间的例了。 （10 分）答：设 X 是拓扑空间，若对其屮任意两点都存在其屮一点的开邻域不包含另外一点， 则称其为空间；（2 分）若对其屮任意两点都存在每一点的开邻域不包含另外一点，则称其为7；空间； （4分） 若对其中任意两点都存在各口的开邻域使得这两个开邻域不相交，则称其为7；空间；6 分） 不少于两点的平凡空间不是空间；8 分）10给实数集赋予余有限拓扑，则它是 7；空间，不是 7；空间分）注：例子不唯一，正确即可4. 简述Mobius带与平环的区别。(5分)答：(1)平环的边界是两条封闭曲线，而 Mobius带的边界是一(2)平环是双侧的，而 Mobius带是单侧

4、的。(3)平环沿屮线割开可将其分成两个平环，而沿Mobius带的屮线将其割开得到的还是一条带了。(4)平环是可定向的，而Mobius带是不可定向的。注：(1)区别不仅此四条，正确即(2)每答对一条2分，答对3条满5. 谈谈你对拓扑学的思想、理论的认识。(5分)注：无唯一标准答案二、证明题：（任选四个小题，每小题 10分，共40分） 1 叙述并证明连续映射的粘接引理。答：粘接引理设是拓扑空间X的一个有限闭覆盖，若f:XAY在每个人上的限制都连续，则/是连续映射。证明：只要验证丫的每个闭集的原像是闭集。设是丫的闭集，记办是/在4上的限制。贝U 厂（B）二 U; L （厂（8 分）由/?连续，好（B

5、）是人中的闭集，又A,是X的闭集，所 中的闭集。所以广（B）作为有限个闭集的并也是闭集。2.证明拓扑空间是7;空间当口仅当单点集是闭集证明'二”设X是7;空间，对于任意的pwX,及任意的qeXT 间，存在q的开邻域N不包含点”。所以NuX-3,这说明X-p是开集，也即 " 是闭集。分）u ” Vp, q w X , p 主 q,贝 II则可取x", y e X - A 。（4分）分）令q：/tx是连接兀与y的道路。则A在Q下的原像B在/中既开又闭从而（B分）。分）6.证明连通空间在连续映射下的像是连通的。这说明0分）U A。这与&：/tx是连接兀与y的道路矛

6、盾10分）定义：拓扑空间Z间的连续映射称为同胚映射，若它是对应且它的逆也 是连续的。证明：设X是紧空间，Y是7；空间，是一一连续映射。VAuX, 4是闭集。EbX是紧空间，而紧空间的闭了集是紧 的，从而A是紧的。因为紧空间在连续映射下的像是紧的，所以/（A）是紧的。姓名 | 乂 Y是7；空间，而7；空间的紧子集是闭的，所以/ （幻是 闭的。（9分）这说明/是闭映射。从而是同胚。明：设X是道理连通空间，4是X的既开乂闭的非空子集，设/1HX。4.证明紧空间的闭子集紧致。也丿=1,. 是 A的一族有限的子覆盖。证明：设A是紧空间X的闭集，设丿是一个指标集，Cl -VaeJ 是 A这说明A是紧的。的一明：设X是连通空间，f:XAY是连续映射个开覆盖。（2分）设是/ （X）的既开又闭的非空子集，因为A是闭集，所以X-A是开集。（4分）则厂（B）是X的既开乂闭的非空子集。从而QU（X-A ）是X的开覆盖。（6分）因为X是连通空间，所以f'B ） = X .因为X是紧空间，所以