向量数乘运算及其几何意义

1、关于向量数乘运算及其几何意义现在学习的是第一页，共23页向量的加法向量的加法( (三角形法则三角形法则) )如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .作法作法: :ABoabbaababbaO在平面中任取一点aOAO作过bABA作过baOB则现在学习的是第二页，共23页向量的加法向量的加法(平行四边形法则平行四边形法则)作法:oABC如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .abbaababO在平面中任取一点aOAO作过bOBO作过OACBOBOA平行四边形为边作、以baOC则现在学习的是第三页，共23页向量的减法向量的减法( (三角

2、形法则三角形法则) )如图如图, ,已知向量已知向量 和向量和向量 , ,作向量作向量 . .作法作法: :ABoabbaababbaO在平面中任取一点aOAO作过bOBO作过baBA则现在学习的是第四页，共23页. )()()(aaaaaaa和作出：，练习：已知非零向量aaaaOABCaaaPQMN想一想：想一想：变化？变化？和的长度与方向有什么和的长度与方向有什么相同的向量相加以后，相同的向量相加以后，BCABOAOC 由图知，由图知，aaa a3记为：记为：.a3OC 即即的方向相同，的方向相同，的方向与的方向与显然显然aa3倍，倍，的长度的的长度的的长度是的长度是3aa3. |a3a3

3、 MNQMPQPN 由由图图知知，)()()(aaa a3 记为：记为：.a3PN 即即的的方方向向相相反反，的的方方向向与与显显然然aa3 . |a3a3 现在学习的是第五页，共23页定义：，记记作作的的积积是是一一个个向向量量，与与向向量量一一般般地地，实实数数aa 下下：它它的的长长度度与与方方向向规规定定如如；|)1(aa ；的方向相同的方向相同的方向与的方向与时，时，当当aa 0)2( ；的的方方向向相相反反的的方方向向与与时时，当当aa 0 .00 a 时，时，当当问题问题1 1：你能通过上述的具体实例总结出更具一般性的向量数乘的定义吗？ 问题问题2 2：你能说明它的几何意义吗？

4、现在学习的是第六页，共23页讲授新课讲授新课 aaa实数 与向量 ，可以作积，但不可以作加减法，即 ， 是的无意义无意义注意：注意： 现在学习的是第七页，共23页讲授新课讲授新课aa2a6)2(3aaa6)2(3 实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： aa)()( 之间的联系）与（思考：aa623现在学习的是第八页，共23页讲授新课讲授新课a实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： a5aaa32)32( a2a3aaa )(的联系与思考：aaa32)32(现在学习的是第九页，共23页讲授新课讲授新课实数与向量的积的运算律：实数与向量的积的运算律： bbaba22)(2 b

5、a)( 2ba b2baba )(的联系与思考：baba22)(2aa2现在学习的是第十页，共23页定义，可得运算律：定义，可得运算律：根据实数与向量的积的根据实数与向量的积的为实数，则为实数，则、设设 )() 1 (aa)()2( )() 3(ba)(结合律结合律)(第一分配律第一分配律)(第二分配律第二分配律；a)(；aa.ba向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。现在学习的是第十一页，共23页1例计算：；a431 )()(；aba2ba32 )()()(. )()()(cb2a3cb3a23 解：a4) 3() 1 (a43)( ；a12

6、 原式原式)(2ab2a2b3a3 ；b5 原式原式)(3cb2a3cb3a2 .c2b5a 现在学习的是第十二页，共23页课本课本P90 5)32(4)23(5) 1 (abba)(21)23(41)2(31)2(bababaabba1281015ba23 bababa212121433231ba)212132()214331(ba311211现在学习的是第十三页，共23页ayxayx)()()3(课本课本P90 5ayaxayaxay2现在学习的是第十四页，共23页讲授新课讲授新课思考思考)0( aaa有有何何关关系系？与与 结结 论：论：. ,是是共共线线向向量量，那那么么如如果果baa

7、b 现在学习的是第十五页，共23页讲授新课讲授新课思考思考 结结 论：论：？那那么么共共线线向向量量，是是与与反反过过来来，如如果果abba . abba 那么那么是共线向量，是共线向量，如果如果现在学习的是第十六页，共23页讲授新课讲授新课. ,abab ，使得，使得有唯一一个实数有唯一一个实数当且仅当当且仅当共线共线与非零向量与非零向量向量向量 结结 论：论：共线向量定理共线向量定理 现在学习的是第十七页，共23页课本课本P90 4是否共线：与量、判断下列各小题中向ba4;2,2) 1 (ebea;22,)2(2121eebeeaba解：共线。与baba2解：共线。与ba现在学习的是第十八

8、页，共23页例.33是否共线与试判断，已知，如图AEACBCDEABADABCDE解：解：DEADAE BC3AB3 )(BCAB3 ，AC3 共线与AEAC.ECA.33三点的位置关系。、试判断，已知，如图变式一：BCDEABAD.A且有公共点三点共线、ECA共线与AEAC共线与AEAC现在学习的是第十九页，共23页例.是是否否共共线线与与试试判判断断，已已知知，如如图图AEACBC3DEAB3AD ABCDE解：解：DEADAE BC3AB3 )(BCAB3 ，AC3 BCDE3DEBC /变式二：求证：共线与 ECDBDEBC /共线与AEAC不在同一直线上与且DEBC现在学习的是第二十页，共23页OABCabbb已知任意两非零向量已知任意两非零向量a a、b b，试作试作 OA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3bOA=a+b, OB=a+2b, OC=a+3b。你能判断你能判断A A、B B、C C三点之间的位置关系吗？为什么？三点之间的位置关系吗？为什么？ba现在学习的是第二十一页，共23页b中，解：在平行四边形ABCD.-ba