洛阳市2019学年高三年级第一学期期末考试--数学理

1、洛阳市2019学年高三年级第一学期期末考试数学试卷（理科）本试卷分第I卷（选择题）和第H卷（非选择题）两部分。共150分。考试时间120分钟。第I卷（选择题，共60分）注意事项：1 答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上。3 考试结束，将第n卷和答题卡一并交回。、选择题：本大题共12个小题，每小题5分。满分60分.在每小题给出的四个选项中.只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U=(0,+),A=x|0<x<n,B

2、=x|log2(x+1)>2，则An(CB)A.x|0<x<nB.x|1<x<nC.x|0<x<3D.x|1<x<32.已知复数z=x+yi亠x(x,yR),且有1i-=1+yi,iz是z的共轭复数，则丄z21211212A.-iB.+-iC.-+iD.i.55555555lnx3. 设曲线y=在点（1,0）处的切线与直线xay+1=0垂直，则a=x+111A一B.-C.2D.2224. 设m、n是两条不同的直线，a、3是两个不重合的平面，则下列命题中正确的是B.若m丄a,n丄3,贝Um±nA.若m/a,m/n,贝Un/a5.C.

3、若m丄a,m3,则a丄函数y=Asin(wx+'：)(w>0,分图象如图所示，则该函数为nnA.y=2sin(x+_)B.44Ji兀C.y=2sin(x)D.446.下列命题中的真命题的个数是(1) 命题“若x=1,则x2+x2=0”的否命题为“若x=1,则X2+x2丰0”；11(2) 若命题p:xo(s,0,(户>1,则一p:-x(0,+),()x<1；22兀(3) 设命题p:x0(m,0),2x)<3x0，命题q:-x(0,),tanx>sinx,则2(p)Aq为真命题；7.9.(4)设a,bR，那么“ab+1>a+b”是“A.为欢庆元旦，某校高

4、三年级一班、二班于班同时举办元旦文艺晚会，这两班和同学们一起联欢，不同的安排方法有A.50种B.70种C.35种D.55种如果执行右面的框图，那么输出的数等于A.15.5C.55.5如右图，ABC中,22a+b<1”的必要不充分条件.2个月30日在本现有6名任课教师全部分配到且每班最多安排4名教师，则C.12n=n+lIS=S+2n-l+21B.30.5D.98.5TIIAB|=3,|AC|=1,TTTD是BC边中垂线上任意一点，则AD(ABAC)的值是c10.若2cosasina=.5，贝Utana1A.-211.已知函数f(x)是定义在R上的以4为周期的函数,1x(1,3时，f(x)

5、=*x2,x(-“其中t(1|x2),x(1,3围为t>0.若函数y=f(x)x1丄的零点个数是5,则t的取值范5D.(1,+s)A.(2,1)212.设F1,F2分别为双曲线22=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线右支上任ab点。若1PF的最小值为8a,则该双曲线的离心率的取值范围是IPFIA(1,.3B.(1,3)C.(1,3二、填空题：本大题共4个小题每小题5分。共20分.2213. 由直线y：x+1上的一点向圆(X-3)+y=1引切线，则切线长的最小值为.14. 已知顶点在坐标原点的抛物线C的准线方程为y=1,在1,1上任取两个数a,b,那么点(a,b)在抛

6、物线C上方的概率为.15. 从一个棱长为1的正方体中切去一部分，得到一个几何体，其三视图如右图，则该几何体的体积为16. 在ABC中，/BAC=45°,/ACB=75°,D是/ABC平分线上的一点，且DB=DC.若BC=,6,贝HAD=.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)D.、3,3)设数列an的前n项和Sn满足：Sn=nan2n(n1).等比数列Q的前n项和为人,公比为a1，且T5=T3+20.(2)设数列1anan+1的前n项和为Mn,求证:(1) 求数列an的通项公式;18.(本小题满分12分)已知四棱锥PABCD的底面是

7、直角梯形，/ABC=/BCD=90°,E为BC中点，AE与BD交于0点,AB=BC=2CD,P0丄平面ABCD.B(1)求证：BD丄PE;(2) 若AO=2PO，求二面角DPEB的余弦值.19. (本小题满分12分)某校高三一次月考之后，为了了解数学学科的学习情况，现从中随机抽出若干名学生此次的数学成绩，按成绩分组，制成右面频率分布表：(1)若每组数据用该组区间的中点值(例如区间90，100)的中点值是95)作为代表，试估计该校高三学生本次月考的平均分；|-组号分组频数频率第一组90,100)50,05第二细100,110)35D”35第三组110>120)3D0*30第四组1

8、20,130)200.20第五组130,140)100.10合计1001.00(2)如果把表中的频率近似地看作每个学生在这次考试中取得相应成绩的概率，那么从所有学生中采用逐个抽取的方法任意抽取3名学生的成绩，并记成绩落在110,130)中的学生数为E，求: 在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110,130)中的概率; E的分布列和数学期望.(注：本小题结果可用分数表示)20. (本小题满分12分)已知椭圆E:22X-+壬=12,2ab(a>b>0)的离心率右焦点分别为F1、F2,点P(2,-.3)，点F2在线段PF1的中垂线上.(1) 求椭圆E的方程；3(2) 设11,12是

9、过点G(,0)且互相垂直的两条直线，11交E于A,B两点，12交E2于C,D两点，求11的斜率k的取值范围；(3) 在(2)的条件下，设AB,CD的中点分别为M,N，试问直线MN是否恒过定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。21. (本小题满分12分)a1设函数f(x)=X求证：对于大于1的正整数n,恒有1+-vnev1+丄成立.nn1+1.2ex(1) 若x>0时，f(x)>0恒成立，求a的取值范围；请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22. (本小题满分10分)选修41:几何证明选讲如图，在ABC中，/ABC=90°，以

10、BC为直径的圆0交AC于点D,设E为AB的中点.(1) 求证：直线DE为圆0的切线；(2) 设CE交圆0于点F,求证：CDCA=CFCE.E23. (本小题满分10分)选修45:不等式选讲设函数f(x)=|2x1|+|x+2|.(1) 解不等式f(x)>3;a的取值范围.(2) 若关于x的不等式f(x)W|2a1|的解集不是空集，试求12分洛阳市2010-2011学年高三年级第一学期期末考试数学（理科）试卷参考答案一选择题：（毎小题5分共60分）题号I23456789101112答案CBACDCABDABc二填空题：（毎小题5分，共20分）13.#14.|15.y16.岛三、解答题：（浅

11、：以下各题的其它方法请參照给分）17解：(1VT$«T,+2bst匕十b$=2b“即bs=b4,1分，:.ai=l.2分因为S0=na02n(n1)>所以n$2时,aa=SB-SB_13分一5i>ao-i4(n1)>4分即：(nl)ac(nl)a0-j=4(n1)tVn-l>h:.a4a#-）4,（n2）5分所以，数列a.是以1为首项,4为公差的等差数列，ae4n3.6分"2)anan+i(4n3)(4n-bl)4”4n34n-r1且26i-i丄)丄()亠.+(一1)15厂i59f”4n-34n+TJ1_Sn+lv寺，10分4又易知、人单调递增故1&

12、amp;解：（1）证明：证法一：aSb?5-（aB+bE）（貳+Cb）-7fSb+aBci5+bEbC-tb£=0-2Ci5|24-2|BEj2-t-0=0,aE±BI5,ae丄bd.2分以O为原点,CAOB.OP分别为x,yz軸,线段OE的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则E(l,0,0)tB(0,2,0),A(4t0,0),0(0,-3.0),设P(O,O,a),.则Ef=(l,O,a),百5=(0,5,0),4分P?邸=(1,0,a)(0,一5,0)=0,PE丄BD.G分证法二：AB=BC,BE=CD,ZABC=/BCD,八HE滋BCD,ZEAB=ZCBD,则上3

13、OE=ZEAB+ZOBA=ZCBD+ZOBA=90°,OB.lAE.2分又PO_L平面ABCD,BDU平面ABCD,PO丄BD,3分又AE与PO是平面PAE内的两条相交直线，BD丄平面PAE,5分IPEU平面ABCDBD丄PE6分(2)解法-：AO=2PO时,P(0,0,2).EP=(l,0,2),El5=(l,-3.0)7分设平面DPE的一个法向量为n?=(x1小*】)，则金Ef=0,n7EB=0,广=0,设归叭Ixi3*=0*,办(1.寺.高三数学（理）答案第2页（共7页）严-t2z20山2十2兀=08分设平面BPE的一个法向量为盂=（心宀皿）则盂El5=o总EB=o:EB=(1

14、,2,0),，设x?=2.则y2Z2=ltrh=(2>It1)>】1分因为二面角D-PE-B为钝角所以二面角D-PE-B的余弦值为一撷.12分解法二血B作BF丄PE.F为垂足连接DF.又因为BD丄PE.BD与BF是平面BDF内的两条相交直线所以PE丄平直EDF从而DF1PE,所以ZBFD是二面角DPEB的平面角.连接OF.设OE=1,则042,0D=3,OA-4,0P=2.：二面角DPEB的余弦值为一筈用12分】9解,1本次月考数学学科的平均分为5X95十35X105+30X115+20X125十10X135=114.5（2）由表知:成绩落在110,130）中的概率为专3分设A表示

15、事件“在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成统在110,130）中”,则P（A）=*X*+（1寺）X*X*="|",5分所以，在三次抽取过程中至少有两次连续抽中成绩在110,130）中的概率为寻.6分E的可能取值为0.1,2,3陀=0)=心(护=*7分P(E=)=Q(*)3=8分高三数学（理）答案第3页丫共7页）F(Z)=C?(*)J=寻，9分P(E=3)=CJ(寺=*.10分E的分布列为e0123p133丁711分女=0X*+1X寻+2X寻+3X*=号或EB(3,y),则决=号12分20. 解，由椭圆E的离心率e=得£=睜,其中c=>/庄二京，1分点F2在线

16、段PF】的中垂线上|F|F：|=|PF2|,”2分F】(一c,0),F2(c,0)(2c)2=(2-c)J4-(V3)S解19c=«l,a2=2>b25SI：l3分椭圆E的方程为壬+心14分(2) 由题意知，直线Z,的斜率存在且不为零.1:y=k(xy),A/2：y=+(x弓)伶+屮=1由<消去y并化简整理，得：y=k(x|)(l+2k2)x2-6k2x-f-|-k22=0.5分根据题盍,=(一6k2)2-4(l+2kJ(霁一2)>0,解k2<4,6分同理得(一+)2<4,匕>*,7分-|<k2<4-4kW(2,U(*,2.8分(3)

17、设A(x>tyi)>B(x2fy2)>M(xo<yo)高三数学（理）答案第4页（共7页6k2那么X】+X2=沖乔%=心_卽=一页需,a"3k23k、M(声，一2(i+%巧).Xi+x23k2z2-1+223(L)同理得N(耳1+2(右尸21+2(十严3(r)>当k2=l时，直线MN的方程为x=l,3k当2工1时，直线MN的斜率为bN=2®寺皱3k2(l+2k2)3k32-2(1kJ，1+223k所以，直线MN的方程为y+沢為=応咯(l骯)，化简得：yss2(l-k2)(Xn，此直线恒过定点K(1,O).综合，知，直线MN恒过定点K(1,O),1

18、2分21. 解：(l)f'(x)=ax卡=x(a*)1分x>0,eM>l,e(1) 若a=0,则当x6(0,+8)时,f'(x)VO,f(x)为滅函数，而f(0)=0,从而当x>0时f(x)<0,应舍去.3分(2) 若0<a<l,则当xe(O.-lna)时,f'(x)VO,f(x)为减函数，而«0)=0,从而当x6(0,lna)时f(x)VO应舍去.5分若a>l,则当x6(0,+oo)时,f'(x>0,f(x)为增函数，而f(0)=0从而当x>0时f(x)>0,所以当x>0时f(x

19、87;O.7分综上：a的取值范围为1,+8).8分(2由(1)知，对于x(0,l),当&=0时f(x)VO,所以.x+lVe“，而当a=2时f(x)>0,所以e*V占,1X从而x6(0,l)时，1+xVaV吉11分高三数学(理)答案第5页(共7页3x4-1,X>y取x=-(n>2)则所以原不等式成立.22. 证明：(1) 连接BD,则ZBDC-ZBDA=90°.1分由E为AB的中点得DE=|AB=BE,2分ZEBD=ZEDB3分连接0D,则ZOBD=ZOI)B.4分ZEBD+ZOBD=90°,ZEDO=ZEDB+Z()DB=ZEBD+ZOBD=90°,OD1E